Incertezza tipo A e tipo B
Ciao a tutti!
Sto studiando l'esame di misure elettroniche e sono alle prese con l'incertezza. Come sempre pubblico ciò che ho capito leggendo vari libri testi e posto domande li dove non ho capito:
"CLASSIFICAZIONE DEI CONTRIBUTI ALL'INCERTEZZA
L'incertezza può essere rappresentata secondo la raccomandazione INC-1 (1980) in due categorie A e B in funzione del metodo di valutazione.
Incertezza di tipo A: sono quelle valutate mediante metodi statistici;
Incertezza di tipo B: sono quelle valutate mediante metodi diversi da quelli statistici (l'esperienza dell'operatore, una scelta di strumenti "migliori", ecc.).
INCERTEZZA TIPO (o SCARTO TIPO)
Il risultato di una misura non è mai un valore perfetto, per tale motivo ogni misurazione è soggetta a incertezza tipo. L'incertezza tipo (giusto?) è rappresentata da una deviazione standard stimata (o scarto tipo), e viene indicata con simbolo “$u_i$” (dall’inglese standard uncertainty), ed è uguale alla radice quadrata positiva della stima della varianza $u_i^2$.
Incertezza standard: tipo A
L’incertezza, $u_i$, ottenuta mediante valutazione di tipo A è rappresentata dalla deviazione standard sperimentale $s_i$, pari alla radice quadrata positiva della varianza sperimentale $(s_(i))^2$, e dal relativo numero di gradi di libertà $ν_i$ (ma questi gradi di libertà non riesco a capire che rappresentano, cioè è quelle $n$ o $n-1$ che si trova al denominatore della formula?). In particolare, si ha $u_i$=$s_i$.
I gradi di libertà $ν_i$ costituiscono un indice della qualità della stima dell’incertezza $u_i$, quantificandone l’attendibilità. Fissato in $n$ il numero di osservazioni, risulta $ν_i=n-1$.
Incertezza standard: tipo B
L’incertezza ottenuta mediante valutazione di tipo B è espressa da una quantità $u_j$ che rappresenta la deviazione standard di una distribuzione di probabilità assunta come quella che meglio contempla le informazioni possedute sul misurando.
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA A:
Siano $X_(i1)$, $X_(i2)$,…,$X_(in)$, $n$ misurazioni indipendenti della grandezza aleatoria $X_i$ eseguite nelle stesse condizioni sperimentali. Si può esprimere il valore rappresentativo del misurando secondo una delle due metodologie:
1. si eseguono $n$ misurazioni, si valuta la varianza sperimentale, si esegue una ulteriore misura, che fornirà il valore rappresentativo del misurando, e si esprime l’incertezza come la radice quadrata positiva della varianza delle singole osservazioni;
2. si eseguono $n$ misurazioni, si valuta la media aritmetica e la varianza sperimentale della media: la media fornirà il valore rappresentativo del misurando e l’incertezza sarà data dalla radice quadrata positiva di detta varianza.
Nel primo caso, la radice quadrata positiva della varianza sperimentale delle osservazioni, indicata con s e denominata scarto tipo sperimentale, fornisce l’incertezza tipo da associare alla stima del valore del misurando:
$u = sqrt(s^2)$
Se si sceglie, invece, di rappresentare il misurando mediante la media aritmetica, la valutazione quantitativa appropriata dell’incertezza del risultato è la varianza della media delle osservazioni, e non la varianza delle singole osservazioni. Infatti, poiché la media di una serie di variabili aleatorie è ancora una variabile aleatoria, la varianza della media aritmetica, come si dimostra, è, al crescere di n, la miglior stima della varianza. La varianza della media, che è la migliore stima di
$(sigma_(hatX))^2 = (sigma^2)/n$
è data da:
$(s_(hat(X_i))^2) = (s_i)^2/n = sqrt((1/(n*(n-1)))* sum_{i=1}^\n\(x_i-hat(X))^2)$
in questo caso l’incertezza tipo è data da:
$u = sqrt((S_hat(X))^2$
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA B
Mentre la valutazione delle incertezze di tipo A non offre particolari difficoltà, essendo ben stabiliti i metodi statistici da applicare, la valutazione delle incertezze di tipo B richiede un’analisi accurata delle osservazioni effettuate. Le incertezze di tipo B, da associare ad una misura che non è stata ottenuta da una serie di misure ripetute, si valutano utilizzando tutta l’informazione ottenibile sulla potenziale variabilità del misurando. Tale informazione si ottiene, secondo quanto scritto nella Guida, “scientific judgement” dello sperimentatore. Con questo termine si vuole riassumere tutta l’informazione ottenibile da diverse fonti come:
- esperienza e pratica acquisita dall'operatore; (o no?)
