Esercizio funzione di trasferimento
Nel primo punto mi viene chiesto di tracciare i diagrammi di bode della funzione di trasferimento\(\displaystyle W(s)= \frac {k (s^2-s+1)}{(s+10)(s^2+4s+4)} \) riscrivendo ho che \(\displaystyle W(s)= \frac {k (s^2-s+1)}{40(1+1/10s)(1+s+1/4s^2)} \) i poli e zeri complessi sono ora nella forma \(\displaystyle 1+\frac {\xi }{w_n}s\frac {1}{w_n^2}s^2\), sostituisco jw all'interno della mia funzione, e risulta:
In \(\displaystyle w_{1n}=1 \) due zeri complessi e coniugati, parte reale positiva-> modulo: +40dB fase:-180
In \(\displaystyle p1,2_{2n}=-2 \) due parte reale negativa-> modulo: -40dB fase:-180
In \(\displaystyle p3= -10\) polo negativo-> modulo:-20dB fase =-90, vorrei sapere se ho svolto bene, posto anche i grafici tramite allegato, logicamente é da considerare che per \(\displaystyle k <0 \) il grafico della fase deve essere traslato di -180
In \(\displaystyle w_{1n}=1 \) due zeri complessi e coniugati, parte reale positiva-> modulo: +40dB fase:-180
In \(\displaystyle p1,2_{2n}=-2 \) due parte reale negativa-> modulo: -40dB fase:-180
In \(\displaystyle p3= -10\) polo negativo-> modulo:-20dB fase =-90, vorrei sapere se ho svolto bene, posto anche i grafici tramite allegato, logicamente é da considerare che per \(\displaystyle k <0 \) il grafico della fase deve essere traslato di -180
Risposte
Fase
La fdt può essere scritta in questo modo:
$ W(s)=k(s^2-s+1)/((s+10)(s+2)^2) $
in cui vedo subito:
1) ha una coppia di zeri complessi e coniugati che valgono $ z_(1,2)=1/2+-jsqrt(3)/2 $
2) un polo di molteplicità uno $ p_1=-10 $
3) un polo di molteplicità due $ p_2=-2$
$ W(s)=k(s^2-s+1)/((s+10)(s+2)^2) $
in cui vedo subito:
1) ha una coppia di zeri complessi e coniugati che valgono $ z_(1,2)=1/2+-jsqrt(3)/2 $
2) un polo di molteplicità uno $ p_1=-10 $
3) un polo di molteplicità due $ p_2=-2$
Hai ragione, ho corretto, ora dovrebbe essere giusto ho modificato anche i grafici potresti dargli un'occhiata?
Sul diagramma dei moduli mi trovo, ma non ho capito molto come hai fatto quello della fase
Parto da 0 e in 10^0 trovo la pendenza corrispettiva ai due zeri con parte real positiva, quindi scendo di -180 a 2 incontro i due poli negativi con molteplicitá due quindi scendo ancora di 180, a 10^1 scendo ancora di 90 in quanto incontro un altro polo negativo, se k < 0 inoltre il grafico della fase parte da -180 dovrebbe essere cosí
Allora credo ci sia qualcosa che non va; con riferimento al termine trinomio al numeratore, la fase vale zero fino a $0.1 (rad)/s$ vale $-90°$ a $1 (rad)/s$ e vale $-180°$ da $10 (rad)/s$ in poi.
Così con gli altri termini, devi sempre considerare una decade prima e una decade dopo della pulsazione di taglio
Così con gli altri termini, devi sempre considerare una decade prima e una decade dopo della pulsazione di taglio
Scusa, ma non riesco a capire, non consideri i due poli in -2, inoltre nel tracciare il diagramma della fase devi tenere conto che
1. Ad ogni pulsazione corrispondente alla pulsazione naturale di p coppie di zeri complessi econiugati nel semipiano sinistro o p coppie di poli complessi e coniugati nel semipianodestro, il diagramma ha un salto positivo di p180°.2. Ad ogni pulsazione corrispondente alla pulsazione naturale di p coppie di zeri complessi econiugati nel semipiano destro o p coppie di poli complessi e coniugati nel semipianosinistro, il diagramma ha un salto negativo di p180°. E allora quello che scrivi non mi torna.
1. Ad ogni pulsazione corrispondente alla pulsazione naturale di p coppie di zeri complessi econiugati nel semipiano sinistro o p coppie di poli complessi e coniugati nel semipianodestro, il diagramma ha un salto positivo di p180°.2. Ad ogni pulsazione corrispondente alla pulsazione naturale di p coppie di zeri complessi econiugati nel semipiano destro o p coppie di poli complessi e coniugati nel semipianosinistro, il diagramma ha un salto negativo di p180°. E allora quello che scrivi non mi torna.
