Grado di iperstaticità
Ciao a tutti! è un po che non mi facevo ma ora ho di nuovo bisogno di voi 
scusate la domanda banale ma come si trova, in generale, il grado di iperstaticità di una struttura qualsiasi? quali sono le condizioni che devo considerare? simmetrie? trucchetti? grazie
scusate la domanda banale ma come si trova, in generale, il grado di iperstaticità di una struttura qualsiasi? quali sono le condizioni che devo considerare? simmetrie? trucchetti? grazie
Risposte
Nessuno riesce ad aiutarmi? 
Se volete potete farmi degli esempi sui 3 esempi sotto
http://img202.imageshack.us/i/immaginelub.jpg/
nel primo avrei fatto: $3+2+2 - 3 -$ n° di gradi di libertà che ho con la biella (che non so quanti sono) = grado di iperstaticità
nel secondo stesso discorso....
nel terzo per lo stesso ragionamento avrei detto $3+2+2-3=4$ volte iperstat...
Il prof non ha mai approfondito il discorso andando a considerarsi la matrice dei coeff delle reazioni vincolari e non ha mai parlato dei centri di rotazione...
Come posso calcolare il grado di iperstaticità senza ricorrere a tali metodi? tks!
Se volete potete farmi degli esempi sui 3 esempi sottohttp://img202.imageshack.us/i/immaginelub.jpg/
nel primo avrei fatto: $3+2+2 - 3 -$ n° di gradi di libertà che ho con la biella (che non so quanti sono) = grado di iperstaticità
nel secondo stesso discorso....
nel terzo per lo stesso ragionamento avrei detto $3+2+2-3=4$ volte iperstat...
Il prof non ha mai approfondito il discorso andando a considerarsi la matrice dei coeff delle reazioni vincolari e non ha mai parlato dei centri di rotazione...
Come posso calcolare il grado di iperstaticità senza ricorrere a tali metodi? tks!
Allora, per essere chiaro, voglio partire dalle nozioni basilari, sperando che questo approccio possa aiutarti a sviluppare l'argomento anche a livelli superiori, magari da solo 
(e sempre sperando di aver capito le tue perplessità)
Supponiamo di avere un sistema di [tex]$n$[/tex] punti geometrici: [tex]$S = \{P_1 ; P_2 ; P_3 ...... , P_n\}$[/tex]
Siamo nello spazio, quindi questo sistema ha [tex]$3n$[/tex] gradi di libertà (infatti ad ogni punto corrispondono [tex]$3$[/tex] gradi di libertà che,in parole povere, esprimono la possibilità del punto di muoversi lungo le tre direzioni dello spazio).
Supponiamo ora che al sistema di punti siano imposti [tex]$m$[/tex] vincoli semplici (quindi il sistema non è più libero):
[tex]$f_{j} (x_1}y_1 , z_1, x_2, y_2, z_2,........,x_n,y_n,z_n)= 0$[/tex] dove [tex]$j=1,2,3,.....,m$[/tex]
Sappi solo che le sopradefinite funzioni sono reali a valori reali e la somma dei quadrati delle derivate parziali prime sia nulla ( prendilo per buono, anche se non capisci il perché, ma adesso non è fondamentale specificarlo!)
detto questo, dobbiamo trovare il numero dei gradi di libertà del sistema vincolato, applicando questa "formula":
[tex]$l = 3n - \text{ numero delle equazioni di vincolo bilateri indipendenti}$[/tex]
Quindi per trovare tra tutte le equazioni, quelle indipendenti (che ci servono nella formula), dobbiamo trovare il rango delle matrice Jacobiana, ricordando il modo in cui avevamo espresso i vincoli bilateri.
La matrice sarà fatta in questo modo:
[tex]J = $\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial z_n} \\ \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial z_n} \\ \\
.& . & . & . &. & . &. & .&. \\ \\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial z_n} \\
\end{pmatrix}$[/tex]
Come puoi ben vedere è una matrice costituita da [tex]$m$[/tex] righe e [tex]$3n$[/tex] colonne; per essere rigorosi sulla notazione potremmo dire che è una matrice del tipo [tex]$J(m \times 3n)$[/tex]
Quindi adesso per calcolare il rango di questa matrice dobbiamo distinguere necessariamente tre casi:
1. [tex]$m > 3n$[/tex]
2. [tex]$m = 3n$[/tex]
3. [tex]$m < 3n$[/tex]
L'iperstaticità rientra nel primo caso ([tex]$m > 3n$[/tex]):
in questo caso distinguiamo altri due sottocasi:
Chiamato [tex]$\rho$[/tex] il rango della matrice Jacobiana:
se [tex]$\rho < 3n \Rightarrow l = 3n - \rho $[/tex] il sistema si dice labile a vincoli inefficaci.