- dati di misure precedenti in condizioni analoghe;
- esperienza o conoscenza dei comportamenti degli strumenti;
- specifiche del costruttore;
- dati di taratura;
- incertezze assegnate a dati di riferimento presi da testi di riferimento;
è opportuno che, come per quella di tipo A, anche la valutazione dell’incertezza di tipo B sia quella standard (perché standard? Perché ci riferisce alla deviazione o per altri motivi?).
Si osservi che un tale approccio di valutazione dell’incertezza è da preferirsi a quello precedente qualora ci si trovi in presenza di un numero relativamente ridotto di osservazioni indipendenti.
[Se facendo riferimento alle specifiche del costruttore dello strumento che fornisce le stime delle grandezze di ingresso, o al suo certificato di taratura, o ad altra simile fonte, si ricava come informazione un multiplo di uno scarto tipo, allora l’incertezza tipo, $u(x_i)$, è pari al valore dichiarato diviso il moltiplicatore, e la varianza stimata $u(x_i)^2$ è pari al quadrato di tale rapporto.
Può, inoltre, presentarsi il caso in cui l’informazione a disposizione è un intervallo di confidenza all’interno del quale il valore delle grandezze di ingresso può essere contenuto con un certo livello di fiducia (ad esempio, 95% o 99%).
In tale condizione, si associa all’intervallo individuato una distribuzione gaussiana dalla quale si stabilisce la deviazione standard a partire dal livello di fiducia. L’incertezza tipo sarà posta pari alla deviazione standard così ottenuta.] (volendo questo pezzo in grassetto potrei toglierlo visto che faccio gli esampi dopo? E' come se fosse una ripetizione?)
Di seguito sono riportati alcuni esempi di valutazioni di Tipo B in diverse situazioni, basate sulle informazioni disponibili e su assunzioni dello sperimentatore. In questi casi l’incertezza è ottenuta da fonti esterne o da un’ipotetica distribuzione.
Incertezza ottenuta da fonti esterne (si riferiscono tutte solo a quella di Tipo B giusto?)
Multiplo di una deviazione standard
Procedura: se riportata in un manuale, o in un certificato di taratura, l’unica informazione sull’incertezza è un multiplo $k$ di uno scarto tipo; l’incertezza standard può essere ottenuta dividendo il valore trovato per il fattore di moltiplicazione k.
Incertezza ottenuta da una ipotetica distribuzione
Distribuzione gaussiana: “99.73%”
Procedura: Si ipotizza una distribuzione gaussiana per i possibili valori della grandezza considerata e si stimano due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che la miglior stima della grandezza in ingresso vale $(Delta^+ + Delta^-)/2$, ovvero il valore centrale tra i due limiti, e si ha il 99.73% di probabilità che la grandezza si trovi nell’intervallo compreso tra $Delta^+$ e $Delta^-$. L’incertezza $u_j$ è approssimativamente $Delta/(3)$ dove $Delta = (Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo.
Distribuzione uniforme (o rettangolare)
Procedura: Per praticità si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che l’intervallo tra $Delta^+$ e $Delta^-$ contiene il 100% dei possibili valori. Ammesso che non ci siano informazioni contrarie, si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano ugualmente probabili, la distribuzione della probabilità è uniforme (cioè rettangolare). La miglior stima della grandezza è $(Delta^+ + Delta^-)/2$ con $u_j= Delta/sqrt(3)$ dove $Delta = (Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo.
Distribuzione triangolare
In assenza di informazioni specifiche è ragionevole supporre che la distribuzione sia rettangolare. Ma nel caso sia realistico supporre che i valori prossimi agli estremi siano meno probabili di quelli centrali, è ragionevole ipotizzare una distribuzione gaussiana o, per semplicità, una distribuzione triangolare.
Procedura: Si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che l’intervallo tra $Delta^+$ e $Delta^-$ contiene il 100% dei possibili valori. Ammesso che non ci siano informazioni contrarie, si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano distribuiti secondo una distribuzione triangolare. La miglior stima della grandezza è $(Delta^+ + Delta^-)/2$ con $u_j= (Delta)/sqrt(6)$ dove $Delta=(Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo."
Fin qui dovrebbe andare bene? Volendo si potrebbe semplificare qualcosa o andrebbe aggiunto qualcosa?
Grazie.
