Matrice di transizione di stato

[Nepenthe]

Salve, sto studiando Fondamenti di Controlli automatici e ho un dubbio su come calcolare la matrice di transizione di stato nella parte di analisi nel dominio del tempo delle rappresentazioni di sistemi in variabili di stato. Se la matrice A è diagonale, il calcolo della matrice di transizione dello stato è banale:

$A=((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)) => e^(At)= ((e^(at),0,0),(0,e^(bt),0),(0,0,e^(ct)))$

Se invece A non è diagonale?

Sul libro per esempio ho che:

$\bar A= ((-1,1),(0,-1))$
$e^(\barA t)=((e^-t,te^-t),(0,e^-t))$

Perché? Non dovrebbe essere $e^(\barA t)=((e^-t,e^-t),(1,e^-t))$?

[elgiovo]

Eh no, troppo facile così Il trucchetto vale solo se la matrice è diagonale. Puoi provare a usare la trasformata di Laplace.

[Nepenthe]

La trasformata di Laplace sta dopo sul libro, quindi ha usato per forza un altro metodo. In uno dei capitoli spiega come diagonalizzare la matrice A e dice: "Data una matrice A di dimensione nxn con n autovettori $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ si supponga che ammetta una matrice modale V.

$e^(At)=Ve^(\Lambdat)V^-1=V((e^(\lambda_1 t),0,..., 0),(0,e^(\lambda_2 t),...,0),(...,...,...,...),(0,0,...,e^(\lambda_n t)))V^-1"

Poi sotto come esempio:

$A=((-1,1),(0,-2))$ , $V=((1,1),(0,-1))$ , $V^-1=((1,1),(0,-1))$

$e^(At)=V((e^-t, 0),(0,e^-(2t)))V^-1$

Gli autovalori sono $\lambda_1=-1 ,\lambda_2=-2$ e ok, però quello 0 in posizione 1x2 come cavolo gli è venuto????

[elgiovo]

La matrice tra V e V^(-1) è quella che prima chiami [tex]\Lambda[/tex]. Non è altro che il procedimento di diagonalizzazione: trovi la matrice V con gli autovettori di A, ne calcoli l'inversa, poi A = V [tex]\Lambda[/tex] V^(-1). Qui trovi qualcosa: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_esponenziale

[cyd1]

ma senza farla cosi complicata $e^(At) = L^(-1)[ (sI -A)^(-1)]$ dove con $L^(-1)$ ho indicato la trasformata inversa di laplace.

nel tuo caso $ sI -A = ( ( s+1 , -1 ),( 0 , s+2 ) ) $ quindi $(sI -A)^(-1) = ( (1/(s+1) , 1/((s+1)(s+2)) ),(0,1/(s+2)))$

antitrasformando $e^(At) = ( (e^(-t), e^(-t) - e^(-2t)),(0,e^(-2t)))$

[elgiovo]

Ha detto che non voleva usare la trasformata.

[cyd1]

ah non avevo letto il secondo messaggio, comunque
dato che A ammette 2 autovalori distinti (s1 e s2) i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per A quindi A è simile alla matrice D=diag(s1,s2)
quindi $V^(-1) A V = D$ moltplico a sisnistra per $V$ e successivamente a destra per $V^(-1)$ e diventa $A = V*D*V^(-1)$
quindi poiche $e^(At) = V* e^(Dt)*V^(-1)$ ci sei