Integrale con i residui RISOLTO
Ciao a tutti, da diversi giorni sto provando a risolvere questo integrale, senza però riuscirci:
$ int_(0)^(+oo ) log (x)/(x^2-1) dx $
Ho provato in questo modo:
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Ma a questo punto mi ritrovo di fronte a un vicolo cieco.
Sapreste darmi una mano?
Grazie
$ int_(0)^(+oo ) log (x)/(x^2-1) dx $
Ho provato in questo modo:
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Ma a questo punto mi ritrovo di fronte a un vicolo cieco.
Sapreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Nessuno mi dà una mano???
Secondo me ti conviene fare la sostituzione $x=e^{t}$, e risolvere poi quell'integrale usando un opportuno cammino orientato. (Ti troverai poi da risolvere internamente anche un altro integrale sempre col metodo dei residui che ti risulterà $0$, il risultato finale dell'integrale è $\pi^2/4$)
"Ska":
Secondo me ti conviene fare la sostituzione $x=e^{t}$, e risolvere poi quell'integrale usando un opportuno cammino orientato. (Ti troverai poi da risolvere internamente anche un altro integrale sempre col metodo dei residui che ti risulterà $0$, il risultato finale dell'integrale è $\pi^2/4$)
Ciao e grazie per la risposta. Ho provato a risolverlo in un altro modo e mi viene $ -pi^2/4 $. Ad ogni modo la TI89 mi dà come risultato 1.072, che non è uguale a $ pi^2/4 $
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Scusa forse la domanda banale, ma come hai calcolato il residuo di $f(z)$?
P.S.: L'ho risolto anche con Mathematica e mi conferma che il risultato è $\pi^2 / 4$
P.S.: L'ho risolto anche con Mathematica e mi conferma che il risultato è $\pi^2 / 4$
"Ska":
Scusa forse la domanda banale, ma come hai calcolato il residuo di $f(z)$?
P.S.: L'ho risolto anche con Mathematica e mi conferma che il risultato è $\pi^2 / 4$
Io proprio nel calcolare i residui ho molte difficoltà, comunque il procedimento è esposto nella pagina 1
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Non so se è corretto....
Ok... ho capito... ho ricontrollato è mi torna... $z=-1$ è un polo semplice e il residuo è corretto, mentre $z=1$ è una singolarità eliminabile e dunque il suo residuo è $0$. Ho provato anche io ripercorrendo la strada che hai fatto tu e giungo anche io al tuo stesso risultato :/.
Probabilmente stiamo facendo lo stesso errore... se hai voglia prova a fare la sostituzione che ti avevo proposto $x=e^t$.
Probabilmente stiamo facendo lo stesso errore... se hai voglia prova a fare la sostituzione che ti avevo proposto $x=e^t$.
"Ska":
Ok... ho capito... ho ricontrollato è mi torna... $z=-1$ è un polo semplice e il residuo è corretto, mentre $z=1$ è una singolarità eliminabile e dunque il suo residuo è $0$. Ho provato anche io ripercorrendo la strada che hai fatto tu e giungo anche io al tuo stesso risultato :/.
Probabilmente stiamo facendo lo stesso errore... se hai voglia prova a fare la sostituzione che ti avevo proposto $x=e^t$.
Ciao ho provato a fare la sostituzione ,ma niente da fare....addirittura il risultato viene 0!!!
Comunque grazie lo stesso
No no no... come cavolo fa a risultare zero? I passaggi nell'integrale dopo la sostituzione sono semplicissimi dato che non si hanno problemi di funzioni polidrome.... che cammino complesso hai considerato?
"Ska":
No no no... come cavolo fa a risultare zero? I passaggi nell'integrale dopo la sostituzione sono semplicissimi dato che non si hanno problemi di funzioni polidrome.... che cammino complesso hai considerato?
Siccome il Log è in base 10, dovrei fare la sostituzione $ x=10^t $ ???? Oppure è corretta la sostituzione che mi hai suggerito tu?
In analisi con $\log$ ho sempre indicato il logaritmo naturale, e poi al più c'è solo un fattore di scala dato dal cambiamento della base del logaritmo.
Comunque io ho supposto implicitamente che la base fosse $e$, e se effettui la sostituzione e consideri come cammbino un circuito rettangolare $\gamma=[-R,R] \cup [R, R + i\pi]\cup[i\pi + \epsilon,i\pi + R]\cup[i\pi -R,i\pi - \epsilon]\cup[-R,-R+i\pi]\cup C_{\epsilon}^{-}(i\pi)$, percorso in senso antiorario, l'integrale curvilineo su $\gamma$ è zero, studiando l'integrale sui singoli pezzi al limite per $R\rightarrow +\infty$ e $\epsilon\rightarrow 0$ ottieni il risultato.
Comunque io ho supposto implicitamente che la base fosse $e$, e se effettui la sostituzione e consideri come cammbino un circuito rettangolare $\gamma=[-R,R] \cup [R, R + i\pi]\cup[i\pi + \epsilon,i\pi + R]\cup[i\pi -R,i\pi - \epsilon]\cup[-R,-R+i\pi]\cup C_{\epsilon}^{-}(i\pi)$, percorso in senso antiorario, l'integrale curvilineo su $\gamma$ è zero, studiando l'integrale sui singoli pezzi al limite per $R\rightarrow +\infty$ e $\epsilon\rightarrow 0$ ottieni il risultato.
Se lo hai fatto mi potresti postare l'intero esercizio, te ne sarei tanto grato. Con la sostituzione proprio non ci riesco.
Grazie
Grazie
Ecco qui!
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Grazie, gli dò subito un'occhiata.Grazie ancora per la disponibilità
Ciao, stamattina sono stato dal Prof. e mi ha detto che il risultato esatto dell'integrale è $ pi^2 /4 $ . Non riusciamo a dare una spiegazione al fatto che sia la TI 89 che Mathematica 8 danno come risultato 1,072...comunque posto l'esercizio come l'ho risolto io
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