Esercizio linearizzazione ( mi aiutate per favore)
Linearizzare il seguente modello dinamico alle variabili di stato intorno al punto di lavoro :
$ dot(u) = dot(y0) =0 $
modello dinamico :
$ dot(x1)= -2x1+3sin(2x2)+5u $
$ dot(x2) = x1-x2 $
$ y=x2 $
Tracciare sovrapposte la funzione non lineare 3sin2x2 e la relativa funzione inearizzata trovate e farne le dovute considerazioni.
Svolgimento:
Ho svolto in questo modo:
Linearizzare un sistema vuol dire linearizzarlo intorno ad un punto di equilibrio, quindi come prima cosa devo calcolare le sue coordinate , lo facciamo imponendo
$ dot(x1) = dot(x2) =0 $
Denominiamo con x10 e con x20 le coordinate di equilibrio ( per convenzione un suffisso '0' a una variabile per indicare che rappresenta un valore all'equilibrio)
Risulta quindi:
$ 0=-2x10+3sin(2x20)+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ y0=x20 $
impongo le condizioni iniziali : u0=y0=0
$ 0=-2x10+3sin2x20+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ x20=0 $
Quindi risulta :
$ x10=0 $ , $ x20=0 $ ,
A questo punto mi perdo perche' mi si annulla tutto
..... come faccio a calcolare i valori dello stato e dell'uscita all'equilibrio ??
Mi aiutate per favore ? Grazie
$ dot(u) = dot(y0) =0 $
modello dinamico :
$ dot(x1)= -2x1+3sin(2x2)+5u $
$ dot(x2) = x1-x2 $
$ y=x2 $
Tracciare sovrapposte la funzione non lineare 3sin2x2 e la relativa funzione inearizzata trovate e farne le dovute considerazioni.
Svolgimento:
Ho svolto in questo modo:
Linearizzare un sistema vuol dire linearizzarlo intorno ad un punto di equilibrio, quindi come prima cosa devo calcolare le sue coordinate , lo facciamo imponendo
$ dot(x1) = dot(x2) =0 $
Denominiamo con x10 e con x20 le coordinate di equilibrio ( per convenzione un suffisso '0' a una variabile per indicare che rappresenta un valore all'equilibrio)
Risulta quindi:
$ 0=-2x10+3sin(2x20)+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ y0=x20 $
impongo le condizioni iniziali : u0=y0=0
$ 0=-2x10+3sin2x20+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ x20=0 $
Quindi risulta :
$ x10=0 $ , $ x20=0 $ ,
A questo punto mi perdo perche' mi si annulla tutto
..... come faccio a calcolare i valori dello stato e dell'uscita all'equilibrio ??Mi aiutate per favore ? Grazie
Risposte
Innanzitutto un sistema non lineare puo' essere linearizzato attorno a qualsiasi punto, non solo nei punti di equilibrio.
I punti di equilibrio sono interessanti in quanto stabili, appunto.
Secondo, perche' imponi le condizioni iniziali se vuoi trovare un punto di equilibrio ?
Che senso ha ?
I punti di equilibrio sono interessanti in quanto stabili, appunto.
Secondo, perche' imponi le condizioni iniziali se vuoi trovare un punto di equilibrio ?
Che senso ha ?
Grazie Quinzio per avermi risposto,
Credo aver riportato male il testo dell'esercizio.
Questo e' il testo originale dell'esercizio.
Credo aver riportato male il testo dell'esercizio.
Questo e' il testo originale dell'esercizio.
La teoria e' qui a pag 12...
http://www.ladispe.polito.it/corsi/contrautoinf270/material/Linearizzazione.pdf
Mi sembra abbastanza immediato scrivere la matrice A come:
$A = ((-2, 6 \cos (2x_2)), (1, -1))$
Quindi nel punto di lavoro $y = x_2 = 0$
$A = ((-2, 6), (1, -1))$
http://www.ladispe.polito.it/corsi/contrautoinf270/material/Linearizzazione.pdf
Mi sembra abbastanza immediato scrivere la matrice A come:
$A = ((-2, 6 \cos (2x_2)), (1, -1))$
Quindi nel punto di lavoro $y = x_2 = 0$
$A = ((-2, 6), (1, -1))$
Grazie Quinzio.
Per il momento la teoria mi rimane un po' difficile.
(Ho ancora qualche nodo da sciogliere su questo argomento ) .
Sono d'accordo con lo scrivere la matrice A pero' non ho capito come e' venuto fuori quel $ 6cos(2x_2) $ e poi perché non scrivere anche le altre matrici ?
Sicuramente hai eseguito la derivata in questo modo : pero' non ho capito perche'
$ derivata (3sin(2x_2))=6cos(2x_2) $
Per il momento la teoria mi rimane un po' difficile.
(Ho ancora qualche nodo da sciogliere su questo argomento ) .
Sono d'accordo con lo scrivere la matrice A pero' non ho capito come e' venuto fuori quel $ 6cos(2x_2) $ e poi perché non scrivere anche le altre matrici ?
