[Fluidodinamica] Riempimento serbatoio e altezza massima raggiunta

[desterix95]

Buongiorno, non riesco a risolvere il seguente esercizio:

Una portata volumetrica costante $Q$ di acqua entra in un serbatoio cilindrico, di diametro $D_0$, inizialmente vuoto, dal cui fondo fuoriesce, con imbocco ben raccordato, un tronchetto di tubazione di diametro $D$, $D
Intanto, perchè mi specifica imbocco ben raccordato, per dire di trascurare le perdite?
Poi non riesco a capire quale volume di controllo devo considerare, quello con sezione di ingresso definita dall'altezza $h(t)$ che aumenta con la portata entrante e con sezione d'uscita nell'imbocco? Però avrei un volume di controllo variabile nel tempo, cioè non fisso.
Applicando l'equazione di continuità, avrei:
$frac{}{\partial t}\partial (rhoAh(t))+rho(v_2A_2)=0$ (indico con 2 la sezione di uscita)
Con $v_2=sqrt(2gh(t))$.
Però alla fine mi torna una dipendenza di $h$ da $t^2$. Come faccio a trovare $h_max$?

[mdonatie]

Nel caso in cui il sistema si presentasse in stato stazionario, applicando l'equazione di Bernoulli determineresti la relazione di Torricelli:
\begin{equation*}\left_2=\sqrt{2gh}\end{equation*}
In questo caso il sistema si presenta in condizioni di accumulo di acqua, quindi, imponendo il bilancio di materia in stato non stazionario ottieni la seguente relazione:
\begin{equation*} \frac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \rho dV=\left<\rho v\right>_1 S_1 - \left<\rho v\right>_2 S_2\end{equation*}
Considerando il fluido incomprimibile e che la variazione di volume sia dipendente dalla sola altezza:
\begin{equation*}\rho S_1 \frac{dh}{dt}=\rho \left_1S_1- \rho S_2\sqrt{2gh}\end{equation*}
Per una semplificazione del problema è possibile adimensionalizzare l'equazione differenziale.
Considerando l'altezza di stato stazionario: \begin{equation*}h_{ss}=\frac{\left _2^2}{2g}=\frac{ \left _1^2}{2g} \qquad \rightarrow \qquad \tilde{h}=\frac{h}{h_{ss}}=\frac{2gh}{\left_1^2}\end{equation*}
Sostituendo con il parametro di altezza adimensionale:
\begin{equation*}\rho S_1 \frac{\left_1^2}{2g} \frac{d\tilde{h}}{dt}=\rho \left_1 \left(S_1-S_2 \sqrt{\tilde{h}}\right)\end{equation*}
Dividendo per $\rho <>_1 S_1$:
\begin{equation*}\frac{ \left_1}{2g} \frac{ d\tilde{h} }{dt} = \left(1-\frac{S_2}{S_1} \sqrt{\tilde{h}}\right) \end{equation*}
Facendo attenzione al termine $(<>_1)/(2g)$ possiamo notare che questo ha le dimensioni di un tempo, perciò:
\begin{equation*}\tilde{t}=\frac{t}{\frac{\left_1}{2g}}\end{equation*}
In tal caso l'equazione differenziale diventerà:
\begin{equation*}\frac{d\tilde{h}}{d\tilde{t}}=\left(1-\frac{S_2}{S_1}\sqrt{\tilde{h}}\right)\end{equation*}
Risolvendo l'equazione differenziale otteniamo:
\begin{equation*}\int_{0}^{\tilde{h}} \frac{d\tilde{h}'}{1-\frac{S_2}{S_1}\sqrt{\tilde{h}'}}=\int_{0}^{\tilde{t}}d\tilde{t}'\end{equation*}
\begin{equation*}-2\frac{S_2}{S_1} \sqrt{\tilde{h}}-2\frac{S_1^2}{S_2^2} \ln \left(1-\frac{S_2}{S_1} \sqrt{\tilde{h}} \right)=\tilde{t} \end{equation*}
Graficando la relazione ottieni subito che questa relazione presenta un limite superiore $h_{max}=h_{ss}$ per $n\cdot t_c$.

[desterix95]

Ok, due domande:
$rhov_1A_1$ dipende dalla portata che mi dà il testo $Q$? Quindi posso scrivere $rhoQ$?
$n*t_c$ cos'è?

[mdonatie]

"desterix95":Ok, due domande:
$rhov_1A_1$ dipende dalla portata che mi dà il testo $Q$? Quindi posso scrivere $rhoQ$?
$n*t_c$ cos'è?

1. Si potresti scriverlo, però poi non otterresti una semplificazione efficiente
2.$t_c$ è il tempo caratteristico del problema.
Solitamente quando $t=t_c$ il sistema tende ad avvicinarsi all'altezza di stato stazionario del sistema.
Quindi quando $t=n\cdot t_c$, ovvero dopo un dato numero di tempi caratteristici (solitamente 4 o 5), il sistema raggiunge l'altezza massima.

[desterix95]

Ok, grazie