[Idraulica] Equilibrio di corpi immersi
Un corpo immerso in un fluido è sempre e comunque soggetto alla propria forza perso, diretta verticalmente verso il basso applicata nel baricentro G del volume del corpo immerso, ed a spinte di sostentamento dirette verticalmente verso l'alto di modulo $\gamma\ V$ con V il volume del corpo immerso e $\gamma$ peso specifico del fluido, applicate nel centro di carena C, che sarebbe il baricentro geometrico del volume immerso? Quindi se C e G sono allineati verticalmente e le forze in gioco sono in modulo uguali c'è equilibrio? Mentre se non sono allineati è molto importante sapere se G sta sopra C o viceversa per capire se l'equilibrio sarà stabile o instabile.
Mi chiedevo anche perchè non è importante la quota di affondamento del corpo per l'equilibrio, sapendo che al suo aumentare aumenta la pressione.
Grazie mille
Mi chiedevo anche perchè non è importante la quota di affondamento del corpo per l'equilibrio, sapendo che al suo aumentare aumenta la pressione.
Grazie mille
Risposte
Smaug, questo argomento, cioè la stabilità dell'equilibrio dei galleggianti ( e dei corpi totalmente immersi, c'è differenza tra i due casi…) è pane quasi quotidiano di qualsiasi studente d ingegneria navale, a maggior ragione di un ingegnere navale. Quindi mi corre l'obbligo….
Si. Ma si parla di centro di carena, più specificamente, per corpi galleggianti. Se il corpo è totalmente immerso, non c'è distinzione tra "carena" ( cioè il "volume immerso", detto anche "opera viva" nel caso delle navi) e volume emerso, che nelle navi si chiama "opera morta" : è evidente che se il corpo è tutto immerso non c'è alcun volume fuori acqua.
Si, ma come tutte le forme di equilibrio questo può essere : stabile, indifferente, instabile. La questione è un po' complessa, specie per i galleggianti.
Vale quanto detto sopra. Per un galleggiante può aversi che G sia sopra C , però l'equilibrio (ci si riferisce sempre all'equilibrio iniziale, cioè a partire da una data configurazione in cui G e C stanno sulla stessa verticale e i moduli di peso e spinta sono uguali) può ugualmente essere stabile, o indifferente, o instabile. Entra in gioco un altro punto importante, che sta sulla verticale iniziale su cui giacciono G e C , e che si chiama METACENTRO INIZIALE DI CARENA : M .
Adesso è tardi e vado a dormire. Domani ti spiego che cosa è il Metacentro M , e perché è questo punto che deve essere sopra G , perché l'equilibrio sia stabile, nel caso dei galleggianti : ad es. nelle navi in assetto trasversale diritto è normale che il centro di gravità G sia sopra il centro di carena C, ma l'equilibrio può essere stabile anche così , purché sia M sopra G !.
Bisogna allora capir che cosa è questo Metacentro M!
Questa considerazione nasconde un errore comune...
"smaug":
Un corpo immerso in un fluido è sempre e comunque soggetto alla propria forza perso, diretta verticalmente verso il basso applicata nel baricentro G del volume del corpo immerso, ed a spinte di sostentamento dirette verticalmente verso l'alto di modulo $ \gamma\ V $ con V il volume del corpo immerso e $ \gamma $ peso specifico del fluido, applicate nel centro di carena C, che sarebbe il baricentro geometrico del volume immerso?
Si. Ma si parla di centro di carena, più specificamente, per corpi galleggianti. Se il corpo è totalmente immerso, non c'è distinzione tra "carena" ( cioè il "volume immerso", detto anche "opera viva" nel caso delle navi) e volume emerso, che nelle navi si chiama "opera morta" : è evidente che se il corpo è tutto immerso non c'è alcun volume fuori acqua.
Quindi se C e G sono allineati verticalmente e le forze in gioco sono in modulo uguali c'è equilibrio?
Si, ma come tutte le forme di equilibrio questo può essere : stabile, indifferente, instabile. La questione è un po' complessa, specie per i galleggianti.
Mentre se non sono allineati è molto importante sapere se G sta sopra C o viceversa per capire se l'equilibrio sarà stabile o instabile.
