Help Integrale con residui
Ciao a tutti, mi dareste una mano nella risoluzione di questo integrale per favore? Non so proprio come risolverlo 
grazie mille in anticipo
grazie mille in anticipo
Risposte
Lo schema da seguire è:
1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso [tex]$f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z}$[/tex]);
2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso [tex]$\partial D$[/tex]);
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è [tex]$D$[/tex]);
4) applicare il teorema dei residui;
5) calcolare i residui che interessano.
Prova un po'...
1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso [tex]$f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z}$[/tex]);
2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso [tex]$\partial D$[/tex]);
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è [tex]$D$[/tex]);
4) applicare il teorema dei residui;
5) calcolare i residui che interessano.
Prova un po'...
grazie, proverò con queste indicazioni. appena posso posto risultati e (spero di no) problemi
dunque ditemi se e dove sbaglio:
le singolarità dovrebbero essere: $z=0$ singolarità sia per il numeratore che per il denominatore (polo del secondo ordine??), e $z=pi$ solo per il denominatore (polo del primo ordine)
in questo caso, trattandosi di una circonferenza il cui raggio è $pi$ e centro $(pi/2,0)$ , le singolarità che considero sono proprio $z=0; z=pi$
per il teorema di residui dovrebbe essere quindi: $2pij(Res(0)+Res(pi)$ ?? O sbaglio??
Ci sto lavorando, ma trovo difficoltà nel calcolare il residuo in zero... potreste aiutarmi per favore? Grazie mille
"gugo82":
1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso [tex]$f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z}$[/tex]);
le singolarità dovrebbero essere: $z=0$ singolarità sia per il numeratore che per il denominatore (polo del secondo ordine??), e $z=pi$ solo per il denominatore (polo del primo ordine)
2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso [tex]$\partial D$[/tex]);
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è [tex]$D$[/tex]);
in questo caso, trattandosi di una circonferenza il cui raggio è $pi$ e centro $(pi/2,0)$ , le singolarità che considero sono proprio $z=0; z=pi$
4) applicare il teorema dei residui;
per il teorema di residui dovrebbe essere quindi: $2pij(Res(0)+Res(pi)$ ?? O sbaglio??
5) calcolare i residui che interessano.
Ci sto lavorando, ma trovo difficoltà nel calcolare il residuo in zero... potreste aiutarmi per favore? Grazie mille
A me sembra che z=0 sia una singolarità eliminabile inquanto annulla sia numeratore che denominatore e il residuo è nullo.
quindi nel teorema dei residui devo considerare solo l'altro residuo??
"DarKprince87":
[quote="gugo82"]
1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso [tex]$f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z}$[/tex]);
le singolarità dovrebbero essere: $z=0$ singolarità sia per il numeratore che per il denominatore (polo del secondo ordine??), e $z=pi$ solo per il denominatore (polo del primo ordine)[/quote]
La funzione è del tipo[tex]\frac{N(z)}{D(z)}[/tex] con [tex]$N(z):=e^z -1$[/tex] e [tex]$D(z):=z\ \sin^2 z$[/tex]; essa è definita in [tex]$\mathbb{C}\setminus \{ k\pi ,\ k\in \mathbb{Z} \}$[/tex] ed ivi olomorfa (in quanto rapporto di funzioni olomorfe con denominatore non nullo).
Quindi i candidati ad essere punti di singolarità sono tutti e soli i punti del tipo [tex]$k\pi$[/tex] e, ovviamente, il punto all'infinito [tex]$\infty$[/tex].
I punti del tipo [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex] sono zeri del denominatore e non zeri del numeratore, quindi tali punti sono poli per [tex]$f(z)$[/tex] il cui ordine è uguale al loro ordine come zeri di [tex]$D(z)$[/tex]. Visto che [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex] è zero d'ordine [tex]$1$[/tex] del seno, esso sarà zero d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$\sin^2 z$[/tex] e, visto che il fattore [tex]$z$[/tex] non si annulla in [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex], possiamo affermare che [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\neq 0$[/tex] è uno zero del secondo ordine per [tex]$D(z)$[/tex] e, quindi, un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex].
Il punto [tex]$0$[/tex] è uno zero d'ordine [tex]$1$[/tex] per [tex]$N(z)$[/tex] e di ordine [tex]$3$[/tex] per [tex]$D(z)$[/tex] (ciò si vede sviluppando in serie di Taylor), ergo esso è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex].
