Fasori
Il fasore di $j(t)=10cos(500t)$ è $J=10$ ?
Il fasore di $j(t)=2sin(500t)$ è $J=2$ ?
Il fasore di $j(t)=10cos(500t+pi/4)$ è $J = ?$
:S panico!!!
Il fasore di $j(t)=2sin(500t)$ è $J=2$ ?
Il fasore di $j(t)=10cos(500t+pi/4)$ è $J = ?$
:S panico!!!
Risposte
Allora si la prima è corretta la seconda è corretta e per la terza il fasore è uguale a 10.
Non sono daccordo. Il fasore (in base coseno) $X$ associato a $x(t)$ segnale sinusoidale di pulsazione $\omega_0$ è quel numero complesso (è l'inviluppo complesso costante del segnale) tale per cui $x(t) = Re{X e^{j\omega_0 t}}$, quindi nel primo caso è giusto $10$, nel secondo invece è $-2j$ e nel terzo di conseguenza sarà $10e^{j\pi /4}$.
E' possibile definire anche una corrispondenza fasore funzione seno. Difatti
$a(t)=A_msin(ωt+α) ↔ \barA={A_me^{jα}}$
Anche questa produce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione assegnata $ω$ e l'insieme dei fasori.
Quindi avremo che
$a(t)= Im {\barAe^{jα}}$
e in questo caso tutte le mie risposte sono esatte.
$a(t)=A_msin(ωt+α) ↔ \barA={A_me^{jα}}$
Anche questa produce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione assegnata $ω$ e l'insieme dei fasori.
Quindi avremo che
$a(t)= Im {\barAe^{jα}}$
e in questo caso tutte le mie risposte sono esatte.
Ok certo, ma allora è sbagliata la prima, altrimenti hai che seno e coseno sono lo stesso segnale nel dominio dei fasori 
, fissata una corrispondenza sinusoide-fasore quella rimane e quindi seno e coseno devono poter essere distinti anche nel dominio fasoriale.
, fissata una corrispondenza sinusoide-fasore quella rimane e quindi seno e coseno devono poter essere distinti anche nel dominio fasoriale.
Il primo è giusto, il secondo è sbagliato, il terzo è sbagliato.
Il secondo dovrebbe essere $-2j$, il terzo 10 fase 45°.
Il secondo dovrebbe essere $-2j$, il terzo 10 fase 45°.
Usando la definizione di fasore che ho proposto più in alto si ha: $x(t)= Re{X e^{j 500 t} } = Re{|X| e^{j (500t + \phi_X)} } = |X|cos(500t + \phi_X)$. Se $X = 2j = 2e^{j\pi/2}$ allora $x(t) = 2 cos(500t + \pi/2) = -2sin(500t)$, che non è il segnale di partenza. Se $X=-2j=2e^{-j\pi/2}$ da cui $x(t) = 2cos(500t - \pi/2) = 2sin(500t)$.
"Ska":
Usando la definizione di fasore che ho proposto più in alto si ha: $x(t)= Re{X e^{j 500 t} } = Re{|X| e^{j (500t + \phi_X)} } = |X|cos(500t + \phi_X)$. Se $X = 2j = 2e^{j\pi/2}$ allora $x(t) = 2 cos(500t + \pi/2) = -2sin(500t)$, che non è il segnale di partenza. Se $X=-2j=2e^{-j\pi/2}$ da cui $x(t) = 2cos(500t - \pi/2) = 2sin(500t)$.
sì certo, io ho dimenticato il meno ovviamente. Correggo subito
Allora, in base alla funzione sinusoidale che ho posso scegliere se usare la corrispondenza fasore funzione seno o la corrispondenza fasore funzione coseno.
Quindi per la prima funzione sinusoidale uso la corrispondenza che ha detto sopra SKA, fasore funzione coseno
Per la seconda funzione sinusoidale uso la corrispondenza sopra detta, fasore funzione seno
Per la terza funzione sinusoidale... Posso utilizzare le trasformazioni
$cos(ωt + α) = sin(ωt + α +\pi/2)$
$10cos(500t+\pi/4)=10sin(500t+\pi/4+\pi/2)$
e usare la corrispondenza fasore funzione seno.