Vale quanto detto sopra. Per un galleggiante può aversi che G sia sopra C , però l'equilibrio (ci si riferisce sempre all'equilibrio iniziale, cioè a partire da una data configurazione in cui G e C stanno sulla stessa verticale e i moduli di peso e spinta sono uguali) può ugualmente essere stabile, o indifferente, o instabile. Entra in gioco un altro punto importante, che sta sulla verticale iniziale su cui giacciono G e C , e che si chiama METACENTRO INIZIALE DI CARENA : M .
Adesso è tardi e vado a dormire. Domani ti spiego che cosa è il Metacentro M , e perché è questo punto che deve essere sopra G , perché l'equilibrio sia stabile, nel caso dei galleggianti : ad es. nelle navi in assetto trasversale diritto è normale che il centro di gravità G sia sopra il centro di carena C, ma l'equilibrio può essere stabile anche così , purché sia M sopra G !.
Bisogna allora capir che cosa è questo Metacentro M!
Mi chiedevo anche perchè non è importante la quota di affondamento del corpo per l'equilibrio, sapendo che al suo aumentare aumenta la pressione.
Grazie mille
Questa considerazione nasconde un errore comune...
grazie per la risposta, ma a quale errore comune ti riferisci, ti prego spiegami caro Navigatore..
Come promesso, ti spiego (solo piccoli cenni! Altrimenti farei un corso di Statica dei galleggianti...) l'equilibrio di un corpo liberamente galleggiante. Esso, come ti dicevo, è possibile anche quando il centro di carena $C$ è al di sotto del baricentro $G$ del galleggiante, e questo urta contro il senso comune, finchè non si capisce il motivo.
Siccome spesso non c'è miglior spiegazione di una figura, guarda il disegno allegato.
Ho immaginato un cubo di spigolo $L$ , omogeneo, di densità $\rho = (0.8 kg)/(dm^3) $ inferiore a quella dell'acqua, per cui esso galleggia e la sua immersione è pari a : $ D= 0.8L $ (vista la forma del cubo: guarda sul disegno) .
È facile posizionare $G$ a metà del cubo, e $C$ come baricentro del volume immerso $V_i = 0.8*V = 0.8 *L^3$
Come vedi, $C$ è al di sotto di $G$ nella prima figura, che rappresenta il galleggiante nella posizione iniziale diritta (cioè con i 4 fianchi perpendicolari alla superficie dell'acqua).
In blu ho segnato il peso $\vecP$ , in rosso la spinta $\vecS$.
Verrebbe da dire : se una causa esterna, ad es un piccolo momento sbandante esterno $M_s$ ( che potrebbe essere dovuto per es. ad un colpo di vento) inclina il cubo di un certo angolo $\alpha$ ( angolo che bisogna immaginare "piccolo", al limite infinitesimo, anche se io l'ho supposto bello grande), visto come sono diretti i vettori peso e spinta e visto che $C$ è sotto $G$ il galleggiante dovrebbe "fare scuffia" e capovolgersi, perché la coppia di forze dette è ulteriormente inclinante…
E invece no. Se il galleggiante subisce una (piccola) inclinazione "isocarenica" (questo aggettivo significa solo che il volume di carena non cambia, perché lo stiamo solo inclinando, non stiamo aggiungendo o togliendo massa e quindi peso al corpo) , succede che la forma della carena CAMBIA, pur rimanendo il volume uguale. Chiaro?
Guarda la seconda figura, dove il cubo è inclinato di $\alpha$ . Cambiando la "forma" della carena, il centro di carena si sposta da $C$ a $C'$ , seguendo una certa traiettoria curva.
In prima approssimazione, si suppone che per angoli piccoli questa traiettoria sia un arco di circonferenza, il cui centro si trova facilmente : è il punto $M$ in cui la direzione della vecchia verticale, lungo la quale era diretta la spinta a galleggiante diritto, incontra la nuova verticale, passante per $C'$ , lungo la quale è diretta la nuova spinta a galleggiante inclinato : guarda la seconda figura, e vedrai che ora la spinta passa per $C'$ , centro della carena "deformata".
