ESERCIZI SU FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Buona sera,
mi trovo a dover risolvere questo tipo di esercizio:
$G(s)=1/[(s^2+2s+5)(s^2+2s+2)] * e^(-s)$
1) Determinare i modi del sistema;
2) Determinare la risposta all'impulso;
3) Determinare l'uscita a regime in risposta all'ingresso u(t)=10sin(2t+1)
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo.
mi trovo a dover risolvere questo tipo di esercizio:
$G(s)=1/[(s^2+2s+5)(s^2+2s+2)] * e^(-s)$
1) Determinare i modi del sistema;
2) Determinare la risposta all'impulso;
3) Determinare l'uscita a regime in risposta all'ingresso u(t)=10sin(2t+1)
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Tu come vorresti procedere?
Per i modi, antitrasformerei ciascun fratto semplice .... il problema è che in questo caso non riesco a farlo sia per il denominatore troppo complesso che per il fattore $e^S$
Il problema di quell'esponenziale non sussiste: infatti ti ricordo che esiste questo teorema fondamentale della trasformazione di Laplace:
$ L[f(t-tau)]=e^(-stau)F(s) $
Quindi puoi tranquillamente antitrasformare senza considerare l'esponenziale e poi, alla fine, applichi la traslazione temporale
$ L[f(t-tau)]=e^(-stau)F(s) $
Quindi puoi tranquillamente antitrasformare senza considerare l'esponenziale e poi, alla fine, applichi la traslazione temporale
si avevo appena fatto la stessa considerazione .... mi sono bloccato sui fratti semplici a causa dei fattori del denominatore ... come faccio?
devo usare il metodo di antitrasformazione per i poli complessi?
Ci sono molti modi per antitrasformare quella fdt; se vuoi adottare il metodo dei fratti semplici, devi ricordarti come si antitrasforma nel caso dei poli complessi e coniugati 
perfetto, il primo punto è andato .... per il secondo come procedo? Non so da dove partire ...
Beh per il secondo punto...basta un po' di teoria...ovvero per definizione la funzione di trasferimento non è altro che la trasformata della risposta all'impulso....quindi avendo la funzione di trasferimento...(trai le tue conclusioni) 
Concordo
chiedo scusa, tornando al primo punto ho ottenuto:
K11 = $[e^(1-2j)]/3$ dove j è l'unità immaginaria
come antitrasformo questo numero dato che ho l'unità immaginaria di mezzo?
K11 = $[e^(1-2j)]/3$ dove j è l'unità immaginaria
come antitrasformo questo numero dato che ho l'unità immaginaria di mezzo?
Posta tutti i passaggi che hai fatto per la scomposizione in fratti semplici
$(K11)/[(s+1)^2 + 4]$ + $(k12)/[(s+1)^2 + 4]$ + $(k21)/[(s+1)^2 +1]$ + $(K22)/[(s+1)^2 +1]$
ho trovato:
p1= -1+2j
p2=-1-2j
p3=-1+j
P4= -1-j
con j unità immaginaria, ho messo due volte lo stesso denominatore nei fratti perchè ognuono ha due poli
ho trovato:
p1= -1+2j
p2=-1-2j
p3=-1+j
P4= -1-j
con j unità immaginaria, ho messo due volte lo stesso denominatore nei fratti perchè ognuono ha due poli
Se proprio vuoi applicare la scomposizione in fratti semplici ( cosa sconsigliata in quanto con il metodo dei residui o con il teorema della convoluzione si impiega molto meno tempo ), devi imporre che:
$ G(s)=1/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1])=(As+B)/[(s+1)^2+4]+(Cs+D)/[(s+1)^2+1]=((As+B)(s^2+2s+2)+(Cs+D)(s^2+2s+4))/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1]) $.
Ora facendo i calcoli, che non riporto qui, ottieni:
$ { ( A+C=0 ),( 2A+B+2C+D=0 ),( 2A+2B+4C+2D=0 ),( 2B+4D=1 ):}rArr { ( A=0 ),( B=-1/2 ),( C=0 ),( D=1/2 ):} $
E quindi alla fine puoi scrivere:
$ G(s)=1/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1])=(-1/2)/[(s+1)^2+4]+(1/2)/[(s+1)^2+1] $
Dopo aver ricontrollato che io non abbia commesso errori di calcolo, ti lascio antitrasformare ( cosa alquanto immediata direi )
$ G(s)=1/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1])=(As+B)/[(s+1)^2+4]+(Cs+D)/[(s+1)^2+1]=((As+B)(s^2+2s+2)+(Cs+D)(s^2+2s+4))/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1]) $.
Ora facendo i calcoli, che non riporto qui, ottieni:
$ { ( A+C=0 ),( 2A+B+2C+D=0 ),( 2A+2B+4C+2D=0 ),( 2B+4D=1 ):}rArr { ( A=0 ),( B=-1/2 ),( C=0 ),( D=1/2 ):} $
E quindi alla fine puoi scrivere:
$ G(s)=1/([(s+1)^2+4][(s+1)^2+1])=(-1/2)/[(s+1)^2+4]+(1/2)/[(s+1)^2+1] $
Dopo aver ricontrollato che io non abbia commesso errori di calcolo, ti lascio antitrasformare ( cosa alquanto immediata direi )
Grazie mille ... il metodo che ha usato è quello del minimo comune multiplo?
... il metodo che ha usato è quello del minimo comune multiplo?
si
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