Quindi per la prima funzione sinusoidale uso la corrispondenza che ha detto sopra SKA, fasore funzione coseno
Per la seconda funzione sinusoidale uso la corrispondenza sopra detta, fasore funzione seno
Per la terza funzione sinusoidale... Posso utilizzare le trasformazioni
$cos(ωt + α) = sin(ωt + α +\pi/2)$
$10cos(500t+\pi/4)=10sin(500t+\pi/4+\pi/2)$
e usare la corrispondenza fasore funzione seno.
Solitamente le sinusoidi si rendono in forma di coseno, in maniera tale da estrarne facilmente la parte reale e trasformare così nel dominio fasoriale della frequenza la sinusoide (deriva dalla formula di Eulero). L'ultima sinusoide che hai trattato è già espressa in forma coseno, dunque è facile vedere che, in rappresentazione polare ha modulo 10 e fase 45°. In forma rettangolare, cioè la rappresentazione standard dei numeri complessi, vale $5sqrt(2) + j 5sqrt(2)$
"Needhana":
Allora, in base alla funzione sinusoidale che ho posso scegliere se usare la corrispondenza fasore funzione seno o la corrispondenza fasore funzione coseno.
Quindi per la prima funzione sinusoidale uso la corrispondenza che ha detto sopra SKA, fasore funzione coseno
Per la seconda funzione sinusoidale uso la corrispondenza sopra detta, fasore funzione seno
Per la terza funzione sinusoidale... Posso utilizzare le trasformazioni
$cos(ωt + α) = sin(ωt + α +\pi/2)$
$10cos(500t+\pi/4)=10sin(500t+\pi/4+\pi/2)$
e usare la corrispondenza fasore funzione seno.
È qui che sbagli, non puoi cambiare la corrispondenza in uno stesso ambito, la corrispondenza sinusoide-fasore deve essere biunivoca, quindi dal dominio fasoriale bisogna poter tornare univocamente nel dominio temporale!
Se usi il dominio fasoriale per analizzare un circuito che presenta due generatori sinusoidali uno con segnale seno e l'altro coseno, non puoi trasformare questi in fasori con due convenzioni diverse altrimenti la soluzione che trovi nel dominio fasoriale oltre ad essere sbagliata è anche ambigua perchè se ti trovi un fasore a valore $5$ non sai più se è un seno o un coseno!
In una data applicazione si usa una sola convenzione, e quella rimane, di solito si usa la rappresentazione in base coseno, nulla vieta l'uso della base seno però non si possono mescolare per nella stessa applicazione.
Grazie di tutto a Ska e Hertz 
ora forse sto riuscendo a capire qualcosa. jajajaj L'importante è arrivarci 
Mi piacerebbe vedere una applicazione pratica, nello studio di un circuito, dei fasori che danno l'informazione dell'ampiezza del segnale e dello sfasamento rispetto al segnale cosinusoidale di uguale pulsazione- quando studiavo io di fasori non si parlava 
Grazie
Grazie
L'uso dei fasori, nell'analisi circuitale, permette di trasformare il sistema di equazioni differenziali che descrive il circuito in un sistema di equazioni algebriche, in modo analogo a quanto si fa con la trasformata di Laplace e Fourier.
Infatti il fasore associato a $y(t) = D_t [x(t)]$ con $x(t) = A\cos(\omega t + \phi) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ è $Y = j\omega X$ con $X = Ae^{j\phi}$ fasore di $x(t)$.
Da queste si possono quindi ricavare le equazioni caratteristiche dei componenti nel dominio fasoriale e così anche le leggi di Kirchhoff.
Ovviamente questo consente di studiare la risposta a regime, "ignorando" l'effetto dei transitori.
Esempio banale, consideriamo un circuito RC-serie con sorgente di tensione ideale $v(t) = V_s cos(100t + \pi/4)$.
Scrivendo l'equazione alla maglia si ha
$v_c + v_R = v$ con $v_R = R i_r$ e $i_r = CD_t[v_c]$
che nel dominio fasoriale risulta essere
$V_c + j\omega C V_c R = V$
dalla quale si ricava $V_c = V / (1 + j\omegaRC) = V (1/{j\omega C})/(R + 1/{j\omegaC}) = V / (1 + (\omegaRC)^2)(1 - j\omega RC)$.