Ecco quindi che, nel galleggiante inclinato, il peso (applicato sempre in $G$) e la spinta, applicata ora in $C'$, formano una coppia di braccio pari a $GZ = GM*sen\alpha$ , che è chiaramente raddrizzante! Cioè questa coppia si oppone alla coppia sbandante $M_s$ ( che non agisce più) e fa raddrizzare il galleggiante . Naturalemente tutto avviene con una serie di oscillazioni, da un lato e dall'altro, attorno alla posizione di equilibrio finale diritto.
Conclusione: perché la posizione iniziale di equilibrio sia "stabile" occorre che il Metacentro $M$ stia sopra il centro di gravita $G$. . La distanza $GM$ si chiama "altezza metacentrica trasversale iniziale"
Ovviamente può aversi "equilibrio indifferente" se inizialmente $M$ coincide con $G$.
E può aversi anche "equilibrio instabile" iniziale, se $M$ è sotto $G$.
Nota che, lungi dall'essere solo teoria, la pratica navale spesso fa ricorso, nei calcoli di stabilita, al cosiddetto "metodo metacentrico", in cui per angoli che possono arrivare anche a 10º - 12º , si fanno alcune ipotesi semplificatrici: si considera fisso il Metacentro ( il quale in realtà non lo è ) e quindi per queste inclinazioni si suppone che la spinta a nave inclinata vada a intersecare la verticale a nave diritta sempre nello stesso punto M .
Ora però mi aspetto da te delle domande…intelligenti…Nota che questi sono soltanto pochissimi cenni di un argomento lungo e complesso, che sono oggetto di buona parte del corso di Statica della Nave che studiano i tuoi colleghi navali.
Ma mi fermo qui. Poi parleremo dell'altro punto.
Siccome spesso non c'è miglior spiegazione di una figura, guarda il disegno allegato.
Ho immaginato un cubo di spigolo $L$ , omogeneo, di densità $\rho = (0.8 kg)/(dm^3) $ inferiore a quella dell'acqua, per cui esso galleggia e la sua immersione è pari a : $ D= 0.8L $ (vista la forma del cubo: guarda sul disegno) .
È facile posizionare $G$ a metà del cubo, e $C$ come baricentro del volume immerso $V_i = 0.8*V = 0.8 *L^3$
Come vedi, $C$ è al di sotto di $G$ nella prima figura, che rappresenta il galleggiante nella posizione iniziale diritta (cioè con i 4 fianchi perpendicolari alla superficie dell'acqua).
In blu ho segnato il peso $\vecP$ , in rosso la spinta $\vecS$.
Verrebbe da dire : se una causa esterna, ad es un piccolo momento sbandante esterno $M_s$ ( che potrebbe essere dovuto per es. ad un colpo di vento) inclina il cubo di un certo angolo $\alpha$ ( angolo che bisogna immaginare "piccolo", al limite infinitesimo, anche se io l'ho supposto bello grande), visto come sono diretti i vettori peso e spinta e visto che $C$ è sotto $G$ il galleggiante dovrebbe "fare scuffia" e capovolgersi, perché la coppia di forze dette è ulteriormente inclinante…
E invece no. Se il galleggiante subisce una (piccola) inclinazione "isocarenica" (questo aggettivo significa solo che il volume di carena non cambia, perché lo stiamo solo inclinando, non stiamo aggiungendo o togliendo massa e quindi peso al corpo) , succede che la forma della carena CAMBIA, pur rimanendo il volume uguale. Chiaro?
Guarda la seconda figura, dove il cubo è inclinato di $\alpha$ . Cambiando la "forma" della carena, il centro di carena si sposta da $C$ a $C'$ , seguendo una certa traiettoria curva.
In prima approssimazione, si suppone che per angoli piccoli questa traiettoria sia un arco di circonferenza, il cui centro si trova facilmente : è il punto $M$ in cui la direzione della vecchia verticale, lungo la quale era diretta la spinta a galleggiante diritto, incontra la nuova verticale, passante per $C'$ , lungo la quale è diretta la nuova spinta a galleggiante inclinato : guarda la seconda figura, e vedrai che ora la spinta passa per $C'$ , centro della carena "deformata".
