Esponenziale matrice.

[crio1]

Buonasera , ho un problema a calcolare l'esponenziale di una matrice ,vorrei capire bene i passaggi che bisogna svolgere quando devo calcolare : $ e^(At) $
con la matrice A

$ A=( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $


grazie a chiunque risponda.

[xnix]

ma è per caso $e^(A^(T))$ ( da intendere $T$ come operatore di trasposizione?)
diversamente definisci $t$

[killing_buddha]

$t$ è un parametro temporale: la mappa esponenziale di un gruppo di Lie $G$ è definita come il gruppo ad un parametro associato ad un elemento della sua algebra di Lie \(\mathfrak g\); in questo caso \(G = \text{GL}_3(\mathbb R)\) e \( \mathfrak g = \text{M}_3(\mathbb R)\).

Per trovare l'esponenziale $e^{tA}$ si può ricorrere a un conto diretto osservando che $A$ si presenta a blocchi e che $A^{2k}=\mathbb{I}_3$; da ciò si ottiene facilmente che
$$
\sum_{n\ge 0}\frac{tA^n}{n!} = \sum_{k\ge 0} \frac{t^{2k}}{(2k)!}\mathbb{I} + \sum_{k\ge 0} \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}A
$$
ovvero
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
\cosh t & \sinh t & 0 \\
\sinh t & \cosh t & 0 \\
0 & 0 & e^{-t} \\
\end{array}
\right)
$$

[xnix]

una curiosità ma la matrice rappresenta un'espansione esponenziale sferica rispetto agli assi $x$ e $y$ ?

$$
\left(
\begin{array}{ccc}
\cosh t & \sinh t & 0 \\
\sinh t & \cosh t & 0 \\
0 & 0 & e^{-t} \\
\end{array}
\right)
$$

[crio1]

No mi serve per calcolare gli stati raggiungibili da un determinato x0... sistemi di controllo per capirci

[crio1]

"xnix":ma è per caso $e^(A^(T))$ ( da intendere $T$ come operatore di trasposizione?)
diversamente definisci $t$

No è parametro temporale

[nasmil]

Devi per forza farlo nel dominio del tempo?
Perché se sei libero puoi fare $ e^(A*t) = ilaplace(sI-A)^-1 $
Ma poi vuoi calcolare gli stati raggiungibili, non ti basta avere la matrice A? A che ti serve calcolare la matrice esponenziale?
Lo stato è raggiungibile quando hai $ det(Mr)!=0 $ e quindi per calcolare $ Mr $ devi fare la combinazione lineare della matrice A, B ecc...