se [tex]$\rho = 3n \Rightarrow l = 3n - 3n = 0$[/tex] il sistema si dice IPERSTATICO
Nel caso di iperstaticità il sistema, praticamente, perde tutti i suoi gradi di libertà ed in più è soggetto ad altri [tex]$m-3n$[/tex] vincoli semplici che ripeteranno l'azione di alcuni dei [tex]$3n$[/tex] vincoli indipendenti. Cioè praticamente i vincoli (che rendono nullo qualsiasi atto di moto) sono sovrabbondanti.
E' come se, dopo aver bloccato un oggetto attraverso un particolare vincolo (l'oggetto già solo con questo vincolo è fermo, non può muoversi in nessun modo), gliene aggiungo un altro.
a cosa serve questa "sovrabbondanza"? Beh in termini pratici serve perché se per una qualunque ragione il primo vincolo dovesse rompersi il sistema non diventerebbe labile ma continuerebbe ad essere statico. non so se ho reso l'idea.
Ragionando in questi termini è facile capire quando un sistema è iperstatico oppure lab. a v. ineff.
Quindi alla domanda: "come si trova il grado di iperstiticità?" ti rispondo in maniera schematica:
- Ti trovi il numero dei gradi di libertà del sistema libero (i gradi liberi)
- Conta il numero dei gradi di vincolo (attento devi considerare solo i vincoli indipendenti, è proprio qui che entra in gioco tutto quel "discorsone" sulla matrice Jacobiana)
- Se i gradi di vincolo sono maggiori ai gradi di libertà, allora il sistema è iperstatico ed il grado di iperstaticità si trova facendo la differenza tra i gradi liberi e i gradi di vincolo.
Diciamo che negli esercizi più complessi, la "difficoltà" stà proprio nel trovare il numero dei vincoli indipendenti, perché spesso escono matrici enormi e bisogna acquisire una certa praticità per trovare il rango di queste matrici senza fare errori e senza perdere troppo tempo con i calcoli. Non è tanto difficile quanto lungo e noioso.
Spero di averti dato, in qualche modo, una mano.
Se non capisci qualcosa, chiedi pure.
(e sempre sperando di aver capito le tue perplessità)Supponiamo di avere un sistema di [tex]$n$[/tex] punti geometrici: [tex]$S = \{P_1 ; P_2 ; P_3 ...... , P_n\}$[/tex]
Siamo nello spazio, quindi questo sistema ha [tex]$3n$[/tex] gradi di libertà (infatti ad ogni punto corrispondono [tex]$3$[/tex] gradi di libertà che,in parole povere, esprimono la possibilità del punto di muoversi lungo le tre direzioni dello spazio).
Supponiamo ora che al sistema di punti siano imposti [tex]$m$[/tex] vincoli semplici (quindi il sistema non è più libero):
[tex]$f_{j} (x_1}y_1 , z_1, x_2, y_2, z_2,........,x_n,y_n,z_n)= 0$[/tex] dove [tex]$j=1,2,3,.....,m$[/tex]
Sappi solo che le sopradefinite funzioni sono reali a valori reali e la somma dei quadrati delle derivate parziali prime sia nulla ( prendilo per buono, anche se non capisci il perché, ma adesso non è fondamentale specificarlo!)
detto questo, dobbiamo trovare il numero dei gradi di libertà del sistema vincolato, applicando questa "formula":
[tex]$l = 3n - \text{ numero delle equazioni di vincolo bilateri indipendenti}$[/tex]
Quindi per trovare tra tutte le equazioni, quelle indipendenti (che ci servono nella formula), dobbiamo trovare il rango delle matrice Jacobiana, ricordando il modo in cui avevamo espresso i vincoli bilateri.