Ecco quindi che, nel galleggiante inclinato, il peso (applicato sempre in $G$) e la spinta, applicata ora in $C'$, formano una coppia di braccio pari a $GZ = GM*sen\alpha$ , che è chiaramente raddrizzante! Cioè questa coppia si oppone alla coppia sbandante $M_s$ ( che non agisce più) e fa raddrizzare il galleggiante . Naturalemente tutto avviene con una serie di oscillazioni, da un lato e dall'altro, attorno alla posizione di equilibrio finale diritto.
Conclusione: perché la posizione iniziale di equilibrio sia "stabile" occorre che il Metacentro $M$ stia sopra il centro di gravita $G$. . La distanza $GM$ si chiama "altezza metacentrica trasversale iniziale"
Ovviamente può aversi "equilibrio indifferente" se inizialmente $M$ coincide con $G$.
E può aversi anche "equilibrio instabile" iniziale, se $M$ è sotto $G$.
Nota che, lungi dall'essere solo teoria, la pratica navale spesso fa ricorso, nei calcoli di stabilita, al cosiddetto "metodo metacentrico", in cui per angoli che possono arrivare anche a 10º - 12º , si fanno alcune ipotesi semplificatrici: si considera fisso il Metacentro ( il quale in realtà non lo è ) e quindi per queste inclinazioni si suppone che la spinta a nave inclinata vada a intersecare la verticale a nave diritta sempre nello stesso punto M .
Ora però mi aspetto da te delle domande…intelligenti…Nota che questi sono soltanto pochissimi cenni di un argomento lungo e complesso, che sono oggetto di buona parte del corso di Statica della Nave che studiano i tuoi colleghi navali.
Ma mi fermo qui. Poi parleremo dell'altro punto.
Grazie mille per la notevole disponibilità e preparazione. Ho aspettato a rispondere perché ciò che mi hai illustrato, il mio professore lo ha fatto solamente oggi, aggiungendo il calcolo del volume del menisco immerso ed emerso. Ho fatto una considerazione e volevo condividerla. Penso che se il cubo da te disegnato diventasse un rettangolo poco largo e molto lungo, il metacentro tenderebbe ad abbassarsi fino a stare più sotto del baricentro? Credo che succeda ciò perché con questa nuova geometria il volume dei menischi diminuisce e la distanza delle loro due forze antiparallele (in quanto quella che il volume del menisco di emersione esercita, sarebbe una spinta di sostentamento venuta a mancare, quindi è diretta verso il basso, e il discorso reciproco vale per il menisco di immersione) diventa minore; ergo la retta d'azione della spinta di sostentamento si sposa sempre più verso il baricentro, e quindi il metacentro non può che diminuire, Corretto?
Domani ho tre ore di lezione e andremo un pò avanti sicuramente. Per ora posso dire che è molto bella questa materia.
Tornando a noi, la domanda iniziale del post non parlava di tutto ciò, e mi sono dato una risposta. Nei casi più semplici, con l'affondamento, la distribuzione delle pressioni è triangolare, pertanto la spinta di archimede non cambia con la profondità perchè la risultante non cambia, la quale è proprio la spinta di sostentamento. Dico bene? Non mi riferivo a tutto il discorso fatto poc'anzi, ma è stato molto utile. Ho chiarito molti dubbi e incertezze.
Grazie di nuovo
Buonanotte
Domani ho tre ore di lezione e andremo un pò avanti sicuramente. Per ora posso dire che è molto bella questa materia.
Tornando a noi, la domanda iniziale del post non parlava di tutto ciò, e mi sono dato una risposta. Nei casi più semplici, con l'affondamento, la distribuzione delle pressioni è triangolare, pertanto la spinta di archimede non cambia con la profondità perchè la risultante non cambia, la quale è proprio la spinta di sostentamento. Dico bene? Non mi riferivo a tutto il discorso fatto poc'anzi, ma è stato molto utile. Ho chiarito molti dubbi e incertezze.
Grazie di nuovo
Buonanotte
"smaug":
Grazie mille per la notevole disponibilità e preparazione. Ho aspettato a rispondere perché ciò che mi hai illustrato, il mio professore lo ha fatto solamente oggi, aggiungendo il calcolo del volume del menisco immerso ed emerso. Ho fatto una considerazione e volevo condividerla. Penso che se il cubo da te disegnato diventasse un rettangolo poco largo e molto lungo, il metacentro tenderebbe ad abbassarsi fino a stare più sotto del baricentro?
