[Fisica Tecnica] Esercizio di termodinamica applicata
Salve a tutti !
Non capisco dove e se sbaglio nello svolgere questo problema :
In un condotto viene posizionata una resistenza elettrica da $\dot[L]=- 1200 W$ di potenza (il segno meno è per la convenzione sui segni). Un piccolo ventilatore richiama aria nel condotto e la costringe a passare attraverso la resistenza elettrica dove viene riscaldata. L'aria entra a $p_1=100kPa$ e $t_1=22°C$ ed esce a $t_2=47°C$ . La sezione del condotto è $A=25 cm^2$.
Trascurando il lavoro compiuto dal ventilatore e la dispersione termica attraverso le pareti del condotto ($\dot[Q]=0$), determinare:
i) la portata volumetrica dell'aria $\dot[V]$;
ii) la velocità $w_2$ dell'aria all'uscita.
Proprietà dell'aria :
$R= 0.287 kPa m^3 kg^(-1) K^(-1)$
$c_p=1.005 kJ kg^(-1) K^(-1)$
Io ho proceduto come segue facendo l'ipotesi che all'uscita del condotto si ha la stessa pressione che all'inizio $p_1=p_2=p$ *.
Dall'equazione di stato di gas ideale (l'aria è trattata come gas ideale in queste condizioni ) ottengo :
$pv_1=RT_1 => v_1=(RT_1)/p$ e analogamente $v_2=(RT_2)/p$
Inoltre per l'equazione di continuità della massa :
$\dot[m_1]=\dot[m_2]=\dot[m] => (\dot[V_1])/v_1=(\dot[V_2])/v_2=(A w_1)/v_1 =(A w_2)/v_2 => w_1/v_1=w_2/v_2$
Utilizzando il I principio della termodinamica per i sistemi aperti (flusso stazionario monodimensionale con 1 solo ingresso e 1 sola uscita nel volume di controllo con termini di energia potenziale gravitazionale trascurabile (condotto supposto orizzontale )) :
$\dot[Q]- \dot[L]= \dot[m](\Delta h +1/2 \Delta w^2)$ con $\Delta h = c_P\DeltaT$
si ottiene il seguente sistema:
${-\dot[L]=(Aw_1p)/(RT_1)(c_p(T_2-T_1)+1/2(w_2^2-w_1^2)) ,w_2=T_2/T_1w_1:}$
che sostituendo per $w_2$ ottengo una equazione di 3°grado , il che non mi sembra plausibile dato che non posso utilizzare calcolatori programmabili.
Di fatto anche risolvendola non trovo le soluzione date nell'esercizio che sono :
i)$\dot[V]=0.0404m^3/s$
ii)$w_2=7.21 m/s$.
Grazie per l'aiuto.
* ho provato anche a fare l'ipotesi di isocorità $v_1=v_2$ cambiando chiaramente la sezione del condotto $A_1 \ne A_2$ ma in tal caso alla fine ottenevo il seguente sistema indeterminato per via della diversificazione della sezione:
${\dot[L]=(A_2 w_2p_2)/(RT_2)(c_p(T_2-T_1)+1/2(w_2^2-w_1^2)), p_2=T_1/T_2p_1,w_2=A_1/A_2w_1:}$
Non capisco dove e se sbaglio nello svolgere questo problema :
In un condotto viene posizionata una resistenza elettrica da $\dot[L]=- 1200 W$ di potenza (il segno meno è per la convenzione sui segni). Un piccolo ventilatore richiama aria nel condotto e la costringe a passare attraverso la resistenza elettrica dove viene riscaldata. L'aria entra a $p_1=100kPa$ e $t_1=22°C$ ed esce a $t_2=47°C$ . La sezione del condotto è $A=25 cm^2$.
Trascurando il lavoro compiuto dal ventilatore e la dispersione termica attraverso le pareti del condotto ($\dot[Q]=0$), determinare:
i) la portata volumetrica dell'aria $\dot[V]$;
ii) la velocità $w_2$ dell'aria all'uscita.
Proprietà dell'aria :
$R= 0.287 kPa m^3 kg^(-1) K^(-1)$
$c_p=1.005 kJ kg^(-1) K^(-1)$
Io ho proceduto come segue facendo l'ipotesi che all'uscita del condotto si ha la stessa pressione che all'inizio $p_1=p_2=p$ *.
Dall'equazione di stato di gas ideale (l'aria è trattata come gas ideale in queste condizioni ) ottengo :
$pv_1=RT_1 => v_1=(RT_1)/p$ e analogamente $v_2=(RT_2)/p$
Inoltre per l'equazione di continuità della massa :
$\dot[m_1]=\dot[m_2]=\dot[m] => (\dot[V_1])/v_1=(\dot[V_2])/v_2=(A w_1)/v_1 =(A w_2)/v_2 => w_1/v_1=w_2/v_2$
Utilizzando il I principio della termodinamica per i sistemi aperti (flusso stazionario monodimensionale con 1 solo ingresso e 1 sola uscita nel volume di controllo con termini di energia potenziale gravitazionale trascurabile (condotto supposto orizzontale )) :
$\dot[Q]- \dot[L]= \dot[m](\Delta h +1/2 \Delta w^2)$ con $\Delta h = c_P\DeltaT$
si ottiene il seguente sistema:
${-\dot[L]=(Aw_1p)/(RT_1)(c_p(T_2-T_1)+1/2(w_2^2-w_1^2)) ,w_2=T_2/T_1w_1:}$
che sostituendo per $w_2$ ottengo una equazione di 3°grado , il che non mi sembra plausibile dato che non posso utilizzare calcolatori programmabili.
Di fatto anche risolvendola non trovo le soluzione date nell'esercizio che sono :
i)$\dot[V]=0.0404m^3/s$
ii)$w_2=7.21 m/s$.
Grazie per l'aiuto.
* ho provato anche a fare l'ipotesi di isocorità $v_1=v_2$ cambiando chiaramente la sezione del condotto $A_1 \ne A_2$ ma in tal caso alla fine ottenevo il seguente sistema indeterminato per via della diversificazione della sezione:
${\dot[L]=(A_2 w_2p_2)/(RT_2)(c_p(T_2-T_1)+1/2(w_2^2-w_1^2)), p_2=T_1/T_2p_1,w_2=A_1/A_2w_1:}$
Risposte
Io considererei $rho$ costante per l'aria e prenderei la densità che sta nella temperatura media tra $22$ e $47$ gradi, quindi ipotizzando un condotto a sezione costante, in regime permanente si ha che la velocità di entrata è pari a quella di uscita $
w$, quindi il termine $Deltaw^2$ si annulla, e resta $-dotL=dotmDeltah$
w$, quindi il termine $Deltaw^2$ si annulla, e resta $-dotL=dotmDeltah$
Ciao Vulplasir
Trovo che sia una buona idea perchè fondamentalmente considerando una densità media si agevolano le equazioni e l'errore dovrebbe essere accettabile . Peró facendo come dici non mi vengono gli stessi risultati del libro per cui resto ancora un po' perplesso .
Trovo che sia una buona idea perchè fondamentalmente considerando una densità media si agevolano le equazioni e l'errore dovrebbe essere accettabile . Peró facendo come dici non mi vengono gli stessi risultati del libro per cui resto ancora un po' perplesso .
Sicuramente alcuni dati del testo sono sbagliati, infatti applicando $-dotL=dotmDeltah$, si trova $dotV$ circa $0,04$, come dato dal testo, ma ovviamente la velocità data dal testo è sbagliata, infati $dotV=wA$, con $A=0,0025 m^3$, quindi $w_2=19 m/s$ circa
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