La matrice sarà fatta in questo modo:
[tex]J = $\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial z_n} \\ \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial z_n} \\ \\
.& . & . & . &. & . &. & .&. \\ \\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_1}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_1}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial z_1}, & . & . & . & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_n}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_n}, & \frac{\partial f_{m}}{\partial z_n} \\
\end{pmatrix}$[/tex]
Come puoi ben vedere è una matrice costituita da [tex]$m$[/tex] righe e [tex]$3n$[/tex] colonne; per essere rigorosi sulla notazione potremmo dire che è una matrice del tipo [tex]$J(m \times 3n)$[/tex]
Quindi adesso per calcolare il rango di questa matrice dobbiamo distinguere necessariamente tre casi:
1. [tex]$m > 3n$[/tex]
2. [tex]$m = 3n$[/tex]
3. [tex]$m < 3n$[/tex]
L'iperstaticità rientra nel primo caso ([tex]$m > 3n$[/tex]):
in questo caso distinguiamo altri due sottocasi:
Chiamato [tex]$\rho$[/tex] il rango della matrice Jacobiana:
se [tex]$\rho < 3n \Rightarrow l = 3n - \rho $[/tex] il sistema si dice labile a vincoli inefficaci.
se [tex]$\rho = 3n \Rightarrow l = 3n - 3n = 0$[/tex] il sistema si dice IPERSTATICO
Nel caso di iperstaticità il sistema, praticamente, perde tutti i suoi gradi di libertà ed in più è soggetto ad altri [tex]$m-3n$[/tex] vincoli semplici che ripeteranno l'azione di alcuni dei [tex]$3n$[/tex] vincoli indipendenti. Cioè praticamente i vincoli (che rendono nullo qualsiasi atto di moto) sono sovrabbondanti.
E' come se, dopo aver bloccato un oggetto attraverso un particolare vincolo (l'oggetto già solo con questo vincolo è fermo, non può muoversi in nessun modo), gliene aggiungo un altro.
a cosa serve questa "sovrabbondanza"? Beh in termini pratici serve perché se per una qualunque ragione il primo vincolo dovesse rompersi il sistema non diventerebbe labile ma continuerebbe ad essere statico. non so se ho reso l'idea.
Ragionando in questi termini è facile capire quando un sistema è iperstatico oppure lab. a v. ineff.
Quindi alla domanda: "come si trova il grado di iperstiticità?" ti rispondo in maniera schematica:
- Ti trovi il numero dei gradi di libertà del sistema libero (i gradi liberi)
- Conta il numero dei gradi di vincolo (attento devi considerare solo i vincoli indipendenti, è proprio qui che entra in gioco tutto quel "discorsone" sulla matrice Jacobiana)
- Se i gradi di vincolo sono maggiori ai gradi di libertà, allora il sistema è iperstatico ed il grado di iperstaticità si trova facendo la differenza tra i gradi liberi e i gradi di vincolo.
Diciamo che negli esercizi più complessi, la "difficoltà" stà proprio nel trovare il numero dei vincoli indipendenti, perché spesso escono matrici enormi e bisogna acquisire una certa praticità per trovare il rango di queste matrici senza fare errori e senza perdere troppo tempo con i calcoli. Non è tanto difficile quanto lungo e noioso.
Spero di averti dato, in qualche modo, una mano.
Se non capisci qualcosa, chiedi pure.
Intanto ti ringrazio per il tempo perso ad aiutarmi più o meno ho capito (devo e voglio leggerlo con attenzione)...
il prof purtroppo non ci ha spiegato questo metodo con le matrici, e gli esercizi sono molto semplici.. quello che ho messo è un esercizio che ho trovato su certe dispense...ora visto che non è richiesto per l'esame studio il necessario, poi mi dedicherò ad approfondire anche perchè nel mio campo (ing. edile architettura è importante)
tra l'altro per vie traverse altre fonti mi hanno riferito che il metodo analitico è un metodo stupido, o meglio, adatto ad un computer... mentre nella pratica è molto più facile e comodo e allo stesso tempo corretto ricondursi a sottostrutture più semplici (ad esempio la parte destra della trave che ho postato è un arco a tre cerniere quindi isostatico ecc ecc)...
credo comunque che per cultura mia personale e anche ai fini della mia futura professione sia neccessario impare bene entrambi i metodi grazie
ps.
nel caso avessi i vincoli interni con magari $n$ aste confluenti in quello snodo come devo procedere? perchè da quello che ho capito i vincoli interni sono $v.i.=m(n-1)$ dove m è il numero di spostamenti che uno snodo impedisce mentre n-1 è il numero delle aste tenendone ferma una e facendo spostare le altre (spostamenti mutui)...
