[Impianti chimici] Bilancio di materia non stazionario.
Salve, mi scuso in anticipo se sto sbagliando sezione ma mi sembra quella più adatta alla mia domanda.
Ho questo esercizio:
In un serbatoio di volume $V$, contenete una massa di componente A (acqua) pari a $Ma0=500kg$, viene introdotta una portata in ingresso (volumetrica) F1($5 m^3/s$) di A puro. In uscita ci sono due portate F2($2.2 m^3/s$) e F3($1.8 m^3/s$). Al momento $t=0$ viene disciolto istantaneamente nel serbatoio una massa pari a $Mb$ ($10 kg$) del componente B. Considerando trascurabile la presenza del componente B sulla densità della soluzione, e considerando l'ipotesi di mescolamento perfetto, determinare l'espressione della concentrazione del componente B nel recipiente.
Io ho pensato di procedere in questo modo.
Scrivo un bilancio di materia globale sul sistema, dunque avrò : $dV/dt=F1-(F2+F3)$
Detto cio scrivo un bilancio di massa sul componente b esplititandone la sua concentrazione, in particolare assumendo che la concentrazione di B nella corrente di ingresso è pari a zero e che la concentrazione all'interno del serbatoio è pari a quella delle correnti in uscita (perfetto mescolamento). Dunque ottengo che: $d(Cb*V)/dt=-Cb*(F2+F3)$. A questo punto non so più bene come portare a termine l'esercizio. Ho provato due vie, la prima consiste nel sviluppare il termine $d(Cb*V)/dt$ come derivata di un prodotto tra funzioni, in seguito sostituendo l'espressione del biancio sull'intera massa di $dV/dt=F1-(F2+F3)$, e risolvendo in seguito l'equazione differenziale ottenuta (che è solo funzione di $Cb$). Il secondo metodo che ho utilizzato è stato quello di sostituire all'interno dell'espressione $d(Cb*V)/dt$ la soluzione dell'equazione differenziale $dV/dt=F1-(F2+F3)$. qualcuno mi saprebbe indicare quali delle vie è quella giusta per arrivare alla soluzione dell'esercizio. Io usandole entrambe arrivo a risultati numerici completamente differenti. Grazie per l'attenzione!
Ho questo esercizio:
In un serbatoio di volume $V$, contenete una massa di componente A (acqua) pari a $Ma0=500kg$, viene introdotta una portata in ingresso (volumetrica) F1($5 m^3/s$) di A puro. In uscita ci sono due portate F2($2.2 m^3/s$) e F3($1.8 m^3/s$). Al momento $t=0$ viene disciolto istantaneamente nel serbatoio una massa pari a $Mb$ ($10 kg$) del componente B. Considerando trascurabile la presenza del componente B sulla densità della soluzione, e considerando l'ipotesi di mescolamento perfetto, determinare l'espressione della concentrazione del componente B nel recipiente.
Io ho pensato di procedere in questo modo.
Scrivo un bilancio di materia globale sul sistema, dunque avrò : $dV/dt=F1-(F2+F3)$
Detto cio scrivo un bilancio di massa sul componente b esplititandone la sua concentrazione, in particolare assumendo che la concentrazione di B nella corrente di ingresso è pari a zero e che la concentrazione all'interno del serbatoio è pari a quella delle correnti in uscita (perfetto mescolamento). Dunque ottengo che: $d(Cb*V)/dt=-Cb*(F2+F3)$. A questo punto non so più bene come portare a termine l'esercizio. Ho provato due vie, la prima consiste nel sviluppare il termine $d(Cb*V)/dt$ come derivata di un prodotto tra funzioni, in seguito sostituendo l'espressione del biancio sull'intera massa di $dV/dt=F1-(F2+F3)$, e risolvendo in seguito l'equazione differenziale ottenuta (che è solo funzione di $Cb$). Il secondo metodo che ho utilizzato è stato quello di sostituire all'interno dell'espressione $d(Cb*V)/dt$ la soluzione dell'equazione differenziale $dV/dt=F1-(F2+F3)$. qualcuno mi saprebbe indicare quali delle vie è quella giusta per arrivare alla soluzione dell'esercizio. Io usandole entrambe arrivo a risultati numerici completamente differenti. Grazie per l'attenzione!
Risposte
Non capisco il fatto dell'espressione delle portate volumetriche espresse come una grandezza adimensionale 
Cioè $F_1=5 [m^3/l]=5000 [l/l]=5000$
Cioè $F_1=5 [m^3/l]=5000 [l/l]=5000$
Mi scuso, errore di distrazione, sono portate volumetriche espresse in $m^3/s$ e $l/s$ naturalmente 
credo comunque di essere arrivato alla soluzione. Chiamando $V0=0.51m^3$ il volume di soluzione presente nel serbatoio al momento del l'imissione del componente B (il componente B ha la stessa densita dell'acqua), procedo come segue
Bilancio totale sulla massa presente nel serbatoio, checonsiderando la densit costante si riduce a: $dV/dt=F1-(F2+F3)$ risolto con la condizione iniziale $t=0$-->$V=V0$ mi da $V=V0+(F1-F2-F3)t$.