Sicuramente hai eseguito la derivata in questo modo : pero' non ho capito perche'
$ derivata (3sin(2x_2))=6cos(2x_2) $
Ok, ho eseguito la derivata.
Qual e' la derivata di $3 \sin(2x_2)$ ?
Qual e' la derivata di $3 \sin(2x_2)$ ?
La derivata a me risulta : $ 6cos(2x_2) $
Questa e' la funzione non lineare :
Questa funzione la dovrei confrontare con la funzione linearizzata che dovrebbe essere una retta che interseca questa funzione .
Il problema è capire qual'e' la funzione linearizzata conoscendo la matrice A .
Questa funzione la dovrei confrontare con la funzione linearizzata che dovrebbe essere una retta che interseca questa funzione .
Il problema è capire qual'e' la funzione linearizzata conoscendo la matrice A .
"polid":
La derivata a me risulta : $ 6cos(2x_2) $
Eh, anche a me risulta lo stesso.
La funzione linearizzata e' $6x_2$, ti torna ?
In linea di massima ho capito pero' ho ancora parecchi dubbi .
Il risultato potrebbe essere una cosa di questo genere ?
Dove ci sono le due funzioni . La prima e' non linearizzata e la seconda e' linearizzata .
Pero' il tutto non mi convince per niente .
Il risultato potrebbe essere una cosa di questo genere ?
Dove ci sono le due funzioni . La prima e' non linearizzata e la seconda e' linearizzata .
Pero' il tutto non mi convince per niente .
In che senso, non ti convince ?
Forse e' meglio dire che non mi e' completamente chiaro .
Ci sono alcune cose che non mi convincono . Per esempio perché si individua soltanto la matrice A e non le altre .
Ho trovato in rete un pdf con esercizi svolti . In questi esercizi svolti si calcolano tutte e quattro le matrici .
Alcuni passaggi sono gli stessi pero' poi le cose cambiano .
Confrontando il mio esercizio con questi gia' svolti mi sembra di aver saltato qualche passaggio .
Allego l'indirizzo di questo pdf .
Si intitola "Equilibrio e Linearizzazione"
http://www.cremona.polimi.it/dispense/v ... AZIONE.pdf
Ci sono alcune cose che non mi convincono . Per esempio perché si individua soltanto la matrice A e non le altre .
Ho trovato in rete un pdf con esercizi svolti . In questi esercizi svolti si calcolano tutte e quattro le matrici .
Alcuni passaggi sono gli stessi pero' poi le cose cambiano .
Confrontando il mio esercizio con questi gia' svolti mi sembra di aver saltato qualche passaggio .
Allego l'indirizzo di questo pdf .
Si intitola "Equilibrio e Linearizzazione"
http://www.cremona.polimi.it/dispense/v ... AZIONE.pdf
Per Quinzio :
Quinzio , mi sono riguardato un po' tutto l'esercizio e volevo dirti che l'ho capito.
Adesso mi convince quasi tutto , mi servirebbe capire soltanto quando dici che la funzione linearizzata e' $ 6x_2 $, ti torna ?
Questo risultato non l'ho capito . me lo puoi spiegare ??
Grazie.
Quinzio , mi sono riguardato un po' tutto l'esercizio e volevo dirti che l'ho capito.
Adesso mi convince quasi tutto , mi servirebbe capire soltanto quando dici che la funzione linearizzata e' $ 6x_2 $, ti torna ?
Questo risultato non l'ho capito . me lo puoi spiegare ??
Grazie.
Linearizzare la funzione $f_1(x)$ nell'intorno di 0, significa sostituire ad $f_1(x)$ la funzione $f_2(x) = f_1'(0)x+f_1(0)$
Quindi se $f_1(x) = 3 \sin(2x)$, allora $f_2(x) = 6x$.
Io ti ho fatto vedere solo la matrice $A$ perche' e' l'unica che contiene delle funzioni non lineari.
Le altre quindi rimangono uguali a come sono.
Ad esempio se hai una funzione del tipo $f_1(x) = 3x$, allora linearizzarla significa trovare la derivata, che' 3, calcolarla nello zero, e rimane 3, e quindi $f_2(x) = 3x$, ovvero e' uguale alla funzione di partenza.
Quindi se $f_1(x) = 3 \sin(2x)$, allora $f_2(x) = 6x$.
Io ti ho fatto vedere solo la matrice $A$ perche' e' l'unica che contiene delle funzioni non lineari.
Le altre quindi rimangono uguali a come sono.
Ad esempio se hai una funzione del tipo $f_1(x) = 3x$, allora linearizzarla significa trovare la derivata, che' 3, calcolarla nello zero, e rimane 3, e quindi $f_2(x) = 3x$, ovvero e' uguale alla funzione di partenza.
Grazie Quinzio.
Non mi veniva perché m dimenticavo della x .
Mi veniva 6 invece di 6x .
Non mi veniva perché m dimenticavo della x .
Mi veniva 6 invece di 6x .
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