[Fisica generale]sistema molla compressa + corpo
Ciao a tutti 
mi è stato proposto questo esercizio. Un corpo di massa m = 3kg viene saldato ad una molla con costante elastica K = 1680 N/m e massa trascurabile.
(NB: con "saldato" intendo che viene proprio collegato alla molla, non c'è possibilità che si distacchi)
La molla viene compressa di 30 cm; Quale sarà l'altezza raggiunta dal corpo quando viene rilasciato?
______
Allora, ho ragionato in questo modo; inizialmente il sistema molla + corpo viene compresso pertanto avrò la somma tra energia potenziale del corpo e della molla:
$ -mgx+1/2Kx^2 $
Dove:
$ x = 0,30 m $
Queste quantità devono uguagliare l'istante finale in cui avrò una energia potenziale del corpo e della molla a questo punto distesa della quantità $ x_{f} $ incognita:
$ mgx_{f}+1/2K(x_{f})^2 $
Uguagliando (non vi sono altri scambi energetici, l'attrito dell'aria è trascurabile):
$ -mgx+1/2Kx^2 = mgx_{f}+1/2K(x_{f})^2 $
Ho provato a inserire dei valori ma ottengo soluzioni complesse; Secondo voi dove è l'errore?
mi è stato proposto questo esercizio. Un corpo di massa m = 3kg viene saldato ad una molla con costante elastica K = 1680 N/m e massa trascurabile.
(NB: con "saldato" intendo che viene proprio collegato alla molla, non c'è possibilità che si distacchi)
La molla viene compressa di 30 cm; Quale sarà l'altezza raggiunta dal corpo quando viene rilasciato?
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Allora, ho ragionato in questo modo; inizialmente il sistema molla + corpo viene compresso pertanto avrò la somma tra energia potenziale del corpo e della molla:
$ -mgx+1/2Kx^2 $
Dove:
$ x = 0,30 m $
Queste quantità devono uguagliare l'istante finale in cui avrò una energia potenziale del corpo e della molla a questo punto distesa della quantità $ x_{f} $ incognita:
$ mgx_{f}+1/2K(x_{f})^2 $
Uguagliando (non vi sono altri scambi energetici, l'attrito dell'aria è trascurabile):
$ -mgx+1/2Kx^2 = mgx_{f}+1/2K(x_{f})^2 $
Ho provato a inserire dei valori ma ottengo soluzioni complesse; Secondo voi dove è l'errore?
Risposte
Quanto dovrebbe venire il risultato?
L'impostazione del problema mi sembra corretta. Forse stai sostituendo male il valore di $$ x $$ nell'equazione di conservazione dell'energia.
Userei magari una notazione un pochino diversa. Userei un sistema di riferimento centrato nella posizione di quiete della molla e lasciando che i segni dell'energia potenziale siano dati dal segno della coordinata. In questo modo, l'energia potenziale della molla è sensatamente sempre positiva, mentre quella dovuta alla massa cambia di segno nel momento in cui la posizione è negativa.
L'impostazione del problema mi sembra corretta. Forse stai sostituendo male il valore di $$ x $$ nell'equazione di conservazione dell'energia.
Userei magari una notazione un pochino diversa. Userei un sistema di riferimento centrato nella posizione di quiete della molla e lasciando che i segni dell'energia potenziale siano dati dal segno della coordinata. In questo modo, l'energia potenziale della molla è sensatamente sempre positiva, mentre quella dovuta alla massa cambia di segno nel momento in cui la posizione è negativa.
Il risultato non lo conosco.
Anche io avevo pensato di considerare il pavimento come punto di riferimento ma non conosco la lunghezza a riposo della molla. Il test dice solo che viene compressa di 30 cm.
EDIT
ah ecco, ho trovato l'errore; io ho considerato come punto di riferimento l'altezza a riposo della molla pertanto va cambiato di segno pure l'energia potenziale della molla che ha agito:
$ -mgx+1/2Kx^2 = mgx_{f}-1/2K(x_{f})^2 $
Risolvendo l'equazione di secondo grado (scarto il valore negativo) ottengo 0,133279 che sarebbe l'altezza massima sopra l'altezza a riposo. Pertanto se si conoscesse tale misura, basterebbe aggiungere poco più di 13 cm.
Anche io avevo pensato di considerare il pavimento come punto di riferimento ma non conosco la lunghezza a riposo della molla. Il test dice solo che viene compressa di 30 cm.
EDIT
ah ecco, ho trovato l'errore; io ho considerato come punto di riferimento l'altezza a riposo della molla pertanto va cambiato di segno pure l'energia potenziale della molla che ha agito:
$ -mgx+1/2Kx^2 = mgx_{f}-1/2K(x_{f})^2 $
Risolvendo l'equazione di secondo grado (scarto il valore negativo) ottengo 0,133279 che sarebbe l'altezza massima sopra l'altezza a riposo. Pertanto se si conoscesse tale misura, basterebbe aggiungere poco più di 13 cm.