Sto studiando l'esame di misure elettroniche e sono alle prese con l'incertezza. Come sempre pubblico ciò che ho capito leggendo vari libri testi e posto domande li dove non ho capito:
"CLASSIFICAZIONE DEI CONTRIBUTI ALL'INCERTEZZA
L'incertezza può essere rappresentata secondo la raccomandazione INC-1 (1980) in due categorie A e B in funzione del metodo di valutazione.
Incertezza di tipo A: sono quelle valutate mediante metodi statistici;
Incertezza di tipo B: sono quelle valutate mediante metodi diversi da quelli statistici (l'esperienza dell'operatore, una scelta di strumenti "migliori", ecc.).
INCERTEZZA TIPO (o SCARTO TIPO)
Il risultato di una misura non è mai un valore perfetto, per tale motivo ogni misurazione è soggetta a incertezza tipo. L'incertezza tipo (giusto?) è rappresentata da una deviazione standard stimata (o scarto tipo), e viene indicata con simbolo “$u_i$” (dall’inglese standard uncertainty), ed è uguale alla radice quadrata positiva della stima della varianza $u_i^2$.
Incertezza standard: tipo A
L’incertezza, $u_i$, ottenuta mediante valutazione di tipo A è rappresentata dalla deviazione standard sperimentale $s_i$, pari alla radice quadrata positiva della varianza sperimentale $(s_(i))^2$, e dal relativo numero di gradi di libertà $ν_i$ (ma questi gradi di libertà non riesco a capire che rappresentano, cioè è quelle $n$ o $n-1$ che si trova al denominatore della formula?). In particolare, si ha $u_i$=$s_i$.
I gradi di libertà $ν_i$ costituiscono un indice della qualità della stima dell’incertezza $u_i$, quantificandone l’attendibilità. Fissato in $n$ il numero di osservazioni, risulta $ν_i=n-1$.
Incertezza standard: tipo B
L’incertezza ottenuta mediante valutazione di tipo B è espressa da una quantità $u_j$ che rappresenta la deviazione standard di una distribuzione di probabilità assunta come quella che meglio contempla le informazioni possedute sul misurando.
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA A:
Siano $X_(i1)$, $X_(i2)$,…,$X_(in)$, $n$ misurazioni indipendenti della grandezza aleatoria $X_i$ eseguite nelle stesse condizioni sperimentali. Si può esprimere il valore rappresentativo del misurando secondo una delle due metodologie:
1. si eseguono $n$ misurazioni, si valuta la varianza sperimentale, si esegue una ulteriore misura, che fornirà il valore rappresentativo del misurando, e si esprime l’incertezza come la radice quadrata positiva della varianza delle singole osservazioni;
2. si eseguono $n$ misurazioni, si valuta la media aritmetica e la varianza sperimentale della media: la media fornirà il valore rappresentativo del misurando e l’incertezza sarà data dalla radice quadrata positiva di detta varianza.
Nel primo caso, la radice quadrata positiva della varianza sperimentale delle osservazioni, indicata con s e denominata scarto tipo sperimentale, fornisce l’incertezza tipo da associare alla stima del valore del misurando:
$u = sqrt(s^2)$
Se si sceglie, invece, di rappresentare il misurando mediante la media aritmetica, la valutazione quantitativa appropriata dell’incertezza del risultato è la varianza della media delle osservazioni, e non la varianza delle singole osservazioni. Infatti, poiché la media di una serie di variabili aleatorie è ancora una variabile aleatoria, la varianza della media aritmetica, come si dimostra, è, al crescere di n, la miglior stima della varianza. La varianza della media, che è la migliore stima di
$(sigma_(hatX))^2 = (sigma^2)/n$
è data da:
$(s_(hat(X_i))^2) = (s_i)^2/n = sqrt((1/(n*(n-1)))* sum_{i=1}^\n\(x_i-hat(X))^2)$
in questo caso l’incertezza tipo è data da:
$u = sqrt((S_hat(X))^2$
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA B
Mentre la valutazione delle incertezze di tipo A non offre particolari difficoltà, essendo ben stabiliti i metodi statistici da applicare, la valutazione delle incertezze di tipo B richiede un’analisi accurata delle osservazioni effettuate. Le incertezze di tipo B, da associare ad una misura che non è stata ottenuta da una serie di misure ripetute, si valutano utilizzando tutta l’informazione ottenibile sulla potenziale variabilità del misurando. Tale informazione si ottiene, secondo quanto scritto nella Guida, “scientific judgement” dello sperimentatore. Con questo termine si vuole riassumere tutta l’informazione ottenibile da diverse fonti come:
- esperienza e pratica acquisita dall'operatore; (o no?)
