Geometria delle aree - momento d'inerzia
Salve ragazzi.
Sono alle prese con i primi esercizi di geometria delle aree e già ho i primi dubbi.. Non capisco una formula che viene usata nel libro per calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse y. Ho postato le immagine relative all'esercizio, si tratta della seconda formula di 8.1.1 . Ho capito che ha applicato il teorema di trasposizione e che moltiplica per 2 perché fa i calcoli relativi a un rettangolo, ma non riesco a spiegarmi perché al posto di mettere 1/12 mette 1/3.. E poi rispetto a quale retta generica lo calcola? Rispetto alla retta passante per il baricentro di un rettangolo?
Grazie mille in anticipo
http://imageshack.us/photo/my-images/16/esercizio81.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/40/secondaparte.jpg/
Sono alle prese con i primi esercizi di geometria delle aree e già ho i primi dubbi.. Non capisco una formula che viene usata nel libro per calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse y. Ho postato le immagine relative all'esercizio, si tratta della seconda formula di 8.1.1 . Ho capito che ha applicato il teorema di trasposizione e che moltiplica per 2 perché fa i calcoli relativi a un rettangolo, ma non riesco a spiegarmi perché al posto di mettere 1/12 mette 1/3.. E poi rispetto a quale retta generica lo calcola? Rispetto alla retta passante per il baricentro di un rettangolo?
Grazie mille in anticipo
http://imageshack.us/photo/my-images/16/esercizio81.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/40/secondaparte.jpg/
Risposte
Si legge molto male, l'allegato al tuo post.
Comunque, considera che la figura si può immaginare costituita da due rettangoli affiancati per il lato disposto lungo l'asse $y$, ognuno dei due con il suo buco. Perciò, il momento di inerzia di uno solo di questi rettangoli, rispetto all'asse $y$ detto, contiene il coefficiente $1/3$ anziché $1/12$ ( naturalmente devi poi sottrarre il momento di inerzia del buco).
Questo perché quando hai un rettangolo di lati $a$ e $b$, e calcoli il momento d'inerzia rispetto agli assi baricentrici paralleli ai lati ottieni i due valori : $1/12*ab^3$ e rispettivamente $1/12*ba^3$.
Se poi vuoi calcolarlo rispetto alla retta su cui giace un lato, ad es $a$, devi sommare il termine di trasporto:
$I_a = 1/12*ab^3 + (ab)*(1/2b)^2$
Comunque, considera che la figura si può immaginare costituita da due rettangoli affiancati per il lato disposto lungo l'asse $y$, ognuno dei due con il suo buco. Perciò, il momento di inerzia di uno solo di questi rettangoli, rispetto all'asse $y$ detto, contiene il coefficiente $1/3$ anziché $1/12$ ( naturalmente devi poi sottrarre il momento di inerzia del buco).
Questo perché quando hai un rettangolo di lati $a$ e $b$, e calcoli il momento d'inerzia rispetto agli assi baricentrici paralleli ai lati ottieni i due valori : $1/12*ab^3$ e rispettivamente $1/12*ba^3$.
Se poi vuoi calcolarlo rispetto alla retta su cui giace un lato, ad es $a$, devi sommare il termine di trasporto:
$I_a = 1/12*ab^3 + (ab)*(1/2b)^2$
Va bene tutto chiaro. Mi resta solo un dubbio riguardante ancora questa formula: perché considera l'area del cerchio (π(R)^2) e non l'area del rettangolo. Si sta applicando il teorema di trasposizione al rettangolo, non al cerchio.. quindi si dovrebbe mettere l'area del rettangolo o sbaglio?
Guarda nella 8.1.1 l'espressione di $I_\eta$ , e precisamente il trinomio dentro la parentesi quadra: il primo termine col segno $+$ si riferisce al rettangolo, come detto. Gli altri due termini col segno $-$ si riferiscono al foro, e sono il momento di inerzia proprio e il termine di trasporto, che vanno appunto sottratti entrambi per avere il momento di inerzia del mezzo rettangolo "bucato" rispetto all'asse $\eta$.
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