Bilancio componente B, tenendo presente che la corrente in ingresso è priva di B e che la composizione delle correnti in uscita è uguale a quella interna al serbatoio (perfetto mescolamento): $d(Cb*V)/dt=-Cb*(F2+F3)$ $d(Cb*V)/dt=V*(d(Cb)/dt)+Cb*(dV/dt)$
Fatto cio sostituisco l'espressione di $V$ ottenuta dal biancio sulla massa complessiva nel bilancio del componente B ottenendo dopo vari passaggi la seguente equazione differenziale che è solo funzione di $Cb$: $d(Cb)/dt*(V0+t*(F1-F2-F3))=-Cb*F1$ risolvendo per separazione di variabili con le condizioni iniziali $t=0$ $Cb=Cb0$ con ($Cb0=(Mb0)/(V0)$). Infine risolvendo ottengo $Cb=(Cb0)*e^((F1)/(F1-F2-F3)*ln((V0)/(V0+(F1-F2-F3)*t))$. Credo che sia giusto, aspetto onferma da qualcuno
credo comunque di essere arrivato alla soluzione. Chiamando $V0=0.51m^3$ il volume di soluzione presente nel serbatoio al momento del l'imissione del componente B (il componente B ha la stessa densita dell'acqua), procedo come segue
Bilancio totale sulla massa presente nel serbatoio, checonsiderando la densit costante si riduce a: $dV/dt=F1-(F2+F3)$ risolto con la condizione iniziale $t=0$-->$V=V0$ mi da $V=V0+(F1-F2-F3)t$.
Bilancio componente B, tenendo presente che la corrente in ingresso è priva di B e che la composizione delle correnti in uscita è uguale a quella interna al serbatoio (perfetto mescolamento): $d(Cb*V)/dt=-Cb*(F2+F3)$ $d(Cb*V)/dt=V*(d(Cb)/dt)+Cb*(dV/dt)$
Fatto cio sostituisco l'espressione di $V$ ottenuta dal biancio sulla massa complessiva nel bilancio del componente B ottenendo dopo vari passaggi la seguente equazione differenziale che è solo funzione di $Cb$: $d(Cb)/dt*(V0+t*(F1-F2-F3))=-Cb*F1$ risolvendo per separazione di variabili con le condizioni iniziali $t=0$ $Cb=Cb0$ con ($Cb0=(Mb0)/(V0)$). Infine risolvendo ottengo $Cb=(Cb0)*e^((F1)/(F1-F2-F3)*ln((V0)/(V0+(F1-F2-F3)*t))$. Credo che sia giusto, aspetto onferma da qualcuno
Provo ad effettuare un ragionamento analogo.
Poiché si può ipotizzare che la densità sia costante al variare della composizione di miscela ragionare su masse o su volumi è uguale. Io per abitudine faccio il bilancio sulle masse.
Il Bilancio Totale afferma che la variazione della massa nel sistema è:
$(dM)/(dt)=F_1-F_2-F_3$ $rarr$ $\int_(M(t_0=0))^(M(t))dM=\int_(t_0=0)^t(F_1-F_2-F_3)dt$ $rarr$ ${(M(t)=M(0)+(F_1-F_2-F_3)t),(M(0)=M_0^a+M_0^b):}$
Il Bilancio di materia parziale relativo al componente b invece:
$(d(Mx^b))/(dt)=F_1x_1^b-F_2x_2^b(t)-F_3x_3^b(t)$ $rarr$ $x^b(t)(dM)/(dt)+M(t)(dx^b)/(dt)=F_1x_1^b-F_2x_2^b(t)-F_3x_3^b(t)$
Per ipotesi di mescolamento perfetto allora $x_2^b(t)=x_3^b(t)=x^b(t)$
$(dx^b)/(dt)=(F_1(x_1^b-x^b(t)))/[M(0)+(F_1-F_2-F_3)t]$ $rarr$ $\int_(x_0^b)^(x^b)(dx^b)/(F_1(x_1^b-x^b(t)))=\int_(t_0=0)^(t)(dt)/[M(0)+(F_1-F_2-F_3)t]$
Risolvendo gli integrali arrivi ad una più semplice relazione relativa alle masse in questo caso, che poi convertiremo rispetto il volume...
$-1/F_1 \ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))=1/(F_1-F_2-F_3) \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))$
Trattando l'espressione logaritmica:
$(x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b)=((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-(F_1)/(F_1-F_2-F_3))$
Che infine esplicitando $x^b(t)$ diventa:
$x^b(t)=x_1^b-(x_1^b-x_0^b)((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-(F_1)/(F_1-F_2-F_3))$
Un criterio di verifica dell'equazione è quello di verificare le concentrazioni nel momento iniziale e per tempi infiniti.
Per cui se $t=0$ allora $x^b=x_0^b$ (Perfetto)
Per $t rarr \infty$ allora $x^b=x_1^b$ (Perfetto)
Poiché all'inizio è stata fatta l'ipotesi di densità costante per la variazione di composizione allora possiamo riscrivere la seguente relazione per le masse anche rispetto i volumi:
$x^b(t)=x_1^b-(x_1^b-x_0^b)((V(0)+(Q_1-Q_2-Q_3)t)/(V(0)))^(-(Q_1)/(Q_1-Q_2-Q_3))$
Per convenzione mia ho espresso con $F$ le portate di massa e con $Q$ le portate volumetriche.
