[Esercizio Teoria dei sistemi]: Regime
Salve a tutti, mi chiedevo se ho svolto bene il seguente esercizio. L'esercizio chiede di calcolare se esiste la risposta a regime permantente della seguente funzione di trasferimento:
$G(s) = (s - 1) / (s^2 + s + 1)$
Allora affinché sia possibile calcolare la risposta a regime permanente il sistema deve essere SOLO asintoticamente stabile, quindi né instabile e né semplicemente stabile (corretto?).
In questo stato presenta due autovalori a parte reale negativa quindi la f.d.t. è sicuramente Asintoticamente Stabile. Per calcolare tale risposta mi servo del teorema del valore finale e quindi:
$\lim_{s \to \0} [(s - 1) / (s^2 + s + 1)]*s = 0$
Quindi la risposta a regime permanente è nulla. Corretto il procedimento?
$G(s) = (s - 1) / (s^2 + s + 1)$
Allora affinché sia possibile calcolare la risposta a regime permanente il sistema deve essere SOLO asintoticamente stabile, quindi né instabile e né semplicemente stabile (corretto?).
In questo stato presenta due autovalori a parte reale negativa quindi la f.d.t. è sicuramente Asintoticamente Stabile. Per calcolare tale risposta mi servo del teorema del valore finale e quindi:
$\lim_{s \to \0} [(s - 1) / (s^2 + s + 1)]*s = 0$
Quindi la risposta a regime permanente è nulla. Corretto il procedimento?
Risposte
Così hai applicato il teorema del valor finale alla fdt (risposta a regime permanente con ingresso impulsivo), invece dovresti calcolare la risposta a regime permanente del sistema in corrispondenza di un determinato ingresso al sistema, che però non riporti nella traccia.
"K.Lomax":
Così hai applicato il teorema del valor finale alla fdt (risposta a regime permanente con ingresso impulsivo), invece dovresti calcolare la risposta a regime permanente del sistema in corrispondenza di un determinato ingresso al sistema, che però non riporti nella traccia.
Allora mi si da come ingresso $u(t) = 2 sin(t) * u(t) - 4 (t - 2)*u(t-2)$. Fatta la trasformata di laplace di questo ingresso ottengo $U(s)$ e quindi dovrei fare:
$\lim_{s \to \0} [(s - 1) / (s^2 + s + 1)]*U(s) =$
Così dici?
Si, esatto. Rigorosamente sarebbe
[tex]\displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s)[/tex]
evitando di farlo per l'ingresso sinusoidale per il quale dovresti sapere, in base ad un noto teorema, qual è l'uscita.
[tex]\displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s)[/tex]
evitando di farlo per l'ingresso sinusoidale per il quale dovresti sapere, in base ad un noto teorema, qual è l'uscita.
"K.Lomax":
Si, esatto. Rigorosamente sarebbe
[tex]\displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s)[/tex]
evitando di farlo per l'ingresso sinusoidale per il quale dovresti sapere, in base ad un noto teorema, qual è l'uscita.
Allora ti posto il mio procedimento. Se mi dici che vabbene farò l'esame. Altrimenti mi cancellerò dalla prenotazione e continuerò a studiare e chiederò a te se possibile il modo in cui dovevo procedere (sempre se ti va). Prima cosa.
1. Trasformata di Laplace del segnale in ingresso: U(s) = $2/(s^2 + 1) + [4/(s^2)]*e^(-2s)$
2. Ma il seno gode del noto teorema per cui tramite qualche piccolo calcolo si ha:
$G(s) = G(jomega) = (omegaj - 1)/((jomega)^2 + jomega + 1)$ essendo $sin t$ $=>$ $omega = 1$ sostituendo si ricava
$G(s) = G(jomega) = (omegaj - 1)/((jomega)^2 + jomega + 1) = -1 + j$
Sempre se ho fatto bene i calcoli. Da cui il modulo è:
$A = sqrt((-1)^2 + (1)) = sqrt(2)$ e la fase: $phi = arctg (-1) = - pi/4$
e in definitiva:
$y_(1_p) = 2 * sqrt(2) * sin(omega*t - pi/4)$
3. Nel secondo pezzo devo fare il limite per cui
[tex]\displaystyle\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sG(s)U(s) =\lim_{s\to 0}(4/s^2)*s*(s -1)/(s^2 + s +1) = -4[/tex]
La risposta a regime permanente totale sarà:
$y_(1_p) = 2 * sqrt(2) * sin(omega*t - pi/4) + 4$
Quante fesserie ho scritto? O dammi una speranza che ho capito qualcosa.
L'impegno ce lo sto mettendo, la materia però è comunque bella tosta. Grazie per la comprensione.
"Lionel":
Allora ti posto il mio procedimento. Se mi dici che vabbene farò l'esame. Altrimenti mi cancellerò dalla prenotazione e continuerò a studiare e chiederò a te se possibile il modo in cui dovevo procedere (sempre se ti va).
Questo mi sembra un attimino esagerato. In quest'ottica conviene che non ti risponda no?
Scusa, non volevo offederti. Più che altro era qualcosa contro di me. Mi spiace averla scritta. Sono arrabbiato solo con me che studio e non so fare gli esercizi. Inoltre il se ti va era un modo, sbagliato lo so, di essere educato. Scusami.[/spoiler]
Io non mi sono offeso assolutamente, quello che intendevo dire è che la tua presenza all'esame non deve dipendere dalla mia risposta.
Premesso che non ho controllato i conti, il procedimento è corretto per quel che riguarda la risposta sinusoidale. Invece, ti consiglio di rivedere il secondo limite.
Premesso che non ho controllato i conti, il procedimento è corretto per quel che riguarda la risposta sinusoidale. Invece, ti consiglio di rivedere il secondo limite.
"K.Lomax":
Io non mi sono offeso assolutamente, quello che intendevo dire è che la tua presenza all'esame non deve dipendere dalla mia risposta.
Premesso che non ho controllato i conti, il procedimento è corretto per quel che riguarda la risposta sinusoidale. Invece, ti consiglio di rivedere il secondo limite.
Capito. Qualche errore di calcolo? O anche il procedimento è sbagliato? Alla fine sono andato a fare l'esame e sono restato con qualche dubbio che quando avrò tempo posterò sul sito. Sperando di non aver sbagliato!
Grazie.
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