[Fisica Matematica] Terne principali d'inerzia
Salve a tutti!
Oggi vi scrivo perché sono alle prese coi calcoli dei momenti di inerzia. In particolar modo, non riesco a capire quando una terna può essere definita principale d'inerzia. Ovvero, da definizione so che una ternza Oxyz viene detta principale di inerzia se la matrice di inerzia si può scrivere in forma diagonale. Ma all'atto pratico, come devo muovermi?
Vi allego l'immagine di un esercizio

Grazie a tutti!
Oggi vi scrivo perché sono alle prese coi calcoli dei momenti di inerzia. In particolar modo, non riesco a capire quando una terna può essere definita principale d'inerzia. Ovvero, da definizione so che una ternza Oxyz viene detta principale di inerzia se la matrice di inerzia si può scrivere in forma diagonale. Ma all'atto pratico, come devo muovermi?
Vi allego l'immagine di un esercizio

Grazie a tutti!
Risposte
La terna è principale d'inerzia se il momento $J_{xy}=0$. Questo ti può bastare? Le figure che hanno almeno un asse di simmetria vedono uno degli assi principali d'inerzia passere per l'asse baricentrico, non ricordo di casi che smentiscano questa affermazione.
Siccome $x$ e $y$ sono tra loro ortogonali, ti basta un asse di simmetria per affermare questo. La tua figura, certamente non gode di questa proprietà, cosa fare: devi calcolare il momento centrifugo. Con $J_{xx}$, $J_{yy}$ e $J_{xy}$ puoi calcolare l'angolo di rotazione del sistema di riferimento. In rete la formula la troverai, sicuramente c'è anche nel tuo libro di testo.
Il dubbio adesso è fugato o hai bisogno di maggiori dettagli?
Siccome $x$ e $y$ sono tra loro ortogonali, ti basta un asse di simmetria per affermare questo. La tua figura, certamente non gode di questa proprietà, cosa fare: devi calcolare il momento centrifugo. Con $J_{xx}$, $J_{yy}$ e $J_{xy}$ puoi calcolare l'angolo di rotazione del sistema di riferimento. In rete la formula la troverai, sicuramente c'è anche nel tuo libro di testo.
Il dubbio adesso è fugato o hai bisogno di maggiori dettagli?
Sei stato molto chiaro, ma nel nostro corso da 6CFU questo argomento dell'angolo di rotazione non è stato affrontato. Infatti il testo dell'esercizio mi chiede solo se la terna Oxyz è principare di intezia. Poiché ho verificato che il prodotto di inerzia xy non è uguale a zero, come hai scritto, allora ne ho dedotto che la terna 0xyz non è principale di inerzia.
Nella migliore delle ipotesi, un angolare a L ha lati uguali, e se anche lo spessore è uguale tra i due lati, allora il principale d'inerzia è ruotato di 45°. Ben inteso ponendosi sempre sul baricentro.
Ti ringrazio, adesso provo a pubblicare un'altra discussione con un esercizio svolto da me, per controllare se l'ho ben posto.