No, come riferimento il centro della molla, sempre. Quando x=0, deve essere che la molla è a riposo. Questo direi che è uno standard quando hai problemi sulle molle. Non ero sicuro avessi ragionato così.
Non mi ha molto convinto questo cambio di segno che hai imposto. Per la verità non mi convince nemmeno il risultato
Ragionando da ingegnere, mi chiedo, fisicamente è ragionevole il risultato di 13cm?
Per esempio, ragioniamo in termini di forze. La forza elastica che la massa riceve inizialmente quando rilasciata è di 504N. La forza peso, contraria, di 29,4N. Se la molla si allungasse di 0.3cm oltre il punto di quiete (cioè, si allunga esattamente della stessa lunghezza rispetto cui era compressa inizialmente), riceverebbe una forza di richiamo elastica esattamente di 504N. Cosa mi aspetto quindi? Che, dal momento che la forza peso agisce "al contrario", l'altezza raggiunta sia un "po' meno" di 30cm. Se compariamo le due forze, non mi aspetterei 0.13cm, ma qualcosa come 0,26-0,27-0,28.
Mi sono quindi messo a svolgere i calcoli. L'equazione che ho usato è la stessa che hai scritto tu all'inizio, lasciando però che i segni si regolino da soli una volta scelto il sistema di riferimento. Seguendo un approccio ancora più formale:
Energia Stato Iniziale (i)
M=mass
S=spring
$$ E_i= E_{M,i} + E_{S,i} = mgx_i + 1/2 Kx_i^2 $$
Energia Stato Finale (f):
$$ E_f= E_{M,f} + E_{S,f} = mgx_f+ 1/2 Kx_f^2 $$
Perchè ho scritto di base tutti i termini positivi? Sono energie proprie del sistema. Scrivo negative solo le perdite di energia (smorzamento della molla, attrito dell'aria, ecc.). Il riferimento lo pongo nella posizione di quiete della molla. Il segno dell'energia potenziale gravitazionale seguirà il segno della coordinata x. Svolgendo i calcoli ottengo la seguente equazione di secondo grado in xf:
$$ 840 x_f^2 + 29,4 x_f - 66,77 = 0 $$
Che dà come unica soluzione ragionevole:
$$ x_f = 0,265 m $$
Che è in effetti quello che mi aspettavo dall'interpretazione qualitativa del problema.
Non mi ha molto convinto questo cambio di segno che hai imposto. Per la verità non mi convince nemmeno il risultato
Ragionando da ingegnere, mi chiedo, fisicamente è ragionevole il risultato di 13cm?
Per esempio, ragioniamo in termini di forze. La forza elastica che la massa riceve inizialmente quando rilasciata è di 504N. La forza peso, contraria, di 29,4N. Se la molla si allungasse di 0.3cm oltre il punto di quiete (cioè, si allunga esattamente della stessa lunghezza rispetto cui era compressa inizialmente), riceverebbe una forza di richiamo elastica esattamente di 504N. Cosa mi aspetto quindi? Che, dal momento che la forza peso agisce "al contrario", l'altezza raggiunta sia un "po' meno" di 30cm. Se compariamo le due forze, non mi aspetterei 0.13cm, ma qualcosa come 0,26-0,27-0,28.
Mi sono quindi messo a svolgere i calcoli. L'equazione che ho usato è la stessa che hai scritto tu all'inizio, lasciando però che i segni si regolino da soli una volta scelto il sistema di riferimento. Seguendo un approccio ancora più formale:
Energia Stato Iniziale (i)
M=mass
S=spring
$$ E_i= E_{M,i} + E_{S,i} = mgx_i + 1/2 Kx_i^2 $$
Energia Stato Finale (f):
$$ E_f= E_{M,f} + E_{S,f} = mgx_f+ 1/2 Kx_f^2 $$
Perchè ho scritto di base tutti i termini positivi? Sono energie proprie del sistema. Scrivo negative solo le perdite di energia (smorzamento della molla, attrito dell'aria, ecc.). Il riferimento lo pongo nella posizione di quiete della molla. Il segno dell'energia potenziale gravitazionale seguirà il segno della coordinata x. Svolgendo i calcoli ottengo la seguente equazione di secondo grado in xf:
$$ 840 x_f^2 + 29,4 x_f - 66,77 = 0 $$
Che dà come unica soluzione ragionevole:
$$ x_f = 0,265 m $$
Che è in effetti quello che mi aspettavo dall'interpretazione qualitativa del problema.
Grazie! Ho ripercorso il tuo ragionamento e devo dire che hai ragione. Grazie ancora!
Figurati. Felice che "i conti tornino". Ciao!
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