Poiché si può ipotizzare che la densità sia costante al variare della composizione di miscela ragionare su masse o su volumi è uguale. Io per abitudine faccio il bilancio sulle masse.
Il Bilancio Totale afferma che la variazione della massa nel sistema è:
$(dM)/(dt)=F_1-F_2-F_3$ $rarr$ $\int_(M(t_0=0))^(M(t))dM=\int_(t_0=0)^t(F_1-F_2-F_3)dt$ $rarr$ ${(M(t)=M(0)+(F_1-F_2-F_3)t),(M(0)=M_0^a+M_0^b):}$
Il Bilancio di materia parziale relativo al componente b invece:
$(d(Mx^b))/(dt)=F_1x_1^b-F_2x_2^b(t)-F_3x_3^b(t)$ $rarr$ $x^b(t)(dM)/(dt)+M(t)(dx^b)/(dt)=F_1x_1^b-F_2x_2^b(t)-F_3x_3^b(t)$
Per ipotesi di mescolamento perfetto allora $x_2^b(t)=x_3^b(t)=x^b(t)$
$(dx^b)/(dt)=(F_1(x_1^b-x^b(t)))/[M(0)+(F_1-F_2-F_3)t]$ $rarr$ $\int_(x_0^b)^(x^b)(dx^b)/(F_1(x_1^b-x^b(t)))=\int_(t_0=0)^(t)(dt)/[M(0)+(F_1-F_2-F_3)t]$
Risolvendo gli integrali arrivi ad una più semplice relazione relativa alle masse in questo caso, che poi convertiremo rispetto il volume...
$-1/F_1 \ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))=1/(F_1-F_2-F_3) \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))$
Trattando l'espressione logaritmica:
$(x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b)=((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-(F_1)/(F_1-F_2-F_3))$
Che infine esplicitando $x^b(t)$ diventa:
$x^b(t)=x_1^b-(x_1^b-x_0^b)((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-(F_1)/(F_1-F_2-F_3))$
Un criterio di verifica dell'equazione è quello di verificare le concentrazioni nel momento iniziale e per tempi infiniti.
Per cui se $t=0$ allora $x^b=x_0^b$ (Perfetto)
Per $t rarr \infty$ allora $x^b=x_1^b$ (Perfetto)
Poiché all'inizio è stata fatta l'ipotesi di densità costante per la variazione di composizione allora possiamo riscrivere la seguente relazione per le masse anche rispetto i volumi:
$x^b(t)=x_1^b-(x_1^b-x_0^b)((V(0)+(Q_1-Q_2-Q_3)t)/(V(0)))^(-(Q_1)/(Q_1-Q_2-Q_3))$
Per convenzione mia ho espresso con $F$ le portate di massa e con $Q$ le portate volumetriche.
Ovviamente ci sono i casi limite...
Ovvero in questo caso hai un serbatoio a riempimento che ad un certo tempo $t^*$ sarà pieno e quindi il liquido tenderà a fuoriuscire, perciò la relazione scritta non avrebbe più significato, proprio perché in quel determinato istante subentrerà un ulteriore portata di uscita dovuta alla fuoriuscita della miscela dalla testa del serbatoio.
Ovvero in questo caso hai un serbatoio a riempimento che ad un certo tempo $t^*$ sarà pieno e quindi il liquido tenderà a fuoriuscire, perciò la relazione scritta non avrebbe più significato, proprio perché in quel determinato istante subentrerà un ulteriore portata di uscita dovuta alla fuoriuscita della miscela dalla testa del serbatoio.
ok quindi il mio ragionamento, al netto di errori/orrori algebrici, è giusto. Grazie per la risposta! ps: sbaglio io o nei tuoi risultati manca qualche numero di nepero?
In questo caso non sono presenti poiché i risultati dell'equazione differenziale danno due espressioni logaritmiche che vengono semplificate applicando le proprietà dei logaritmi.
Lo svolgimento passo passo è il seguente:
$\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))=-F_1/(F_1-F_2-F_3) \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))$
$\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3))$
$exp(\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b)))= exp( \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3)))$
$((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= ((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3))$
$((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= ((M(0))/(M(0)+(F_1-F_2-F_3)t))^(F_1/(F_1-F_2-F_3))$
"mdonatie":
$-1/F_1 \ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))=1/(F_1-F_2-F_3) \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))$
Lo svolgimento passo passo è il seguente:
$\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))=-F_1/(F_1-F_2-F_3) \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))$
$\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3))$
$exp(\ln((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b)))= exp( \ln((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3)))$
$((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= ((M(0)+(F_1-F_2-F_3)t)/(M(0)))^(-F_1/(F_1-F_2-F_3))$
$((x_1^b-x^b(t))/(x_1^b-x_0^b))= ((M(0))/(M(0)+(F_1-F_2-F_3)t))^(F_1/(F_1-F_2-F_3))$
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