[Idraulica] Velocità, tempo e legge di svuotamento serbatoio corretti?
Ragazzi vi pongo una questione. Immaginate un serbatoio contenente acqua, con altezza del pelo libero pari ad $h_0$. La larghezza del serbatoio è pari a $B$. Al suo estremo in basso è collegata una condotta di spessore (geometria piana) pari a $ S < B < h_0$ che lo mette in comunicazione con il mare di altezza di pelo libero costante $h_b < h_0$.
Se voglio calcolare il tempo affinchè le altezze idriche siano uguali ho pensato di fare:
$(\partial M)/ (\partial t) = Q_(Mi) - Q_(Mu)$ dove $Q_(Mi)$ è la portata di massa in entrata, nulla.
Quindi $B (\partial \h(t)) / (\partial \t) = - U(t) \S = \sqrt{2g \(h(t) - h_b)}\ \S$ ottenendo:
$\int_(h_0)^(h_b) (\partial h(t)) / (\sqrt{h(t) - h_b}) = - \sqrt{2g}\ \S \int_0^(t_s) \partial \t$
$t_s = (2\ \sqrt{h_0 - h_b}\ B)/(\sqrt{2g}\ S )$
In modo analogo ma mettendo un estremo di integrazione generico ho trovato la legge di svuotamento:
$h(t) = h_b + (\sqrt{h_0 - h_b} - (\sqrt{2g}\ S\ t)/(2\ B))^2$
e la velocità è torricelliana
$U (t) = \sqrt{2g (h(t) - h_b)} = \sqrt{2g} [ \sqrt{h_0 - h_b} - (\sqrt{2g}\ S\ t)/(2\ B)]$
Se voglio calcolare il tempo affinchè le altezze idriche siano uguali ho pensato di fare:
$(\partial M)/ (\partial t) = Q_(Mi) - Q_(Mu)$ dove $Q_(Mi)$ è la portata di massa in entrata, nulla.
Quindi $B (\partial \h(t)) / (\partial \t) = - U(t) \S = \sqrt{2g \(h(t) - h_b)}\ \S$ ottenendo:
$\int_(h_0)^(h_b) (\partial h(t)) / (\sqrt{h(t) - h_b}) = - \sqrt{2g}\ \S \int_0^(t_s) \partial \t$
$t_s = (2\ \sqrt{h_0 - h_b}\ B)/(\sqrt{2g}\ S )$
In modo analogo ma mettendo un estremo di integrazione generico ho trovato la legge di svuotamento:
$h(t) = h_b + (\sqrt{h_0 - h_b} - (\sqrt{2g}\ S\ t)/(2\ B))^2$
e la velocità è torricelliana
$U (t) = \sqrt{2g (h(t) - h_b)} = \sqrt{2g} [ \sqrt{h_0 - h_b} - (\sqrt{2g}\ S\ t)/(2\ B)]$
Risposte
La legge di svuotamento di un serbatoio è stata trovata da Mariotte (quello che faceva coppia con Boyle….) , e ne abbiamo parlato qui :
viewtopic.php?f=19&t=106730&hilit=+mariotte#p701902
Ma non è il tuo caso. Comunque, devi ragionare sempre sull'equazione di continuità per un serbatoio.
viewtopic.php?f=19&t=106730&hilit=+mariotte#p701902
Ma non è il tuo caso. Comunque, devi ragionare sempre sull'equazione di continuità per un serbatoio.
Controllando quello che hai scritto ho dedotto che il tempo che ho calcolato è corretto! Quindi presumo anche la velocità e la legge nel tempo 
Grazie mille
Grazie mille
Molto gentili, grazie mille
mi date la certezza che le altre due equazioni sono corrette? Sono troppo in ansia per l'esito dell'esame Quelle della legge del pelo libero e della velocità..
Quelle della legge del pelo libero e della velocità..
Lascio a TeM l'onore di risponderti. Elabora delle risposte che….neanche un libro stampato! 
ahahah davvero! Comunque dimmi una cosa...per verifica ho messo nella legge di $h(t)$ il tempo che ho trovato $t_s$ necessario per far sì che i tiranti idrici fossero coincidenti e torna che $h(t_s) = h_b$ e quindi presumo anche $U(t)$ sia corretta, no?
ahah non ho calato nulla dall'alto la velocità è torricelliana, ricavata dal teorema di bernoulli, in quanto il fluido è ideale e incomprimibile 
la velocità è torricelliana, ricavata dal teorema di bernoulli, in quanto il fluido è ideale e incomprimibile
Si ho capito quello che dici ma se il fluido è ideale per definizione non ci sono perdite di energia, infatti la linea dei carichi totali è orizzontale. Se fosse reale (fluido) allora si considerano le perdite localizzate (cambi di direzione, convergenti, divergenti) e quelle distribuite.
TeM sisi hai ragione, sono d'accordo con quello che dici, è un piacere discutere con te! 
alla prossima!
per la cronaca ho verbalizzato un 26!
E vai! Per l'esame di idraulica, è una verbalizzazione più che onorevole! 
Ti dirò che è l'unico esame che nei miei studi universitari ho fatto due volte, ma per mia scelta, perché quel gran….professore mi voleva verbalizzare troppo poco per i miei gusti e per la mia media.
Ti dirò che è l'unico esame che nei miei studi universitari ho fatto due volte, ma per mia scelta, perché quel gran….professore mi voleva verbalizzare troppo poco per i miei gusti e per la mia media.
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