Perfetta intuitiva deduzione, bravo smaug! È propri cosi.
Si dimostra, in Geometria dei galleggianti, che la distanza tra il centro di carena $C$ il metacentro $M$ (trasversale iniziale, ricordalo bene!) è data dal rapporto tra il "momento di inerzia dell'area di galleggiamento rispetto all'asse di inclinazione" (che nel caso di inclinazione isocarenica e piccole inclinazioni passa per il baricentro dell'area di galleggiamento ed ovviamente, con riferimento al cubo, è perpendicolare al foglio: ma queste storie andrebbero molto approfondite...) , e il "volume di carena" .
In termini pratici, se il solido come dici fosse un parallelepipedo, più stretto e più lungo del cubo (ci siamo capiti,no?), con area di galleggiamento di dimensioni $B$ = larghezza, e $L$ = lunghezza, l'asse di inclinazione passa per il centro di questo rettangolo, parallelamente al lato $L$ e quindi perpendicolare al lato $B$. Il momento di inerzia di quest'area rispetto a questo asse di inclinazione è pari a :
$I = 1/(12)*B^3*L $
Il volume di carena è $V_i$ .
Per cui risulta : $ CM = I/V_i$ . Tale $CM$ si chiama "raggio metacentrico" (iniziale!)
Si capisce che , diminuendo $B$ , il momento di inerzia diminuisce molto, pur tenendo costante la lunghezza. E si può avere, a parità di peso, che $M$ capiti sotto $G$ , per cui l'equilibrio iniziale è instabile.
Se sul tuo cabinato (lo so che ce l'hai!) sposti un grosso peso dal pagliolo sopra il tetto della cabina, che stai facendo? A parità di peso totale, e quindi di volume di carena e di posizione iniziale di $C$ e di $M$, stai "innalzando" la posizione di $G$ . Ma $C$ ed $M$ , che sono elementi geometrici determinati solo dalla geometria della carena, sono fissi. Per cui se porti $G$ sopra $M$ la barca si inclina….paurosamente, e potrebbe anche rovesciarsi del tutto, dipende ! Infatti potrebbe anche trovare un'altra posizione di equilibrio, non più diritta ma inclinata….
Queste pero sono questioni molto profonde….
……….
Tornando a noi, la domanda iniziale del post non parlava di tutto ciò, e mi sono dato una risposta. Nei casi più semplici, con l'affondamento, la distribuzione delle pressioni è triangolare, pertanto la spinta di archimede non cambia con la profondità perchè la risultante non cambia, la quale è proprio la spinta di sostentamento. Dico bene? Non mi riferivo a tutto il discorso fatto poc'anzi, ma è stato molto utile. Ho chiarito molti dubbi e incertezze.
Grazie di nuovo
Buonanotte
Dici benissimo!
Grazie mille 
C'è una cosa che non capisco bene...perchè $CM = I / V_i$ nel senso il momento di inerzia rispetto a quale figura piana, asse..ora mi metto a studiare un pò, accetterei volentieri un aiutino
C'è una cosa che non capisco bene...perchè $CM = I / V_i$ nel senso il momento di inerzia rispetto a quale figura piana, asse..ora mi metto a studiare un pò, accetterei volentieri un aiutino
Te lo rispiego. Se un corpo galleggia, immagina di sezionarlo col piano coincidente con la superficie del liquido. LA figura di sezione si chiama "figura di galleggiamento" , la sua area si chiama "area di galleggiamento" : ovvio no ?
In una barchetta, la figura di galleggiamento è irregolare, ma ha comunque un asse di simmetria longitudinale centrale. Ci sei su questo? Bene.
Se invece della barchetta avessi un parallelepipedo galleggiante, di lunghezza $L$ e larghezza $B$ , la figura di galleggiamento ovviamente è un rettangolo di lati $L$ e $B$, supponendo che inizialmente il galleggiante abbia le 4 facce laterali perfettamente verticali. Chiaro?
Se inclini trasversalmente il parallelepipedo senza aggiungere o sottrarre alcuna massa a bordo, il peso non cambia, quindi neanche la spinta e neanche il volume di carena $V_i$ : il vostro prof vi ha parlato dei due menischi, di immersione e di emersione, giusto? Queste inclinazioni sono quindi "isocareniche" : il volume di carena cambia solo di forma, non di valore.