Intanto ho scritto solo quello che accade se consideri il solo termine trinomio, quindi è chiaro che poi a questo devi aggiungere anche gli altri fattori 
Quello che volevo dire ( ma forse non mi sono spiegato bene ) è che il diagramma delle fasi non salta da $0°$ a $180°$ ma ha un suo andamento lineare ( se consideriamo i diagrammi asintotici ) che non ho visto nel tuo diagramma
Quello che volevo dire ( ma forse non mi sono spiegato bene ) è che il diagramma delle fasi non salta da $0°$ a $180°$ ma ha un suo andamento lineare ( se consideriamo i diagrammi asintotici ) che non ho visto nel tuo diagramma
Giusto per farti capire cosa intendo: questo è il diagramma asintotico del tuo termine trinomio
A 1 dovrebbe scendere di -180 perché incontra uno zero complesso con parte reale positiva, tu invece dici che scende a -90 cmq graficando su wolframaplha ti invio link dovrebbe essere similare al mio: http://m.wolframalpha.com/input/?i=bode ... -324&y=-71
Ripeto non ho detto che hai sbagliato, ho solo detto che io non ho capito quel diagramma delle fasi
Se ti trovi con il risultato, allora hai fatto bene
Se ti trovi con il risultato, allora hai fatto bene
Stiamo dicendo la stessa cosa, comunque la maggior parte dei testi di riferimento adotta la rappresentazione che ho usato io, é normale che quelle che ho tracciato nel grafico sono solamente delle linee guida.
Ok, mi fa piacere che ti trovi
Ti ringrazio per l'aiuto comunque.
Figurati
Il punto b dell'esercizio, mi chiede di calcolarmi la realizzazione minima del sistema data la funzione di trasferimento precedente, motivando la risposta. Posto la mia soluzione:
Poiché non vi sono zeri e poli comuni la realizzazione minima coincide con quella canonica di controllo, risolvendo i calcoli a denominatore si ottiene:
\(\displaystyle w (s)=\frac {ks^2-ks+k}{s^3+14s^2+44s+40} \) sappiamo che \(\displaystyle W (s)=CB(sI-A)^{-1} +D \) allora
\(\displaystyle A =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-40 & -44 & -14
\end{array}
\right)
\) \(\displaystyle B= \left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right) \) \(\displaystyle C= \left(
\begin{array}{ccc}
K & -K & K
\end{array}
\right) \) \(\displaystyle D = 0 \)
Vorrei sapere anche qui se ho svolto bene.
Poiché non vi sono zeri e poli comuni la realizzazione minima coincide con quella canonica di controllo, risolvendo i calcoli a denominatore si ottiene:
\(\displaystyle w (s)=\frac {ks^2-ks+k}{s^3+14s^2+44s+40} \) sappiamo che \(\displaystyle W (s)=CB(sI-A)^{-1} +D \) allora
\(\displaystyle A =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-40 & -44 & -14
\end{array}
\right)
\) \(\displaystyle B= \left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right) \) \(\displaystyle C= \left(
\begin{array}{ccc}
K & -K & K
\end{array}
\right) \) \(\displaystyle D = 0 \)
Vorrei sapere anche qui se ho svolto bene.
Ma non è $W(s)=C(sI-A)^-1B+D$ ?
Scusami stavo digitando da cellulare, stavo impazzendo, riscritto tutto correttamente e legibile soprattutto.
$ C=( k , -k , k ) $, ti trovi?
A e B vanno bene
A e B vanno bene
Sì, mi trovo errrore di trascrizione scusa.
Il punto c mi chiede di discutere la stabilità del sistema ad anello chiuso con controreazione unitaria al variare del parametro k . Ho provato a svolgere così:
\(\displaystyle \frac{W(s)}{W(s)+1} \) \(\displaystyle W(S)+1=\frac{k(s^2-s+1)+(s+10)(s^2+4s+4)}{(s+10)(s^2+4s+4)} \) \(\displaystyle pcl(s)= k(s^2-s+1)+(s+10)(s^2+4s+4)=s^3+s^2(k+14)+s(-k+44)+k+40 \) il sistema per essere asintoticamente stabile deve avere le radici del polinomio caratteristico di controllo minori di 0, posso studiare la stabilità al variare di k applicando il teorema di rough.
Il punto c mi chiede di discutere la stabilità del sistema ad anello chiuso con controreazione unitaria al variare del parametro k . Ho provato a svolgere così:
\(\displaystyle \frac{W(s)}{W(s)+1} \) \(\displaystyle W(S)+1=\frac{k(s^2-s+1)+(s+10)(s^2+4s+4)}{(s+10)(s^2+4s+4)} \) \(\displaystyle pcl(s)= k(s^2-s+1)+(s+10)(s^2+4s+4)=s^3+s^2(k+14)+s(-k+44)+k+40 \) il sistema per essere asintoticamente stabile deve avere le radici del polinomio caratteristico di controllo minori di 0, posso studiare la stabilità al variare di k applicando il teorema di rough.
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