$V = V_s e^{j\pi/4}$, quindi si ha che $V_c = V_s/(1+(\omega RC)^2) e^{j\pi/4} - j((V_s \omega RC)/(1+(\omega RC)^2))e^{j\pi/4}$ e di conseguenza "antitrasformando" si ha $v_c(t) = V_s/(1+(\omega RC)^2) \cos(\omega t + \pi/4) + ((V_s \omega RC)/(1+(\omega RC)^2))\sin(\omega t + \pi/4)$.
Introducendo poi il concetti di impedenza si generalizza in ambito fasoriale la legge di ohm che diventa $V=ZI$ con $Z$ l'impedenza del componente. Nel caso del condensatore dall'equazione caratteristica $i_c = C D_t[v_c]$ si ricava $I_C = j\omegaC V_c$ ovvero $V_c = 1/(j\omega C) I_c$ da cui $Z_c = 1/(j\omega C)$ e l'equazione per il cirucito precedente diventa
$V_C + V_R = V$ da cui usando la legge di ohm si ricava $I = V/(Z_C + R)$ e quindi la tensione (meglio il fasore di tensione) sul condensatore risulta $V_C = I Z_C = V Z_C/(Z_C + R) = V (1/{j\omega C})/(R + 1/{j\omegaC})$
Alla fine si può vedere un collegamento con la Serie di Fourier (di segnali reali e quindi considerando solo indici positivi) nel caso di segnali (periodici) monofrequenziali, i fasori sono i coefficienti di fourier.
Infatti il fasore associato a $y(t) = D_t [x(t)]$ con $x(t) = A\cos(\omega t + \phi) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ è $Y = j\omega X$ con $X = Ae^{j\phi}$ fasore di $x(t)$.
Da queste si possono quindi ricavare le equazioni caratteristiche dei componenti nel dominio fasoriale e così anche le leggi di Kirchhoff.
Ovviamente questo consente di studiare la risposta a regime, "ignorando" l'effetto dei transitori.
Esempio banale, consideriamo un circuito RC-serie con sorgente di tensione ideale $v(t) = V_s cos(100t + \pi/4)$.
Scrivendo l'equazione alla maglia si ha
$v_c + v_R = v$ con $v_R = R i_r$ e $i_r = CD_t[v_c]$
che nel dominio fasoriale risulta essere
$V_c + j\omega C V_c R = V$
dalla quale si ricava $V_c = V / (1 + j\omegaRC) = V (1/{j\omega C})/(R + 1/{j\omegaC}) = V / (1 + (\omegaRC)^2)(1 - j\omega RC)$.
$V = V_s e^{j\pi/4}$, quindi si ha che $V_c = V_s/(1+(\omega RC)^2) e^{j\pi/4} - j((V_s \omega RC)/(1+(\omega RC)^2))e^{j\pi/4}$ e di conseguenza "antitrasformando" si ha $v_c(t) = V_s/(1+(\omega RC)^2) \cos(\omega t + \pi/4) + ((V_s \omega RC)/(1+(\omega RC)^2))\sin(\omega t + \pi/4)$.
Introducendo poi il concetti di impedenza si generalizza in ambito fasoriale la legge di ohm che diventa $V=ZI$ con $Z$ l'impedenza del componente. Nel caso del condensatore dall'equazione caratteristica $i_c = C D_t[v_c]$ si ricava $I_C = j\omegaC V_c$ ovvero $V_c = 1/(j\omega C) I_c$ da cui $Z_c = 1/(j\omega C)$ e l'equazione per il cirucito precedente diventa
$V_C + V_R = V$ da cui usando la legge di ohm si ricava $I = V/(Z_C + R)$ e quindi la tensione (meglio il fasore di tensione) sul condensatore risulta $V_C = I Z_C = V Z_C/(Z_C + R) = V (1/{j\omega C})/(R + 1/{j\omegaC})$
Alla fine si può vedere un collegamento con la Serie di Fourier (di segnali reali e quindi considerando solo indici positivi) nel caso di segnali (periodici) monofrequenziali, i fasori sono i coefficienti di fourier.
Grazie per la esauriente risposta che vado ora a leggermi
Si tratta solo un accenno, ci sarebbero poi tutte le questioni relative alla potenza, i circuiti risonanti, e i circuiti visti come filtri in frequenza.
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