più o meno ho capito (devo e voglio leggerlo con attenzione)...il prof purtroppo non ci ha spiegato questo metodo con le matrici, e gli esercizi sono molto semplici.. quello che ho messo è un esercizio che ho trovato su certe dispense...ora visto che non è richiesto per l'esame studio il necessario, poi mi dedicherò ad approfondire anche perchè nel mio campo (ing. edile architettura è importante)
tra l'altro per vie traverse altre fonti mi hanno riferito che il metodo analitico è un metodo stupido, o meglio, adatto ad un computer... mentre nella pratica è molto più facile e comodo e allo stesso tempo corretto ricondursi a sottostrutture più semplici (ad esempio la parte destra della trave che ho postato è un arco a tre cerniere quindi isostatico ecc ecc)...
credo comunque che per cultura mia personale e anche ai fini della mia futura professione sia neccessario impare bene entrambi i metodi
grazie ps.
nel caso avessi i vincoli interni con magari $n$ aste confluenti in quello snodo come devo procedere? perchè da quello che ho capito i vincoli interni sono $v.i.=m(n-1)$ dove m è il numero di spostamenti che uno snodo impedisce mentre n-1 è il numero delle aste tenendone ferma una e facendo spostare le altre (spostamenti mutui)...
"Knuckles":
tra l'altro per vie traverse altre fonti mi hanno riferito che il metodo analitico è un metodo stupido, o meglio, adatto ad un computer... mentre nella pratica è molto più facile e comodo e allo stesso tempo corretto ricondursi a sottostrutture più semplici (ad esempio la parte destra della trave che ho postato è un arco a tre cerniere quindi isostatico ecc ecc)
Cercavo di fornirti un'approccio teorico per farti capire fino in fondo il significato di iperstaticità di un sistema. Purtroppo la matrice serve calcolarla per determinare l'indipendenza dei vincoli, va da sè che se l'esercizio dà a priori per scontata l'indipendenza di tutti i vincoli puoi evitarla e tutto sarà più semplice...ma questo puoi farlo in qualità di studente. In qualità di ingegnere non ti sarà più permesso (imho)
.Comunque un approccio "semplicistico" del problema, te l'ho dato nelle ultime righe del messaggio precedente:
Quindi alla domanda: "come si trova il grado di iperstiticità?" ti rispondo in maniera schematica:
- Ti trovi il numero dei gradi di libertà del sistema libero (i gradi liberi)
- Conta il numero dei gradi di vincolo (attento devi considerare solo i vincoli indipendenti, è proprio qui che entra in gioco tutto quel "discorsone" sulla matrice Jacobiana)
- Se i gradi di vincolo sono maggiori ai gradi di libertà, allora il sistema è iperstatico ed il grado di iperstaticità si trova facendo la differenza tra i gradi liberi e i gradi di vincolo.
Ciao.
@Mathcrazy
per caso sono capitato su questa pagina cercando su google.. e la tua risposta è proprio quello che cercavo!
mi ha aiutato a costruire un ponte tra la meccanica razionale rigorosa e attenta ai minimi dettagli e
la meccanica dei solidi. Sfortunatamente mi è stata spiegata spesso senza precisare e motivare
i risultati, riducendo il tutto a un mero esercizio di calcolo.
Io però vorrei anche capire quello che faccio. Su quale testo hai trovato questa descrizione?
Perchè la somma dei quadrati delle derivate parziali di $ f_j $ deve esser nulla?
Questo approccio che hai mostrato è proprio della scienza delle costruzioni o deriva da un
corso di matematica applicata? Ti ringrazio molto
Nel caso avessi qualche consiglio sul come apprendere al meglio la materia li accetto volentieri,
vorrei studiardarla per avere un bagaglio anche se il mio corso di scienza è stato penoso.
Studio ing. meccanica - scusa le domande numerose, risp dove preferisci! grazie
per caso sono capitato su questa pagina cercando su google.. e la tua risposta è proprio quello che cercavo!
mi ha aiutato a costruire un ponte tra la meccanica razionale rigorosa e attenta ai minimi dettagli e
la meccanica dei solidi. Sfortunatamente mi è stata spiegata spesso senza precisare e motivare
i risultati, riducendo il tutto a un mero esercizio di calcolo.
Io però vorrei anche capire quello che faccio. Su quale testo hai trovato questa descrizione?
Perchè la somma dei quadrati delle derivate parziali di $ f_j $ deve esser nulla?
Questo approccio che hai mostrato è proprio della scienza delle costruzioni o deriva da un
corso di matematica applicata? Ti ringrazio molto
Nel caso avessi qualche consiglio sul come apprendere al meglio la materia li accetto volentieri,
vorrei studiardarla per avere un bagaglio anche se il mio corso di scienza è stato penoso.
Studio ing. meccanica - scusa le domande numerose, risp dove preferisci! grazie
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