Esercizi baricentro + momenti di inerzia
Qualcuno ha esercizi relativi a questi argomenti? Non troppo difficili.
Risposte
grazie. non avresti qualcosa di più facile? La tipologia che mi ha fatto vedere la prof. era moooolto più semplice. In rete sono tutti difficili...
che cosa studi?
ing.edile. Gli esercizi sono molto banali rispetto a questi ultimi. Posso chiederti una cosa ?
Supponiamo di avere un disco pieno, con riferimento ortogonale Oxy nel centro. Adesso io debbo calcolarmi i momenti di inerzia rispetto all'asse x e y. Essi sono uguali, giusto? E tutti i momenti d'inerzia rispetto a qualsiasi asse che passa per il baricentro, sono uguali, per la simmetria geometrica? Ma ciò vale per tutte le figure? Oppure no? Ad esempio, pure per un quadrato ed un rettangolo? Ti prego, illuminami!
Supponiamo di avere un disco pieno, con riferimento ortogonale Oxy nel centro. Adesso io debbo calcolarmi i momenti di inerzia rispetto all'asse x e y. Essi sono uguali, giusto? E tutti i momenti d'inerzia rispetto a qualsiasi asse che passa per il baricentro, sono uguali, per la simmetria geometrica? Ma ciò vale per tutte le figure? Oppure no? Ad esempio, pure per un quadrato ed un rettangolo? Ti prego, illuminami!
Banalmente immaginati il momento d'inerzia come una grandezza data da $I=m\cdot d^2$ cioè la "massa" della figura in questione per la distanza quadrata rispetto all'asse di riferimento.
Nel caso del disco pieno qualsiasi asse che passa per il centro divide la figura a metà e la "distribuzione" di massa è la stessa sia da una parte che dall'altra dell'asse. Per questo è lo stesso anche il momento d'inerzia.
Ciò vale anche per un quadrato, ma non vale per un rettangolo o triangolo.
Illuminata?
Nel caso del disco pieno qualsiasi asse che passa per il centro divide la figura a metà e la "distribuzione" di massa è la stessa sia da una parte che dall'altra dell'asse. Per questo è lo stesso anche il momento d'inerzia.
Ciò vale anche per un quadrato, ma non vale per un rettangolo o triangolo.
Illuminata?
Sì. Grazie mille! (:
Scusami ancora. Ma il prodotto d'inerzia$ I_(xy)$ per un rettangolo, rispetto alla terna degli assi baricentrali paralleli ai lati è nullo? Quindi tali assi sono assi principali? Come si fa avedere che algebricamente è nullo??
Il momento d'inerzia centrifugo (mi riferisco ad una singola area) è dato da $I_{xy}=A(x_{Gi}-x_G)(y_{Gi}-y_G)$ quindi se sei in un sistema di riferimento baricentrico (o centrale) i prodotti $(x_{Gi}-x_G)$ e $(y_{Gi}-y_G)$ sono identicamente nulli, proprio per il fatto che $x_{Gi}=x_G$ e $y_{Gi}=y_G$
io in un sistema Oxy ce l'ho definito come
$I_(xy)=p intxydb$ (p è la densità)
La cosa che hai detto tu non è minimamente presa in considerazione, oppure sono io che non ho capito bene!
$I_(xy)=p intxydb$ (p è la densità)
La cosa che hai detto tu non è minimamente presa in considerazione, oppure sono io che non ho capito bene!
Si scusami, io ho parlato di aree perchè ti sei riferita/o ad un rettangolo.
Comunque nel tuo caso è analogo, vediamo di applicarlo ad un rettangolo e riferirci ad un sistema di riferimento centrale,
il tuo integrale diventa:
$I_{xy}=p \int_{-b/2}^{b/2}\int_{-h/2}^{h/2} xy dx dy = 1/2[y^2]_{-h/2}^{h/2} \cdot 1/2[x^2]_{-b/2}^{b/2}= 0 \cdot 0 =0$
Forse così è più chiaro
Comunque nel tuo caso è analogo, vediamo di applicarlo ad un rettangolo e riferirci ad un sistema di riferimento centrale,
il tuo integrale diventa:
$I_{xy}=p \int_{-b/2}^{b/2}\int_{-h/2}^{h/2} xy dx dy = 1/2[y^2]_{-h/2}^{h/2} \cdot 1/2[x^2]_{-b/2}^{b/2}= 0 \cdot 0 =0$
Forse così è più chiaro
Sì! Grazie mille. Però non tutti gli assi ortogonali passanti per il baricentro di una figura sono principali d'inerzia, giusto?
