Esercizio Teoria Dei Segnali

[folgore1]

Salve a tutti avrei dei dubbi con questo esercizio:
Calcolare la potenza o l'energia del seguente segnale $x(t)=rect[cos((pit)/2)]$.
Esso è un segnale periodico ottenuto mediante una funzione composta $f

$ e quindi $rect[cos((pit)/2)]$ vale $1$ quando $-1/2<=cos((pit)/2)<=1/2$ e vale $0$ altrimenti.Il segnale che ottengo è un treno di impulsi rettangolari con periodo $T_o=4$ perchè il coseno è periodico.Questo mi fà capire che si tratta di un segnale di potenza:

$P_x=1/(T_o)*int_-((T_o)/2)^((T_o)/2) (1)^2dt=1$
Con il risultato dell'esercitazione però non mi trovo perchè riporta $P_x=1/3$.Cosa ne pensate?

Vi ringrazio anticipatamente!

[K.Lomax]

Come fai a dire che l'ampiezza di quel segnale vale [tex]1[/tex] nell'intervallo da te indicato? In quell'intervallo il segnale non è costante ma pari a [tex]\cos(\frac{\pi}{2}t)[/tex].
Mi puzza un po' anche il periodo di ripetizione che prima imponi pari ad [tex]1[/tex] e poi a [tex]T_0[/tex].

[folgore1]

"K.Lomax":Come fai a dire che l'ampiezza di quel segnale vale [tex]1[/tex] nell'intervallo da te indicato? In quell'intervallo il segnale non è costante ma pari a [tex]\cos(\frac{\pi}{2}t)[/tex].
Mi puzza un po' anche il periodo di ripetizione che prima imponi pari ad [tex]1[/tex] e poi a [tex]T_0[/tex].

Ho fatto questi passaggi:
$x(t)=rect[cos((pit)/2)]={(1,-1/2<=cos(pit/2)<=1/2),(text{0},ALTROVE):}$
il periodo vale $T_0=4$ in quanto la frequenza è pari a $f_0=1/4$.

[Ska1]

Guardando un singolo periodo di $cos(\pi/2 t)$ si ha che $rect(cos(\pi/2 t)) = 1$ in $t \in [2/3,4/3]\cup [8/3,10/3]$ quindi, il segnale ottenuto ha periodo pari a $T_0=2$, sul periodo del coseno il segnale è pari rispetto all'asse $t=2$, quindi la potenza del segnale è
$P_x=1/2 \int_{2/3}^{4/3} 1^2 dt = 1/2 2/3 = 1/3$

[K.Lomax]

Scusa la distrazione ma al posto di leggere rect ho letto rept
Si, il problema é impostato correttamente adesso ti basta semplicemente risolvere la disequazione [tex]-\frac{1}{2}\leq \cos(\frac{\pi t}{2})\leq \frac{1}{2}[/tex] e, nel calcolare la potenza, considerare solo gli intervalli diversi da zero. Se considererai solo intervalli positivi ricorda di traslare gli estremi dell'integrale (in sostanza devi prendere solo una copia)

[folgore1]

Vi ringrazio per le vostre risposte .
Avrei un'altro dubbio su questo esercizio:
$x(t)=rep_(T_o) [\Lambda((2t)/T_o)]+rep_(T_o) [rect(t/T_o)]$
sapendo che un segnale periodico è un segnale di potenza allora la somma di due segnali periodici sarà ancora un segnale di potenza.Posto che:
$x_1 (t)=rep_(T_o) [\Lambda((2t)/T_o)]$ e $x_2 (t)=rep_(T_o) [rect(t/T_o)]$.Entrambi i segnali periodici hanno periodo $T_o$ e i due segnali generatori sono definiti in questo modo:$x_(g_1) =\Lambda((2t)/T_o)={(1-|t/(T_o/2)|,-T_o/2<=t<=T_o/2),(text{0},ALTROVE):}$ , $x_(g_2)=rect(t/T_o)={(1,-T_o/2<=t<=T_o/2),(text{0},ALTROVE):}$
quindi ottengo che il segnale generatore prodotto è $x_(g_1) (t)*x_(g_2) (t)=\Lambda((2t)/T_o)$.Dunque ho calcolato le rispettive potenze applicando la seguente definizione:
$P_x=1/T_o*int_-(T_o/2)^(T_o/2) |x(t)|^2dt$ ma non mi trovo con il risultato numerico atteso($P_x=7/3)$.

[Ska1]

perchè consideri il prodotto tra i segnali sul periodo, quando invece c'è una somma?

$P_x=1/T_0 \int_(-T_0/2)^(T_0/2) (tri(t/(T_0 / 2)) + rect(t/T_0))^2 dt = 1/T_0 \int_(-T_0/2)^(T_0/2) tri^2(t/(T_0 / 2)) + rect^2(t/T_0) + 2 rect(t/T_0)tri(t/(T_0/2)) dt = 1/T_0 [ T_0/2 \cdot W_(tri) +T_0 \cdot A_(tri) + T_0 \cdot W_(rect)] = 1/T_0 [T_0/3 + T_0 + T_0] = (2+1/3) = 7/3$

[folgore1]

"Ska":perchè consideri il prodotto tra i segnali sul periodo, quando invece c'è una somma?