Ora questo tipo di galleggiante è particolare: la sua superficie laterale è inizialmente tutta perpendicolare alla superficie del liquido. Questi si chiamano "galleggianti cilindrici" . Si possono avere gall. cilindrici con qualsiasi forma dell'area di galleggiamento, ma murate sempre tutte perp. al liquido, in posizione diritta (cioè angolo di inclinazione = zero).
Ma non voglio riempirti troppo la testa. Percio torniamo alla inclinazione isocarenica puramente trasversale del parallelepipedo, (Perché "puramente trasversale" ? Be' è semplice, lo puoi inclinare in una direzione qualsiasi…e le cose sono più complicate).
Si dimostra che il piano di galleggiamento diritto (iniziale) e quello inclinato (finale) si intersecano proprio lungo l'asse longitudinale di figura che ti ho detto prima. [NB Questo per un galleggiante generico non è esattamente vero, bisogna specificare che l'angolo deve essere "piccolo"; matematicamente parlando, si tratta di un $d\alpha$ anziché un angolo finito. Ma ingegneristicamente parlando, sappiamo che cosa vuol dire "piccolo" , no?].
È rispetto a questo asse di simmetria della figura di galleggiamento, che va calcolato il momento di inerzia della figura stessa, e cioè del rettangolo : $ I = 1/(12)*B^3*L$ .
È questo momento di inerzia che, diviso per il volume di carena, dà il "raggio metacentrico trasversale iniziale" :
$r = CM = I/V_i$
Questi elementi, cioè centro di carena, raggio metacentrico trasversale, raggio metacentrico longitudinale ( esiste anche lui!…Ma ne esistono infiniti…), area di galleggiamento, volume di carena, immersione…costituiscono i cosiddetti elementi geometrici delle carene diritte, e si calcolano a partire dalla geometria del corpo (ad es. una nave). Ma si calcolano anche gli elementi geometrici delle carene inclinate….è tutta roba di ing. navale.
Oggi, esistono programmi computerizzati a cui dai in pasto le coordinate della superficie esterna della nave, e ti tirano fuori gli elementi geometrici in 4+4 = 8. Anzi, le coordinate se le prendono direttamente dal progetto, pur esso computerizzato!
Ma una volta i calcoli di carena si facevano….a mano ! Sapessi quanti ne ho fatti, nei miei studi universitari! E per la tesi! Con macchinette addizionatrici meccaniche….
In una barchetta, la figura di galleggiamento è irregolare, ma ha comunque un asse di simmetria longitudinale centrale. Ci sei su questo? Bene.
Se invece della barchetta avessi un parallelepipedo galleggiante, di lunghezza $L$ e larghezza $B$ , la figura di galleggiamento ovviamente è un rettangolo di lati $L$ e $B$, supponendo che inizialmente il galleggiante abbia le 4 facce laterali perfettamente verticali. Chiaro?
Se inclini trasversalmente il parallelepipedo senza aggiungere o sottrarre alcuna massa a bordo, il peso non cambia, quindi neanche la spinta e neanche il volume di carena $V_i$ : il vostro prof vi ha parlato dei due menischi, di immersione e di emersione, giusto? Queste inclinazioni sono quindi "isocareniche" : il volume di carena cambia solo di forma, non di valore.
Ora questo tipo di galleggiante è particolare: la sua superficie laterale è inizialmente tutta perpendicolare alla superficie del liquido. Questi si chiamano "galleggianti cilindrici" . Si possono avere gall. cilindrici con qualsiasi forma dell'area di galleggiamento, ma murate sempre tutte perp. al liquido, in posizione diritta (cioè angolo di inclinazione = zero).
Ma non voglio riempirti troppo la testa. Percio torniamo alla inclinazione isocarenica puramente trasversale del parallelepipedo, (Perché "puramente trasversale" ? Be' è semplice, lo puoi inclinare in una direzione qualsiasi…e le cose sono più complicate).
