Esercizio sitema tempo discreto
\(\displaystyle x(k+1) = \left( \begin{array}{ccc} -0,2& 1&\\ 0 & 0,1 \end{array} \right) x(k)+ \left( \begin{array}{ccc} 0\\1 \end{array} \right) u(k)\)
\(\displaystyle y(k)= \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 \end{array} \right) x(k)\)
a)Si calcoli lo schema di simulazione
posto in allegato la soluzione del mio schema vorrei conferma che è svolto bene
\(\displaystyle y(k)= \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 \end{array} \right) x(k)\)
a)Si calcoli lo schema di simulazione
posto in allegato la soluzione del mio schema vorrei conferma che è svolto bene
Risposte
Soluzione
Non che mi sia chiaro cosa vuoi fare, ma non sarebbe più semplice trasformare tutto nella rappresentazione IU ottenendo una $W(z)$?
Guarda in realtà, non so neanche io cosa si intenda per schema di simulazione, ho provato a cercare, ma non ho trovato niente al riguardo dunque mi aspettavo qualche delucidazione 
che cosa intendi per rappresentazione IU?
La stessa cosa che si fa per i sistemi a tempo continuo ovvero quello di ricavare la $W(s)$ a partire dalla rappresentazione ISU con la formula $W(s)=C(sI-A)^-1B+D$.
In questo caso, essendo il tuo sistema a tempo discreto, la formula diventa $W(z)=C(zI-A)^-1B+D$ e quindi rappresenti il tuo sistema con un unico blocco al cui interno compare proprio $W(z)$
In questo caso, essendo il tuo sistema a tempo discreto, la formula diventa $W(z)=C(zI-A)^-1B+D$ e quindi rappresenti il tuo sistema con un unico blocco al cui interno compare proprio $W(z)$
Allora ho che la mia \(\displaystyle W (z) = \frac {1}{(0.2+ z)(z-0.1)} \), adesso dovrei costruire un blocco con funzione di trasferimento \(\displaystyle W (z) \)con una sola funzione d'entrata\(\displaystyle u(k) \) e una funzione d'uscita \(\displaystyle y (k) \)?
A me viene un pò diversa
In ogni caso, sei sicuro di come hai scritto la matrice $A$?
In ogni caso, sei sicuro di come hai scritto la matrice $A$?
Non ho ben capito come faresti questo schema, comunque nel secondo punto mi viene chiesto di calcolarmi la matrice \(\displaystyle W(k) \), cioè la funzione di trasferimento che mi sono già calcolato e la matrice di transizione nello stato \(\displaystyle \phi(k) \), posto la procedura:
per \(\displaystyle z_1=-0.2 \) ho \(\displaystyle u_1= \)$((1),(0))$
per \(\displaystyle z_2 =0.1 \) ho \(\displaystyle u_2 = \)$((1),(0.3))$
\( \displaystyle T = \left( \begin{array}{ccc} 1& 1&\\ 0 & 0.3 \end{array} \right)\)
\( \displaystyle T^T = \left( \begin{array}{ccc} 1& 0&\\ 1& 0.3 \end{array} \right)\)
\( \displaystyle adj(T) = \left( \begin{array}{ccc} 0.3& -1&\\ 0 & 1 \end{array} \right)\)
\(\displaystyle det(T)=0.3 \)
\( \displaystyle T^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1&- \frac{1}{0.3}&\\ 0 & \frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
la matrice diagonale di A è \( \displaystyle A_d = \left( \begin{array}{ccc} -0.2& 0&\\ 0 & 0.1 \end{array} \right)\)
dunque se non erro la matrice \( \displaystyle \phi(k) = T^{-1}A_dT=\) \( \displaystyle T = \left( \begin{array}{ccc} -0.2t& -0.3t&\\ 0 & 0.1t \end{array} \right)\) e questa dovrebbe essere la soluzione.
