[Fisica Tecnica] Conduzione del calore con simmetria cilindrica
Ciao a tutti ,
vi scrivo l'esercizio che mi dà problemi (questo è il link nel caso voleste leggerlo meglio Esercizio (3) http://www.webalice.it/san_maurizio/esa ... 070402.htm )
Ecco il testo :
Un conduttore cilindrico di rame ($k=394 W/(m K)$) di diametro D = 2 mm percorso da corrente elettrica dissipa, per unità di lunghezza, una potenza pari a $0.2 W/m$. Il coefficiente di scambio termico convettivo h è pari a $10 W/(m^2 K)$ e la temperatura dell'aria ambiente è $20°C$. Il conduttore viene quindi ricoperto con una guaina di materiale isolante dello spessore di$ 1 mm$ e conducibilità termica $k = 0.15 W/(m K)$.
Domanda) Quanto vale la differenza tra la temperatura al centro del conduttore non isolato e quella alla sua superficie nell'ipotesi che la potenza termica sia "generata" in modo uniforme nel suo interno?
Ho provato a risolverlo senza seguire le soluzioni del link (che tra l'latro per questa domanda non capisco)
L'equazione di Fourier per la simmetria cilindrica è $T(x)= -(qx^2) / (4k) + Aln(x) + B$
Sia $T_0$ la temperatura al centro del cilindro ed in quel punto considero $x=0$ ottenendo $T_0= B$ .
Sia $T_s$ la temperatura sulla superficie del cilindro non isolato ; s vale 0,001 m (1 mm ) quindi ottengo $T_s= -(q(0,001)^2) / (4k) + Aln(0,001) + B$ .
La richiesta è $T_0 - T_s$ quindi devo calcolarmi $(q(0,001)^2) / (4k) - Aln(0,001)$ . Mi serve la costante A !!!
Allora posso sfruttare il fatto che il flusso termico convettivo sulla superficie del cilindro non i salto vale $phi = h(T_s - T_(est))$ ma vale anche $-k ((dT(x))/dx) = -k ((-qx)/(2k)+A/x) = (qx)/(2) - (Ak)/x$ .
Uguagliando i due flussi posso determinare A . Risparmiando i calcoli sostituisco A nella formula che ho ricavato per trovare $T_0 - T_s$ , ma non risulta ! Dove posso aver sbagliato ?? (ps : nelle soluzioni non capisco perché non utilizza q = 0,2 ) .
Grazie mille a chi ci proverà
vi scrivo l'esercizio che mi dà problemi (questo è il link nel caso voleste leggerlo meglio Esercizio (3) http://www.webalice.it/san_maurizio/esa ... 070402.htm )
Ecco il testo :
Un conduttore cilindrico di rame ($k=394 W/(m K)$) di diametro D = 2 mm percorso da corrente elettrica dissipa, per unità di lunghezza, una potenza pari a $0.2 W/m$. Il coefficiente di scambio termico convettivo h è pari a $10 W/(m^2 K)$ e la temperatura dell'aria ambiente è $20°C$. Il conduttore viene quindi ricoperto con una guaina di materiale isolante dello spessore di$ 1 mm$ e conducibilità termica $k = 0.15 W/(m K)$.
Domanda) Quanto vale la differenza tra la temperatura al centro del conduttore non isolato e quella alla sua superficie nell'ipotesi che la potenza termica sia "generata" in modo uniforme nel suo interno?
Ho provato a risolverlo senza seguire le soluzioni del link (che tra l'latro per questa domanda non capisco)
L'equazione di Fourier per la simmetria cilindrica è $T(x)= -(qx^2) / (4k) + Aln(x) + B$
Sia $T_0$ la temperatura al centro del cilindro ed in quel punto considero $x=0$ ottenendo $T_0= B$ .
Sia $T_s$ la temperatura sulla superficie del cilindro non isolato ; s vale 0,001 m (1 mm ) quindi ottengo $T_s= -(q(0,001)^2) / (4k) + Aln(0,001) + B$ .
La richiesta è $T_0 - T_s$ quindi devo calcolarmi $(q(0,001)^2) / (4k) - Aln(0,001)$ . Mi serve la costante A !!!
Allora posso sfruttare il fatto che il flusso termico convettivo sulla superficie del cilindro non i salto vale $phi = h(T_s - T_(est))$ ma vale anche $-k ((dT(x))/dx) = -k ((-qx)/(2k)+A/x) = (qx)/(2) - (Ak)/x$ .
Uguagliando i due flussi posso determinare A . Risparmiando i calcoli sostituisco A nella formula che ho ricavato per trovare $T_0 - T_s$ , ma non risulta ! Dove posso aver sbagliato ?? (ps : nelle soluzioni non capisco perché non utilizza q = 0,2 ) .
Grazie mille a chi ci proverà
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