Si dimostra che il piano di galleggiamento diritto (iniziale) e quello inclinato (finale) si intersecano proprio lungo l'asse longitudinale di figura che ti ho detto prima. [NB Questo per un galleggiante generico non è esattamente vero, bisogna specificare che l'angolo deve essere "piccolo"; matematicamente parlando, si tratta di un $d\alpha$ anziché un angolo finito. Ma ingegneristicamente parlando, sappiamo che cosa vuol dire "piccolo" , no?].
È rispetto a questo asse di simmetria della figura di galleggiamento, che va calcolato il momento di inerzia della figura stessa, e cioè del rettangolo : $ I = 1/(12)*B^3*L$ .
È questo momento di inerzia che, diviso per il volume di carena, dà il "raggio metacentrico trasversale iniziale" :
$r = CM = I/V_i$
Questi elementi, cioè centro di carena, raggio metacentrico trasversale, raggio metacentrico longitudinale ( esiste anche lui!…Ma ne esistono infiniti…), area di galleggiamento, volume di carena, immersione…costituiscono i cosiddetti elementi geometrici delle carene diritte, e si calcolano a partire dalla geometria del corpo (ad es. una nave). Ma si calcolano anche gli elementi geometrici delle carene inclinate….è tutta roba di ing. navale.
Oggi, esistono programmi computerizzati a cui dai in pasto le coordinate della superficie esterna della nave, e ti tirano fuori gli elementi geometrici in 4+4 = 8. Anzi, le coordinate se le prendono direttamente dal progetto, pur esso computerizzato!
Ma una volta i calcoli di carena si facevano….a mano ! Sapessi quanti ne ho fatti, nei miei studi universitari! E per la tesi! Con macchinette addizionatrici meccaniche….
Quindi in questo caso devo prendere il momento di inerzia baricentrico massimo o minimo? Minimo a favore di sicurezza?
$I_M = a^3\ b /12$
$I_m = a\ b^2 / 12$
Oppure proprio della figura che vedo in prospetto frontale? Scusami per la mia ignoranza ma sul Marchi - Rubatta non sono riuscito a estinguere il mio dubbio...
Se l'asse di inclinazione è quello disegnato in verde, che immagino perpendicolare al foglio, e quindi parallelo al lato $b$, devi assumere il momento di inerzia della figura di galleggiamento "rispetto a tale asse" . Perciò prenderai :
$ I_1 = 1/(12)*a^3*b$
L'inclinazione sarebbe nel senso DESTRA-SINISTRA del foglio, che possiamo chiamare "trasversale"
Se invece volessi assumere come asse di inclinazione un asse parallelo al lato $a$ (quindi perpendicolare a $b$) , l'inclinazione sarebbe nel senso AVANTI-INDIETRO del foglio, e la chiamiamo "longitudinale". E quindi assumerai :
$I_2 = 1/(12)*b^3*a$
Se supponi che sia $b$ molto maggiore di $a$ , è chiaro che il raggio metacentrico "trasversale" dato da : $r = I_1/V_i$ risulta molto più piccolo del raggio metacentrico "longitudinale" dato da : $R = I_2/V_i$.
Anche nelle navi, che sono molto più lunghe che larghe, ha maggior importanza studiare le inclinazioni trasversali che non le longitudinali, ti sembra? I raggi metacentrici trasversali sono molto più piccoli dei raggi metacentrici longitudinali.
Ma tieni presente che, nella figura che hai disegnato, ci possono essere infiniti assi di inclinazione nel piano di galleggiamento, non due soltanto" . Il galleggiante si può inclinare pure "di sbieco" , mica solo traversalmente o longitudinalmente! e così pure le navi.
Se l'asse di inclinazione è una qualsiasi retta giacente nel piano di galleggiamento e passante per il centro di figura ( ripeto: questo non è sempre vero! Ma è vero per il parallelepipedo e per i "galleggianti cilindrici" accennati), l'inclinazione avverrà in un piano "perpendicolare" a tale asse, chiaro? E il raggio metacentrico sarà calcolato mettendo a numeratore il momento di inerzia dell'area di galleggiamento rispetto a questo asse.
Cn riferimento al parallelepipedo in cui il lato $a$ è minore del lato $b$, si avrà allora che i raggi metacentrici variano da un valore minimo trasversale $r$ ad un valore massimo longitudinale $R$ , che prima ho scritto.