$P_x=1/T_0 \int_(-T_0/2)^(T_0/2) (tri(t/(T_0 / 2)) + rect(t/T_0))^2 dt = 1/T_0 \int_(-T_0/2)^(T_0/2) tri^2(t/(T_0 / 2)) + rect^2(t/T_0) + 2 rect(t/T_0)tri(t/(T_0/2)) dt = 1/T_0 [ T_0/2 \cdot W_(tri) +T_0 \cdot A_(tri) + T_0 \cdot W_(rect)] = 1/T_0 [T_0/3 + T_0 + T_0] = (2+1/3) = 7/3$

Perchè per calcolare la potenza avevo utilizzato questa formula: $P_x=P_(x_1)+P_(x_2)+2P_(x_1*x_2)$

[Ska1]

quella formula io non l'ho mai vista, guardandola bene però sembra simile al procedimento che ho fatto io, ma non ho $P_(x1\cdot x2)$ ma l'area del segnale prodotto sul periodo normalizzata al periodo stesso...

nn vorrei che tu intendessi la formula legata alla rappresentazione vettoriale dei segnali, $|| x1+x2 ||^2 = || x1 ||^2+|| x2 ||^2 + 2$ che nello spazio dei segnali di potenza periodici ha come prodotto scalare $ =1/T \int_T x1(t)\cdot x2^\star (t) dt$ e come norma $|| x || = \sqrt() = \sqrt(P_x)$

[folgore1]

"Ska":quella formula io non l'ho mai vista, guardandola bene però sembra simile al procedimento che ho fatto io, ma non ho $P_(x1\cdot x2)$ ma l'area del segnale prodotto sul periodo normalizzata al periodo stesso...

nn vorrei che tu intendessi la formula legata alla rappresentazione vettoriale dei segnali, $|| x1+x2 ||^2 = || x1 ||^2+|| x2 ||^2 + 2$ che nello spazio dei segnali di potenza periodici ha come prodotto scalare $ =1/T \int_T x1(t)\cdot x2^\star (t) dt$ e come norma $|| x || = \sqrt() = \sqrt(P_x)$

Intendevo questa che è riportata sulla dispensa della mia prof.:

nel caso in esame sono due segnali reali quindi ho ritenuto opportuno applicare questa formula.Cosa intendi per $W_(tri)$?

[Ska1]

a parte l'imprecisione che ho riportato in quanto si prende il doppio della parte reale del prodotto scalare è la stessa.... ma quello che c'è scritto non è una potenza... dato il funzionale $< \cdot >$ che c'è in quella formula corrisponde a $< x(t) > = \lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} x(t) dt$ che si può scrivere per i segnali di potenza periodici come $< x(t) > = 1/T \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$

Quindi quando tu hai $<|x(t)|^2>$ corrisponde effettivamente alla potenza ma quando hai $< x(t) y^\star (t)>$ no perchè nn stai considerando il modulo al quadrato del segnale prodotto.

La versione corretta, almeno secondo me è

$|| z ||^2 = || x+y ||^2 = <(x+y),(x+y)> = + + + = ||x||^2 + ||y||^2 + + ()^\star = ||x||^2 + ||y||^2 + 2 Re()$, dove $$ è il prodotto scalare tra due segnali appartenenti allo stesso spazio (o comunque con le opportune considerazioni, tipo i segnali di energia sono il vettor nullo dello spazio dei segnali di potenza) e la norma è quella indotta dal prodotto scalare, cioè $||x|| = \sqrt()$

Per i segnali di potenza il prodotto scalare si definisce
$ = \lim_{A -> +\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} x(t) y^\star (t) dt$
Per i segnali di potenza periodici invece si ha una definizione più semplice, considerando $T$ periodo comune tra i due segnali
$ = 1/T \int_{-T/2}^{T/2} x(t) y^\star (t) dt$




per $W_{tri}$ intendo l'energia del segnale $tri(t)=\Lambda(t)$ nella tua notazione

[folgore1]

"Ska":a parte l'imprecisione che ho riportato in quanto si prende il doppio della parte reale del prodotto scalare è la stessa.... ma quello che c'è scritto non è una potenza... dato il funzionale $< \cdot >$ che c'è in quella formula corrisponde a $< x(t) > = \lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} x(t) dt$ che si può scrivere per i segnali di potenza periodici come $< x(t) > = 1/T \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$

Quindi quando tu hai $<|x(t)|^2>$ corrisponde effettivamente alla potenza ma quando hai $< x(t) y^\star (t)>$ no perchè nn stai considerando il modulo al quadrato del segnale prodotto.

La versione corretta, almeno secondo me è

$|| z ||^2 = || x+y ||^2 = <(x+y),(x+y)> = + + + = ||x||^2 + ||y||^2 + + ()^\star = ||x||^2 + ||y||^2 + 2 Re()$, dove $$ è il prodotto scalare tra due segnali appartenenti allo stesso spazio (o comunque con le opportune considerazioni, tipo i segnali di energia sono il vettor nullo dello spazio dei segnali di potenza) e la norma è quella indotta dal prodotto scalare, cioè $||x|| = \sqrt()$

Per i segnali di potenza il prodotto scalare si definisce
$ = \lim_{A -> +\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} x(t) y^\star (t) dt$
Per i segnali di potenza periodici invece si ha una definizione più semplice, considerando $T$ periodo comune tra i due segnali
$ = 1/T \int_{-T/2}^{T/2} x(t) y^\star (t) dt$




per $W_{tri}$ intendo l'energia del segnale $tri(t)=\Lambda(t)$ nella tua notazione

Perfetto ho capito tutto!Grazie mille!:D