Esercizio funzione di trasferimento

[claudio_p88]

Nel primo punto mi viene chiesto di tracciare i diagrammi di bode della funzione di trasferimento\(\displaystyle W(s)= \frac {k (s^2-s+1)}{(s+10)(s^2+4s+4)} \) riscrivendo ho che \(\displaystyle W(s)= \frac {k (s^2-s+1)}{40(1+1/10s)(1+s+1/4s^2)} \) i poli e zeri complessi sono ora nella forma \(\displaystyle 1+\frac {\xi }{w_n}s\frac {1}{w_n^2}s^2\), sostituisco jw all'interno della mia funzione, e risulta:
In \(\displaystyle w_{1n}=1 \) due zeri complessi e coniugati, parte reale positiva-> modulo: +40dB fase:-180
In \(\displaystyle p1,2_{2n}=-2 \) due parte reale negativa-> modulo: -40dB fase:-180
In \(\displaystyle p3= -10\) polo negativo-> modulo:-20dB fase =-90, vorrei sapere se ho svolto bene, posto anche i grafici tramite allegato, logicamente é da considerare che per \(\displaystyle k <0 \) il grafico della fase deve essere traslato di -180

[D4lF4zZI0]

Si perfetto

[claudio_p88]

Su questo punto non sono molto sicuro, ma ammettendo che stia ragionando in modo giusto procedo ad apllicare il criterio di Rough-Hurwitz, avrò:
\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & -k+44 \\ k+14 & k+40 \\ \frac{k+40}{-(k+14)}+(-k+44) & 0 \\ k+40 & 0 \end{array} \right) \), dunque per il criterio tale sistema è asintoticamente stabile se e solo se i valori della prima colonna sono > 0 e da qui ho qualche problema nella risoluzione attendo che qualche anima pia mi aiuti sui calcoli, sempre che io abbia costruito bene la matrice e che stia ragionando nel modo giusto.

[D4lF4zZI0]

La tabella è costruita bene; un ultimo sforzo dai...imponi le disequazioni ed hai risolto
In fondo due sono immediate

[claudio_p88]

Allora, vediamo se faccio bene:
Abbiamo \(\displaystyle k+14>0 \) allora \(\displaystyle k>-14 \)
\(\displaystyle k+40>0 \) allora \(\displaystyle k>-40 \)
\(\displaystyle k>42,5 \) e \(\displaystyle k>-13,5 \) riportando tutto su un unico grafico mi viene fuori che il sistema è asintoticamente stabile per \(\displaystyle k<40 \) e \(\displaystyle -1442,5 \) , giusto?

[D4lF4zZI0]

No a me viene solo per $-13.5

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[claudio_p88]

scusami dovrebbe essere sempre se non sbaglio \(\displaystyle k>-14 \) \(\displaystyle k>-40 \) \(\displaystyle k>42,5 \) e \(\displaystyle k>-13.5 \)ti posto anche una foto del grafico potrei commettere errore quindi non so magari se puoi dai un'occhiata, grazie.

[claudio_p88]

Grafico

[D4lF4zZI0]

A me risulta questo

[claudio_p88]

Come al solito hai ragione tu, ho sbagliato i calcoli...
Il quarto punto mi chiede: si determini un controllore con reazione dell'uscita in modo che il sistema abbia autovalori a parte reale minore di -1. Questo punto non miè moltoo chiaro, ma provo comunque a risolverlo.
Mi calcolo la matrice di osservabilità O, e se il sistema ò del tutto osservabile procedo al calcolo di \(\displaystyle O^{-1} \), poichè il nostro sistema è in forma canonica risulta che è completamente osservabile quindi avremo che: \( \displaystyle AC = \left( \begin{array}{ccc} -40k & -43k&-15k \\ \end{array} \right) \)
\( \displaystyle O= \left( \begin{array}{ccc} C \\ AC \\ A^2C \\ \end{array} \right) \) poichè il sistema è di ordine 3, facendo i calcoli risulta \( \displaystyle A^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0&1 \\ -40 & -44&-14 \\ 560 & 576&152 \end{array} \right) \) \( \displaystyle A^2C = \left( \begin{array}{ccc} 600k & 620k& 167k \\ \end{array} \right) \) allora avremo che \( \displaystyle O = \left( \begin{array}{ccc} k & -k&k \\ -40k & -44k&-14k \\ 600k & 620k&167k \end{array} \right) \), prima di procedere nei calcoli vorrei essere sicuro che sto ragionando bene... Comunque una volta trovata \(\displaystyle O^{-1} \) mi calcolo \(\displaystyle \gamma \) come ultima colonna di \(\displaystyle O^-1 \) e poi applico la formula di Ackermann

[D4lF4zZI0]

Ricontrolla il prodotto $CA^2$ perchè a me risulta che viene $(-600k,-620k,-167k)$

[claudio_p88]

Hai ragione, ho modificato, e per il procedimento che sto usando?

[D4lF4zZI0]

Credo sia un errore di trascrizione, ma la matrice $O$ vlae $ ( ( C ),( CA ),( CA^2 ) ) $

[claudio_p88]

Sí, esatto dai calcoli si vede che é un errore di trascrizione comunqe grazie per la correzione, come procederesti poi per la risoluzione?

[D4lF4zZI0]

Io avrei saltato questo passaggio; infatti, tu hai scritto il sistema nella forma canonica di osservabilità e quindi, per definizione, sai già che è osservabile.
Detto questo devi applicare il criterio di Achermann imponendo gli autovalori desiderati

[claudio_p88]

A livello teorico da quello che ho trovato sulla teoria, posso sia ragionare usando la formula di Ackerman, che ragionare in modo analogo, procedendo in questo modo, l'esercizio mi chiede che gli autovalori siano minori di 1, dunque, sempre se ragiono bene, scelgo un polinomio con autovalori minori di uno, ad esempio \(\displaystyle (\lambda+2)^3 =\lambda^3+6\lambda^2+12\lambda+8 \) poichè il sistema è di ordine 3, adesso calcolo \(\displaystyle A+BK= \) $((0,1,0),(0,0,1),(-40+k_1,-44+k_2,-14+k_3))$, procedo calcolandomi il polinomio caratteristico che sarà: \(\displaystyle \lambda^3+\lambda^2(14-k_3)+\lambda(44-k_2)+40-k_1 \) adesso imponiamo che \(\displaystyle 14-k_3=6 \), \(\displaystyle 44-k_2=12 \), \(\displaystyle 40-k_1=8 \) risolvendo avremo \(\displaystyle k_3=8, k_2=32, k_1 = 32 \) dovrebbe svolgersi anche così

[D4lF4zZI0]

Infatti faccio anche io così