Inviluppo complesso

[sharkbait]

Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere alcuni semplici inviluppi complessi ma mi sfugge un passaggio.
Il primo esempio riguarda il segnale analitico
$x(t)=Acos(2 \pi f_0 t + \theta)$
che il libro sviluppa in
$x(t)=Re{Ae^(j \theta) e^(j 2 \pi f_0 t)}$
e quindi ricava l'inviluppo complesso come
$\hat x(t)=Ae^(j \theta)$

L'altro esempio è il segnale analitico
$x(t)=m(t)cos(2 \pi f_c t)$
che viene sviluppato in
$x(t)=Re{m(t)e^(j 2 \pi (f_c-f_0)t)e^(j 2 \pi f_0 t)}$ ecc ecc....

Ecco il passaggio che mi sfugge è la trasformazione del coseno: $cos(2 \pi f_0 t + \theta)$ viene sviluppato in $e^(j\theta)$...
$cos(2 \pi f_c t)$ viene sviluppato in $e^(j 2 \pi f_c t)$... perchè???????
Grazie in anticipo,
Irene

[K.Lomax]

Mmhh... non capisco tu cosa intenda per sviluppato. Inoltre $\hatx(t)=Ae^(j\theta)$ cosa indica per te? Lo indichi funzione del tempo, ma non mi sembra che ci sia questa dipendenza. Forse volevi indicare il fasore associato a $x(t)$ che non è dipendente dal tempo.

[sharkbait]

no con $\hat x(t)$ volevo intendere l'inviluppo complesso di $x(t)$... praticamente ho riscritto i passaggi che fa il libro: ho il segnale analitico $x(t)=Acos(2 \pi f_0 t + \theta)$, lo scrivo come $x(t)=Re{Ae^(j \theta) e^(j 2 \pi f_0 t)}$ e deduco che l'inviluppo complesso è $\hat x(t)=Ae^(j \theta)$. Non capisco il primo passaggio...

[K.Lomax]

Un esponenziale complesso $e^(j2\pift)$ può essere scomposto in un seno e coseno (formula di Eulero), in particolare

$e^(j2\pift)=cos(2\pift)+jsin(2\pift)$

Quindi se da quest'ultimo ne estrai la sola parte reale ottieni il coseno, ovvero $Re{e^(j2\pift)}=cos(2\pift)$.

[sharkbait]

Mannaggia!!! ecco ora ho capito tutto!
Grazie ancora,

Irene