Ora provo ad analizzare la raggiungibilità
\( \displaystyle v_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1& -\frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
\( \displaystyle v_2 = \left( \begin{array}{ccc} & \frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
\(\displaystyle v_1B = -\frac{1}{0.3} \)
\(\displaystyle v_2B =\frac{1}{0.3} \)
entrambi gli autovalori sono eccitabili e avremo che \( \displaystyle H(k) = \left( \begin{array}{ccc} -0.3t\\ 0.1 t \end{array} \right)\) ho proceduto bene?
per \(\displaystyle z_1=-0.2 \) ho \(\displaystyle u_1= \)$((1),(0))$
per \(\displaystyle z_2 =0.1 \) ho \(\displaystyle u_2 = \)$((1),(0.3))$
\( \displaystyle T = \left( \begin{array}{ccc} 1& 1&\\ 0 & 0.3 \end{array} \right)\)
\( \displaystyle T^T = \left( \begin{array}{ccc} 1& 0&\\ 1& 0.3 \end{array} \right)\)
\( \displaystyle adj(T) = \left( \begin{array}{ccc} 0.3& -1&\\ 0 & 1 \end{array} \right)\)
\(\displaystyle det(T)=0.3 \)
\( \displaystyle T^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1&- \frac{1}{0.3}&\\ 0 & \frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
la matrice diagonale di A è \( \displaystyle A_d = \left( \begin{array}{ccc} -0.2& 0&\\ 0 & 0.1 \end{array} \right)\)
dunque se non erro la matrice \( \displaystyle \phi(k) = T^{-1}A_dT=\) \( \displaystyle T = \left( \begin{array}{ccc} -0.2t& -0.3t&\\ 0 & 0.1t \end{array} \right)\) e questa dovrebbe essere la soluzione.
Ora provo ad analizzare la raggiungibilità
\( \displaystyle v_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1& -\frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
\( \displaystyle v_2 = \left( \begin{array}{ccc} & \frac{1}{0.3} \end{array} \right)\)
\(\displaystyle v_1B = -\frac{1}{0.3} \)
\(\displaystyle v_2B =\frac{1}{0.3} \)
entrambi gli autovalori sono eccitabili e avremo che \( \displaystyle H(k) = \left( \begin{array}{ccc} -0.3t\\ 0.1 t \end{array} \right)\) ho proceduto bene?
Ripeto: hai sbagliato a calcolare la $W(z)$; ricontrolla i passaggi
Allora rifaccio i caloli dovrebbe essere \( \displaystyle (zI-A) = \left( \begin{array}{ccc} -0.2-z& 1\\ 0&0.1-z \end{array}
\right)\) allora \(\displaystyle (zI-A)^{-1}=\frac{1}{(0.2+z)(z-0.1)} \)\( \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} -0.1-z& -1&\\ 0&-0.2-z \end{array} \right)\)
dunque \(\displaystyle W(z)=\frac{1.2+z}{(0.2+z)(z-0.1)} \), ora non so dovrebbe essere così...
Cosa mi dici per quanto riguarda lo studio sull'eccitabilità che ho svolto prima ? è stato svolto correttamente?
\right)\) allora \(\displaystyle (zI-A)^{-1}=\frac{1}{(0.2+z)(z-0.1)} \)\( \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} -0.1-z& -1&\\ 0&-0.2-z \end{array} \right)\)
dunque \(\displaystyle W(z)=\frac{1.2+z}{(0.2+z)(z-0.1)} \), ora non so dovrebbe essere così...
Cosa mi dici per quanto riguarda lo studio sull'eccitabilità che ho svolto prima ? è stato svolto correttamente?
