[Geotecnica] Dubbio su cerchio di Mohr

[parryns93]

Buona sera, ho un problema teorico sul cerchio di Mohr. Intanto vi posto l'immagine:




Dunque la cosa che non riesco a capire è perchè l'angolo formato dall'asse x e dalla congiungente il centro con il punto di coordinate σn , τ è pari al doppio di θ?

Grazie anticipatamente dell'aiuto !

[donald_zeka]

Per un teorema famoso come il cristo

[parryns93]

"Vulplasir":Per un teorema famoso come il cristo

Altra cosa famosa come il cristo è la gentilezza, che purtroppo ormai è andata perduta ! Mi chiedo che senso ha dire che un teorema sia famoso come il cristo, se vuoi rispondere bene e sennò altrimenti non rispondere e fine ci fai più bella figura e non passi per il moralizzatore di turno.

[StefanoOne]

Data la figura:




lo vedi subito.

Poichè il triangolo a sinitra è isoscele, infatti tutto il triangolo (cioè dato dalla somma dei due triangoli) è retto quindi:

$90+ \theta + \theta + x = 180$

$x= 90 - 2 \theta$

quindi guardando adesso il triangolo rettangolo piccolo si ha

$\beta + x + 90 = 180$

$\beta = 2 \theta$

ed è dimostrato.

Questo è il teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza

[xnix]

"Jack933":Dunque la cosa che non riesco a capire è perchè l'angolo formato dall'asse x e dalla congiungente il centro con il punto di coordinate σn , τ è pari al doppio di θ?

se il tuo problema non è il significato geometrico ma più tosto concettuale o di "costruzione" del cerchio...

dunque saprai sicuramente che il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica dello stato di tensioni bi o tri-dimensionale.
partendo dal caso piano di tensione, come puoi vedere dalla figura, facendo ruotare una faccia intorno ad un asse puoi scomporre su questa le componenti di tensione principali ($\sigma$ e $\tau$)



come vedi al ruotare del piano si descrive la circonferenza, vediamolo più nel dettaglio:




quindi puoi scomporre le tensioni principali su questo piano al variare della sua giacitura tramite le seguenti relazioni:

$(\sigma_n= \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2)$ ; $\tau_n= (\sigma_1- \sigma_2)$ - $(1)$

$n_1=cos\alpha_1$ ; $n_2=sen\alpha_1$ - $(2)$

sostituendo le $(2)$ nella $(1)$ ottieni:

$(\sigma_1- \sigma_2) sin\alpha_1 cos\alpha_1= (\sigma_1- \sigma_2) 1/2 sin(\2alpha_1)$ quindi

$\tau_n= (\sigma_1- \sigma_2) 1/2 sin(\2alpha_1)$

dove $(\sigma_1- \sigma_2)/2$ è il raggio della circonferenza allora $\tau_n= R sin(\2alpha_1)$ vedi figura seguente