Il punto all'infinito [tex]$\infty$[/tex] è un punto di accumulazione per le singolarità di [tex]$f(z)$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{k\to \pm \infty} k\pi =\infty$[/tex]), quindi è una singolarità non classificabile.
"DarKprince87":2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso [tex]$\partial D$[/tex]);
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è [tex]$D$[/tex]);
in questo caso, trattandosi di una circonferenza il cui raggio è $pi$ e centro $(pi/2,0)$ , le singolarità che considero sono proprio $z=0; z=pi$
Esatto.
"DarKprince87":4) applicare il teorema dei residui;
per il teorema di residui dovrebbe essere quindi: $2pi j[Res(0)+Res(pi)]$ ?? O sbaglio??
Esatto.
"DarKprince87":5) calcolare i residui che interessano.
Ci sto lavorando, ma trovo difficoltà nel calcolare il residuo in zero... potreste aiutarmi per favore? Grazie mille
I residui sono relativi a poli d'ordine [tex]$2$[/tex], quindi devi calcolare la derivata prima: insomma devi usare la formula:
[tex]$\text{Res} (f(z);z_0):=\lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}}{\text{d} z} \Big[ (z-z_0)^2 f(z)\Big]$[/tex].
gugo82 grazie dei tuoi immensi suggerimenti. Il problema che riscontro frequentemente è il non saper riconoscere le singolarità eliminabili o l'ordine dei poli.
tornando all'esercizio, il residuo che devo calcolare è quindi il limite della seguente derivata prima :
$lim_{z\to pi} \frac{\text{d}}{{d} z} [ (z - pi)^2 * (e^(-jz)-1)/(zsin^2z)]$
tornando all'esercizio, il residuo che devo calcolare è quindi il limite della seguente derivata prima :
$lim_{z\to pi} \frac{\text{d}}{{d} z} [ (z - pi)^2 * (e^(-jz)-1)/(zsin^2z)]$
"laurettas":
A me sembra che z=0 sia una singolarità eliminabile inquanto annulla sia numeratore che denominatore e il residuo è nullo.
Ma anche no.
Ad esempio, prendiamo [tex]$f(z):= \frac{1-\cos z}{z^4}$[/tex]: nel punto [tex]$0$[/tex] sono nulli sia il numeratore che il denominatore ed il residuo in $0$ è nullo (basta fare lo sviluppo di Laurent intorno a [tex]$0$[/tex]).
Tuttavia [tex]$0$[/tex] è un polo del secondo ordine per la [tex]$f(z)$[/tex] (come si vede sempre dallo sviluppo di Laurent), mica una singolarità eliminabile!
Lo stesso dicasi della funzione [tex]$g(z):=\frac{\sin z}{z^3}$[/tex], che nel punto [tex]$0$[/tex] ha un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] con residuo nullo, mica una singolarità eliminabile!
@Darkprince87: 
Sono io a dovermi scusare.
Ho trascritto male la tua funzione ed ho classificato le singolarità per un'altra funzione.
Scusa se ti ho fatto confondere.
Rimedio.
Il numeratore (che avevo sbagliato) è [tex]$N(z)=e^{-\jmath z}-1$[/tex], che si annulla in [tex]$2h\pi$[/tex] con [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex] (infatti [tex]$e^{-\jmath 2h\pi} =1$[/tex] per la periodicità dell'esponenziale complesso).
Gli zeri sono di ordine [tex]$1$[/tex], perchè derivando si trova:
[tex]$N^\prime (z)=-\jmath N(z)\ \Rightarrow \ \forall h\in \mathbb{Z},\ N(2h\pi)=-\jmath \neq 0$[/tex].
Quindi si ha:
- se [tex]$k$[/tex] è dispari (ossia [tex]$k=2h+1$[/tex]), allora [tex]$k\pi$[/tex] è zero d'ordine [tex]$2$[/tex] del denominatore e non è zero del numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex];
- se [tex]$k$[/tex] è pari (ossia [tex]$k=2h$[/tex]) e [tex]$\neq 0$[/tex], allora [tex]$k\pi$[/tex] è zero d'ordine [tex]$2$[/tex] per il denominatore e d'ordine [tex]$1$[/tex] per il numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$1$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex];
- se [tex]$k=0$[/tex], allora [tex]$0$[/tex] è uno zero d'ordine [tex]$3$[/tex] del denominatore e d'ordine [tex]$1$[/tex] del numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex].
