Esercizio diagramma di Bode
Ciao ragazzi. 
Ho un esercizio su Bode su cui mi sono bloccato.
Data la funzione di trasferimento $ G(s)=((s+2)(s^2+9s+20))/(s^2(s^2+0.2s+0.04)) $ si disegni il diagramma di Bode delle ampiezze e delle fasi associato.
Fin qui nessun problema, tutto standard come sempre.
Mi si chiede in seguito di disegnare il diagramma di Bode associato alle funzioni $ T(s)=(G(s))/(1+G(s)) $ e $ S(s)=1/(1+G(s)) $.
Ed è qui che non riesco a procedere.
Prendendo ad esempio $ T(s) $ , andandoci a sostituire $ G(s) $ viene: $ ((s+2)(s^2+9s+20))/(s^2(s^2+0,2s+0,04)+(s+2)(s^2+9s+20)) $.
Ovviamente se procedo a sviluppare il denominatore, mi viene un polinomio di quarto grado che penso sia abbastanza lungo e complicato da risolvere, specie tenendo conto che si tratta di un esercizio da risolvere durante l'esame. Per questo mi chiedevo, mi sfugge qualcosa? C'è un modo più semplice per ottenere i diagrammi di Bode richiesti a partire da $ G(s) $ ? Vi ringrazio per l'attenzione
Ho un esercizio su Bode su cui mi sono bloccato. Data la funzione di trasferimento $ G(s)=((s+2)(s^2+9s+20))/(s^2(s^2+0.2s+0.04)) $ si disegni il diagramma di Bode delle ampiezze e delle fasi associato.
Fin qui nessun problema, tutto standard come sempre.
Mi si chiede in seguito di disegnare il diagramma di Bode associato alle funzioni $ T(s)=(G(s))/(1+G(s)) $ e $ S(s)=1/(1+G(s)) $.
Ed è qui che non riesco a procedere.
Prendendo ad esempio $ T(s) $ , andandoci a sostituire $ G(s) $ viene: $ ((s+2)(s^2+9s+20))/(s^2(s^2+0,2s+0,04)+(s+2)(s^2+9s+20)) $.
Ovviamente se procedo a sviluppare il denominatore, mi viene un polinomio di quarto grado che penso sia abbastanza lungo e complicato da risolvere, specie tenendo conto che si tratta di un esercizio da risolvere durante l'esame. Per questo mi chiedevo, mi sfugge qualcosa? C'è un modo più semplice per ottenere i diagrammi di Bode richiesti a partire da $ G(s) $ ? Vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
si,
T(s) si comporta come un filtro passa basso con guadagno unitario, la f di sensitività come un passa alto, la pulsazione di attraversamento di L(s) che nel tuo caso coincide con G(s), wc è circa quella di T(s) e S(s) (in particolare wcS < wcL < wcT se il margine di fase è <90°, wcS = wcL = wcT se Mf=90° e wcT < wcL < wcS se Mf>90°) ma sono circa li...
in ogni caso considera che (se L(s) è una fdt passabasso con una sola wc):
$|T(s) + S(s)| = 1db$
$w < |L(s)|>>1 => |T(s)| ~= 1$ e $|S(s)| ~= 1/(|L(s)|)$
$w > >w_(cL) => |L(s)| < <1 => |T(s)| ~= |L(s)|$ e $|S(s)| ~= 1$
chiaramente se L(S) ha poli complessi e coniugati devi fare i conti coi picchi di risonanza nell'intorno di wc ma puoi stimarli dallo smorzamento...
T(s) si comporta come un filtro passa basso con guadagno unitario, la f di sensitività come un passa alto, la pulsazione di attraversamento di L(s) che nel tuo caso coincide con G(s), wc è circa quella di T(s) e S(s) (in particolare wcS < wcL < wcT se il margine di fase è <90°, wcS = wcL = wcT se Mf=90° e wcT < wcL < wcS se Mf>90°) ma sono circa li...
in ogni caso considera che (se L(s) è una fdt passabasso con una sola wc):
$|T(s) + S(s)| = 1db$
$w <
$w > >w_(cL) => |L(s)| < <1 => |T(s)| ~= |L(s)|$ e $|S(s)| ~= 1$
chiaramente se L(S) ha poli complessi e coniugati devi fare i conti coi picchi di risonanza nell'intorno di wc ma puoi stimarli dallo smorzamento...
La pulsazione di attraversamento è quella per cui $ |G(j(w)|=1 $ giusto?
In pratica, facendo quelle considerazioni, prendendo il caso di $ S(s) $, dovrei disegnare il diagramma di Bode corrispondente a $ 1/(L(s)) $ per le pulsazioni inferiori alla pulsazione di attraversamento? Ho capito bene? Mentre per le pulsazioni superiori è sempre a 0, dato che il modulo della fdt è 1.
Ora però si pone il problema del calcolo della pulsazione di attraversamento però o sbaglio? Esiste un modo per calcolarla approssimativamente in modo veloce? Grazie mille per l'aiuto cmq
PS: se qualcuno sapesse di qualche esercizio risolto di questo tipo in giro per la rete mi facesse un fischio
In pratica, facendo quelle considerazioni, prendendo il caso di $ S(s) $, dovrei disegnare il diagramma di Bode corrispondente a $ 1/(L(s)) $ per le pulsazioni inferiori alla pulsazione di attraversamento? Ho capito bene? Mentre per le pulsazioni superiori è sempre a 0, dato che il modulo della fdt è 1.
Ora però si pone il problema del calcolo della pulsazione di attraversamento però o sbaglio? Esiste un modo per calcolarla approssimativamente in modo veloce? Grazie mille per l'aiuto cmq
PS: se qualcuno sapesse di qualche esercizio risolto di questo tipo in giro per la rete mi facesse un fischio
si,
$L(jwc)=1 dB$
ma se hai gia tracciato il diagramma di G la sai gia wc.
per la fase fai ragionamenti analoghi.
$L(jwc)=1 dB$
ma se hai gia tracciato il diagramma di G la sai gia wc.
per la fase fai ragionamenti analoghi.
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