[Fluidodinamica, Teorema di Kelvin]

[epimar1]

Ciao a tutti,

ho l'esame di fluido mercoledì e studiando il teorema di Kelvin mi è venuto qualche dubbio sulla dimostrazione.
Quella che ho io è più o meno la stessa che ho trovato qui a pagina 7:

http://personalpages.to.infn.it/~gbosia ... azione.pdf

Quando scrive che sostituisce ${du}/{dt}$ usando l'equazione di Eulero ${du}/{dt}=-\{grad p}/{\rho}+g$ non può non venirmi in mente l'equazione della quantità di moto senza attrito viscoso ${Du}/{Dt}={du}/{dt}+u\cdot \grad u = -\{grad p}/{\rho}+g$

C'è un $u\cdot \grad u$ di troppo

L'unica cosa che mi è venuta in mente per spiegarmi questo è che quando uso il teorema di Stokes passando da una curva chiusa alla superficie

$\oint_l (u\cdot \grad u)\cdot dl =\int_S \grad \times(u\cdot \grad u)\cdot dS = \int_S \grad \times(grad{u\cdotu}/2)\cdot dS -\int_S \grad \times(u times(\grad \times u)) \cdot dS$

Il primo è il rotore di una divergenza ed è sempre uguale a 0

Il secondo, essendo $\grad\times u=w$ e $\grad\times(u\times w)=(w\cdot \grad)u+u(\grad\cdot w)-(u\cdot\grad)w-w(\grad\cdot u)$, dove $\grad\cdot u=0$ per l'incomprimibilità e $\grad\cdot w= 0$ perchè divergenza di un rotore:

$\int_S \grad \times(u times(\grad \times u)) \cdot dS = \int_S \grad\times(u\times w)\cdot dS=\int_s[(w\cdot \grad)u-(u\cdot\grad)w]\cdot dS$

però in questo modo lo dimostro solo per $w=0$ quindi credo di aver saltato un concetto fondamentale, ma non capisco quale.

Grazie.

[Nietzsche610]

Puoi essere più specifico sulle quantità? Voglio dire, quali sono vettori e quali sono scalari?

[epimar1]

"Gabriele.Sciaguato":Puoi essere più specifico sulle quantità? Voglio dire, quali sono vettori e quali sono scalari?

Velocità, vorticità e il campo di forze gravitazionali sono vettori, mentre la pressione è uno scalare.
Anche le quantità differenziali dl e dS sono rispettivamente un vettore e una superficie orientata.