Ne senso... Ad esempio, gli assi baricentrali paralleli ai lati del rettangolo in tal caso lo sono. Ma non sempre, vero? Se li ruoto di un angolo a caso, non per forza avrò una terna principale d'inerzia?
Ne senso... Ad esempio, gli assi baricentrali paralleli ai lati del rettangolo in tal caso lo sono. Ma non sempre, vero? Se li ruoto di un angolo a caso, non per forza avrò una terna principale d'inerzia?
Inoltre, come faccio a capire subito se una terna è principale d'inerzia? Se ho un asse di simmetria materiale quest'ultimo sarà principale, quindi quello ortonogale ad esso anche??
Ed inoltre... scusa!!! COme si fa a vedere algebricamente che il prodotto d'inerzia nel caso del disco è nullo???
"Nausicaa91":
Sì! Grazie mille. Però non tutti gli assi ortogonali passanti per il baricentro di una figura sono principali d'inerzia, giusto?
Ne senso... Ad esempio, gli assi baricentrali paralleli ai lati del rettangolo in tal caso lo sono. Ma non sempre, vero? Se li ruoto di un angolo a caso, non per forza avrò una terna principale d'inerzia?
Giusto, 2 assi passanti per il baricentro non per forza sono principali d'inerzia! In generale 2 assi principali non coincidono mai con direzioni "standard" come $x$ e $y$, solo nelle figure più semplici (come rettangoli ecc) ti accorgi che sono principali quando sono "simmetrici" e dividono simmetricamente la figura, nel caso del rettangolo infatti, solo gli assi passanti per $G$ e paralleli a base ed altezza suddividono la figura in 2 parti uguali rispettivamente.
"Nausicaa91":
Inoltre, come faccio a capire subito se una terna è principale d'inerzia? Se ho un asse di simmetria materiale quest'ultimo sarà principale, quindi quello ortonogale ad esso anche??
lo ripeto, in generale è molto difficile a occhio individuare una terna principale. Sai solo che ha l'origine nel baricentro. Si, nel caso tu abbia un asse di simmetria che passa per $G$ allora è asse principale d'inerzia, e l'asse a esso ortogonale passante sempre per $G$ è sempre asse principale.
"Nausicaa91":
Ed inoltre... scusa!!! COme si fa a vedere algebricamente che il prodotto d'inerzia nel caso del disco è nullo???
utilizzi lo stesso procedimento che hai utilizzato per il rettangolo, però sostituisci alle coordinate cartesiane quelle polari
Grazie! Ma sei solo una matricola? Come fai a sapere queste cose? Stima!
Posso chiederti un'ultima cosa?
Immaginiamo un quadrato. Il suo momento d'inerzia rispetto al lato inferiore (quello orizzontale) è uguale al suo momento d'inerzia rispetto al lato superiore( orizzontale)??? Insomma i momenti di inerzia di figure centrali (posso definirle così??) rispetto ai lati paralleli sono identici? Ciò vale quindi per i quadrati, per il cerchio ma non per il rettangolo? O anche per esso?
Posso chiederti un'ultima cosa?
Immaginiamo un quadrato. Il suo momento d'inerzia rispetto al lato inferiore (quello orizzontale) è uguale al suo momento d'inerzia rispetto al lato superiore( orizzontale)??? Insomma i momenti di inerzia di figure centrali (posso definirle così??) rispetto ai lati paralleli sono identici? Ciò vale quindi per i quadrati, per il cerchio ma non per il rettangolo? O anche per esso?
"Nausicaa91":
Grazie! Ma sei solo una matricola? Come fai a sapere queste cose? Stima!
ehm....è da un pò che non cambio il mio profilo in effetti
"Nausicaa91":
Posso chiederti un'ultima cosa?
Immaginiamo un quadrato. Il suo momento d'inerzia rispetto al lato inferiore (quello orizzontale) è uguale al suo momento d'inerzia rispetto al lato superiore( orizzontale)??? Insomma i momenti di inerzia di figure centrali (posso definirle così??) rispetto ai lati paralleli sono identici? Ciò vale quindi per i quadrati, per il cerchio ma non per il rettangolo? O anche per esso?
Esatto...vale anche per il rettangolo...tanto per renderti conto lo calcolo riferito all'asse $y$ nelle 2 alternative:
In questo caso $I_{y}=\int_{0}^{h}\int_{0}^{b} x^2 dx dy = (bh^3)/3$
In questo caso hai un cambio di segno, ma nello svolgimento dell'integrale è insignificante:
$I_{y}=\int_{0}^{h}\int_{0}^{-b} -x^2 dx dy = (bh^3)/3$
E vale uguale negli altri lati!
grazie, utilissimo.
Prenderò 30!
Prenderò 30!
come minimo!
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