Sebbene ti trovi col risultato ma $ (zI-A)=( ( z , 0 ),( 0 , z ) )- ( ( -0.2 , 1 ),( 0 , 0.1 ) )=( ( z+0.2 , -1 ),( 0 , z-0.1 ) ) $
quindi ci sono i segni invertiti, ma alla fine ti trovi correttamente la fdt
Per quanto riguarda il resto, il ragionamento è corretto, ma non ho controllato ancora i calcoli
quindi ci sono i segni invertiti, ma alla fine ti trovi correttamente la fdt
Per quanto riguarda il resto, il ragionamento è corretto, ma non ho controllato ancora i calcoli
Essendo il sistema a tempo discreto ho studiato lìeccitabilità per \(\displaystyle At \) e non per \(\displaystyle e^{At} \)
I calcoli matriciali sono svolti bene, quindi nulla da dire 
Intendo se ho fatto bene a considerare la matrice di transizione nello stato per \(\displaystyle At \) e non per \(\displaystyle e^{At} \)? La funzione di trasferimento é giusta?
Si hai fatto bene
Ho un terzo punto che mi chiede di calcolare se esiste l risposta a regime permanente al gradino, ho provato a risolvere così:
la condizione d'esistenza poichè esista la risposta a regime permanente nei sistemi a tempo discreto è che il sistema sia stabile.
Le condizioni di stabilità di un sistema a tempo discreto sono:
gli autovalori di A con molteplicità geometrica unitaria hanno tutti modulo minore o uguale a 1;
gli autovalori con molteplicità geometrica maggiore di 1 hanno tutti modulo minore di 1;
in particolare se tutti gli autovalori hanno modulo minore di 1 il sistema è asintoticamente stabile.
Nel nostro caso il sitema è asintoticamente stabile ed esiste quindi la risposta a regime permanete avremo che:
\(\displaystyle Y(Z)=W(z)U(z) \) \(\displaystyle u(z)=1\to U(z)=\frac{1}{z} \) allora \(\displaystyle Y(z)=\frac{z+1.2}{z(0.2+z)(z-0.1)}= -\frac{60}{z}+\frac{16.66}{0.2+z}+\frac{43.33}{z-0.1} \) antitrasformanto avremo \(\displaystyle y(z)=-60+16.66e^{-0.2t}+43.33e^{0.1t} \)
la condizione d'esistenza poichè esista la risposta a regime permanente nei sistemi a tempo discreto è che il sistema sia stabile.
Le condizioni di stabilità di un sistema a tempo discreto sono:
gli autovalori di A con molteplicità geometrica unitaria hanno tutti modulo minore o uguale a 1;
gli autovalori con molteplicità geometrica maggiore di 1 hanno tutti modulo minore di 1;
in particolare se tutti gli autovalori hanno modulo minore di 1 il sistema è asintoticamente stabile.
Nel nostro caso il sitema è asintoticamente stabile ed esiste quindi la risposta a regime permanete avremo che:
\(\displaystyle Y(Z)=W(z)U(z) \) \(\displaystyle u(z)=1\to U(z)=\frac{1}{z} \) allora \(\displaystyle Y(z)=\frac{z+1.2}{z(0.2+z)(z-0.1)}= -\frac{60}{z}+\frac{16.66}{0.2+z}+\frac{43.33}{z-0.1} \) antitrasformanto avremo \(\displaystyle y(z)=-60+16.66e^{-0.2t}+43.33e^{0.1t} \)
Stai confondendo la trasformata zeta con la trasformata di Laplace; rifletti bene, come puoi partire da un sistema discreto ed ottenere un sistema a tempo continuo?
Hai ragione , ma non saprei come procedere per questo punto, ho visto solamente risposte a regime di tipo sinusoidale, in questo caso non saprei come fare puoi indirizzarmi?
Ho provato a fare cosí: \(\displaystyle lim_{k\to \infty }y (k) = lim_ {z \to 1} zY (z)= lim _{z\to 1}W (z)= 2.037\)
Premesso che neanche io ricordo a memoria tutte le trasformate z, però cercando in rete ho trovato questo
http://robot2.disp.uniroma2.it/~grassel ... abelle.pdf
Dagli uno sguardo
http://robot2.disp.uniroma2.it/~grassel ... abelle.pdf
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