Alla fin fine, lo zero e [tex]$\pi$[/tex] rimangono poli d'ordine [tex]$2$[/tex], ma il procedimento non era giusto.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, sì purtroppo devi calcolare quella schifezza lì.
Sono io a dovermi scusare.Ho trascritto male la tua funzione ed ho classificato le singolarità per un'altra funzione.
Scusa se ti ho fatto confondere.
Rimedio.
Il numeratore (che avevo sbagliato) è [tex]$N(z)=e^{-\jmath z}-1$[/tex], che si annulla in [tex]$2h\pi$[/tex] con [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex] (infatti [tex]$e^{-\jmath 2h\pi} =1$[/tex] per la periodicità dell'esponenziale complesso).
Gli zeri sono di ordine [tex]$1$[/tex], perchè derivando si trova:
[tex]$N^\prime (z)=-\jmath N(z)\ \Rightarrow \ \forall h\in \mathbb{Z},\ N(2h\pi)=-\jmath \neq 0$[/tex].
Quindi si ha:
- se [tex]$k$[/tex] è dispari (ossia [tex]$k=2h+1$[/tex]), allora [tex]$k\pi$[/tex] è zero d'ordine [tex]$2$[/tex] del denominatore e non è zero del numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex];
- se [tex]$k$[/tex] è pari (ossia [tex]$k=2h$[/tex]) e [tex]$\neq 0$[/tex], allora [tex]$k\pi$[/tex] è zero d'ordine [tex]$2$[/tex] per il denominatore e d'ordine [tex]$1$[/tex] per il numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$1$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex];
- se [tex]$k=0$[/tex], allora [tex]$0$[/tex] è uno zero d'ordine [tex]$3$[/tex] del denominatore e d'ordine [tex]$1$[/tex] del numeratore, quindi è un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] per [tex]$f(z)$[/tex].
Alla fin fine, lo zero e [tex]$\pi$[/tex] rimangono poli d'ordine [tex]$2$[/tex], ma il procedimento non era giusto.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, sì purtroppo devi calcolare quella schifezza lì.
quindi il residuo in zero vale sempre zero, mentre il residuo in pigreco va calcolato con quella fastidiosissima derivata. ottimo 
Tutti e due i residui vanno calcolati con quella formula lì.
Ed il residuo in [tex]$0$[/tex] non è affatto zero, come erroneamente affermava qualcun altro.
Ad esempio:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{z(e^{-\jmath z}-1)}{\sin^2 z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin^2 z -2z(e^{-\jmath z}-1)\sin z \cos z}{\sin^4 z}$[/tex]
[tex]$=\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin z -2z(e^{-\jmath z}-1) \cos z}{\sin^3 z}$[/tex]
e, per [tex]$z\approx 0$[/tex], usando gli sviluppi di Taylor opportunamente troncati hai:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] \approx \frac{[(-\jmath z + \frac{1}{2} (-\jmath z)^2) -\jmath z (1-\jmath z)] z -2z(-\jmath z)1}{z^3} \approx \frac{-\frac{1}{2}\ z^3}{z^3}$[/tex]
quindi:
[tex]$\text{Res} (f(z);0) =\lim_{z\to 0}\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =-\frac{1}{2}$[/tex].
Per [tex]$\pi$[/tex] devi fare gli stessi conti, più o meno.
Ed il residuo in [tex]$0$[/tex] non è affatto zero, come erroneamente affermava qualcun altro.
Ad esempio:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{z(e^{-\jmath z}-1)}{\sin^2 z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin^2 z -2z(e^{-\jmath z}-1)\sin z \cos z}{\sin^4 z}$[/tex]
[tex]$=\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin z -2z(e^{-\jmath z}-1) \cos z}{\sin^3 z}$[/tex]
e, per [tex]$z\approx 0$[/tex], usando gli sviluppi di Taylor opportunamente troncati hai:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] \approx \frac{[(-\jmath z + \frac{1}{2} (-\jmath z)^2) -\jmath z (1-\jmath z)] z -2z(-\jmath z)1}{z^3} \approx \frac{-\frac{1}{2}\ z^3}{z^3}$[/tex]
quindi:
[tex]$\text{Res} (f(z);0) =\lim_{z\to 0}\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =-\frac{1}{2}$[/tex].
Per [tex]$\pi$[/tex] devi fare gli stessi conti, più o meno.
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