$ I_1 = 1/(12)*a^3*b$
L'inclinazione sarebbe nel senso DESTRA-SINISTRA del foglio, che possiamo chiamare "trasversale"
Se invece volessi assumere come asse di inclinazione un asse parallelo al lato $a$ (quindi perpendicolare a $b$) , l'inclinazione sarebbe nel senso AVANTI-INDIETRO del foglio, e la chiamiamo "longitudinale". E quindi assumerai :
$I_2 = 1/(12)*b^3*a$
Se supponi che sia $b$ molto maggiore di $a$ , è chiaro che il raggio metacentrico "trasversale" dato da : $r = I_1/V_i$ risulta molto più piccolo del raggio metacentrico "longitudinale" dato da : $R = I_2/V_i$.
Anche nelle navi, che sono molto più lunghe che larghe, ha maggior importanza studiare le inclinazioni trasversali che non le longitudinali, ti sembra? I raggi metacentrici trasversali sono molto più piccoli dei raggi metacentrici longitudinali.
Ma tieni presente che, nella figura che hai disegnato, ci possono essere infiniti assi di inclinazione nel piano di galleggiamento, non due soltanto" . Il galleggiante si può inclinare pure "di sbieco" , mica solo traversalmente o longitudinalmente! e così pure le navi.
Se l'asse di inclinazione è una qualsiasi retta giacente nel piano di galleggiamento e passante per il centro di figura ( ripeto: questo non è sempre vero! Ma è vero per il parallelepipedo e per i "galleggianti cilindrici" accennati), l'inclinazione avverrà in un piano "perpendicolare" a tale asse, chiaro? E il raggio metacentrico sarà calcolato mettendo a numeratore il momento di inerzia dell'area di galleggiamento rispetto a questo asse.
Cn riferimento al parallelepipedo in cui il lato $a$ è minore del lato $b$, si avrà allora che i raggi metacentrici variano da un valore minimo trasversale $r$ ad un valore massimo longitudinale $R$ , che prima ho scritto.
se ho una paratoia cilindrica, appoggiata a una diga trasversalmente...ovvero in prospetto vediamo la sezione circolare della medesima; facendo in modo che solo 3/4 del volume della paratoia è immersa nel fluido, il prof ha detto che per l'equilibrio verticale non posso usare Archimede, perché non esiste un piano di galleggiamento..ho sbagliato a non dirgli e quindi? non mi è molto chiara questa cosa, lui vuole che la spinta la calcolo con l'integrale delle pressioni facendo variare il versore normale con l'angolo e questo l'ho capito abbastanza bene credo...
Il piano di galleggiamento deve, per definizione, tagliare "completamente" il corpo galleggiante. Qui non è possibile.
Il cilindro comunque galleggia ( suppongo liberamente, nel senso che la diga non esercita forze verticali su di esso). Quindi peso e spinta sono sempre uguali.
Ma sul quadrante sinistro AB c'è la pressione relativa idrostatica, sul corrispondente quadrante destro AD c'è solo l'aria, quindi pressione relativa = zero.
Su un elemento di superficie $dS$ del quadrante AB, la forza elementare di modulo $dF = p*dS$ ha componenti verticale e orizzontale. Su quello destro AD : zero.
Se porti il cilindro in mezzo al lago (supponendo la diga più alta, per contenere l'acqua!) , il cilindro deve avere sempre lo stesso $V_i$, perché il peso è sempre lo stesso. Si posiziona quindi diversamente, ed ora sí che si può definire un piano di galleggiamento.
Il cilindro comunque galleggia ( suppongo liberamente, nel senso che la diga non esercita forze verticali su di esso). Quindi peso e spinta sono sempre uguali.
Ma sul quadrante sinistro AB c'è la pressione relativa idrostatica, sul corrispondente quadrante destro AD c'è solo l'aria, quindi pressione relativa = zero.
Su un elemento di superficie $dS$ del quadrante AB, la forza elementare di modulo $dF = p*dS$ ha componenti verticale e orizzontale. Su quello destro AD : zero.
Se porti il cilindro in mezzo al lago (supponendo la diga più alta, per contenere l'acqua!) , il cilindro deve avere sempre lo stesso $V_i$, perché il peso è sempre lo stesso. Si posiziona quindi diversamente, ed ora sí che si può definire un piano di galleggiamento.
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