- dati di misure precedenti in condizioni analoghe;
- esperienza o conoscenza dei comportamenti degli strumenti;
- specifiche del costruttore;
- dati di taratura;
- incertezze assegnate a dati di riferimento presi da testi di riferimento;
è opportuno che, come per quella di tipo A, anche la valutazione dell’incertezza di tipo B sia quella standard (perché standard? Perché ci riferisce alla deviazione o per altri motivi?).
Si osservi che un tale approccio di valutazione dell’incertezza è da preferirsi a quello precedente qualora ci si trovi in presenza di un numero relativamente ridotto di osservazioni indipendenti.
[Se facendo riferimento alle specifiche del costruttore dello strumento che fornisce le stime delle grandezze di ingresso, o al suo certificato di taratura, o ad altra simile fonte, si ricava come informazione un multiplo di uno scarto tipo, allora l’incertezza tipo, $u(x_i)$, è pari al valore dichiarato diviso il moltiplicatore, e la varianza stimata $u(x_i)^2$ è pari al quadrato di tale rapporto.
Può, inoltre, presentarsi il caso in cui l’informazione a disposizione è un intervallo di confidenza all’interno del quale il valore delle grandezze di ingresso può essere contenuto con un certo livello di fiducia (ad esempio, 95% o 99%).
In tale condizione, si associa all’intervallo individuato una distribuzione gaussiana dalla quale si stabilisce la deviazione standard a partire dal livello di fiducia. L’incertezza tipo sarà posta pari alla deviazione standard così ottenuta.] (volendo questo pezzo in grassetto potrei toglierlo visto che faccio gli esampi dopo? E' come se fosse una ripetizione?)
Di seguito sono riportati alcuni esempi di valutazioni di Tipo B in diverse situazioni, basate sulle informazioni disponibili e su assunzioni dello sperimentatore. In questi casi l’incertezza è ottenuta da fonti esterne o da un’ipotetica distribuzione.
Incertezza ottenuta da fonti esterne (si riferiscono tutte solo a quella di Tipo B giusto?)
Multiplo di una deviazione standard
Procedura: se riportata in un manuale, o in un certificato di taratura, l’unica informazione sull’incertezza è un multiplo $k$ di uno scarto tipo; l’incertezza standard può essere ottenuta dividendo il valore trovato per il fattore di moltiplicazione k.
Incertezza ottenuta da una ipotetica distribuzione
Distribuzione gaussiana: “99.73%”
Procedura: Si ipotizza una distribuzione gaussiana per i possibili valori della grandezza considerata e si stimano due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che la miglior stima della grandezza in ingresso vale $(Delta^+ + Delta^-)/2$, ovvero il valore centrale tra i due limiti, e si ha il 99.73% di probabilità che la grandezza si trovi nell’intervallo compreso tra $Delta^+$ e $Delta^-$. L’incertezza $u_j$ è approssimativamente $Delta/(3)$ dove $Delta = (Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo.
Distribuzione uniforme (o rettangolare)
Procedura: Per praticità si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che l’intervallo tra $Delta^+$ e $Delta^-$ contiene il 100% dei possibili valori. Ammesso che non ci siano informazioni contrarie, si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano ugualmente probabili, la distribuzione della probabilità è uniforme (cioè rettangolare). La miglior stima della grandezza è $(Delta^+ + Delta^-)/2$ con $u_j= Delta/sqrt(3)$ dove $Delta = (Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo.
Distribuzione triangolare
In assenza di informazioni specifiche è ragionevole supporre che la distribuzione sia rettangolare. Ma nel caso sia realistico supporre che i valori prossimi agli estremi siano meno probabili di quelli centrali, è ragionevole ipotizzare una distribuzione gaussiana o, per semplicità, una distribuzione triangolare.
Procedura: Si ipotizzano per la grandezza in ingresso due limiti, uno inferiore $Delta^-$ ed uno superiore $Delta^+$, tali che l’intervallo tra $Delta^+$ e $Delta^-$ contiene il 100% dei possibili valori. Ammesso che non ci siano informazioni contrarie, si suppone che i valori compresi in questo intervallo siano distribuiti secondo una distribuzione triangolare. La miglior stima della grandezza è $(Delta^+ + Delta^-)/2$ con $u_j= (Delta)/sqrt(6)$ dove $Delta=(Delta^+ - Delta^-)/2$ è la semiampiezza dell’intervallo."
Fin qui dovrebbe andare bene? Volendo si potrebbe semplificare qualcosa o andrebbe aggiunto qualcosa?
Grazie.
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