Equazioni di Maxwell come si ottengono?

[Lionel2]

Buongiorno. Nello studiare le equazioni di maxwell si arriva ad un certo punto a scrivere queste sono le equazioni di maxwell nel dominio del numero d'onda:

$vec(D)=-(1/omega)*vec(k)xxvec(H)$

$vec(H)=-(1/(omega*u))*vec(k)xxvec(E)$

Ma non ci sono i passaggi che mi spiegano come dalle equazioni di maxwell nel dominio del tempo arrivo a quelle nel numero d'onda. Ringrazio tutti coloro che mi daranno un input.

[K.Lomax]

Le equazioni di Maxwell nel dominio del vettore d'onda sfruttano la trasformata spaziale di Fourier. In accordo a tale trasformata il campo elettrico assume la seguente espressione:

$\vec E(\vec k)=\int\int\int_(-\infty)^(\infty)\vec E(\vec r)e^(-j\vec k*\vec r)d\vec r$

da cui la formula di inversione

$\vec E(\vec r)=1/(2\pi)^3\int\int\int_(-\infty)^(\infty)\vec E(\vec k)e^(j\vec k*\vec r)d\vec k$

dove $\vec r$ indica il vettore posizione e $\vec k$ il vettore d'onda. Prova a sostituire questa espressione, valida per tutti i campi, nelle classiche equazioni di Maxwell ed otterrai la loro formulazione nel dominio del numero d'onda.

[Lionel2]

e da quelle due relazioni come si ottiene attraverso il vettore di poynting questo:

$vec(S)=vec(E)xxvec(H)=(1/(u*omega))*vec(E)xx(vec(k)xxvec(E))$?

[K.Lomax]

Sinceramente non ho capito la domanda.

[Lionel2]

"K.Lomax":Sinceramente non ho capito la domanda.

Sto studiando la propagazione nei mezzi anisotropi...e il libro prima si ricava le equazioni di maxwell nel dominio del numero d'onda (ossia quelle due equazioni che ho scritto nel primo post)...e poi si calcola il vettore di poyntig...però non capisco quali sono i passaggi che fa partendo dal vettore di Poynting per poi arrivare al secondo post che ho scritto.

[Lionel2]

O almeno credo che faccia così, ora ti scrivo tutti i passaggi del libro sperando di essere chiaro:

$vec(S)=vec(E)xxvec(H)$ ossia il vettore di poyntig e fin qui non ci sono problemi ma dopo dice che tutta questa quantità è uguale a:

$1/(vec(k)*omega)*vec(E)xx(vec(k)xxvec(E))=1/(vec(k)*omega)*[vec(k)*|vec(E)|^2-vec(E)(vec(k)*vec(E))]$

[K.Lomax]

Utilizza la seguente identità vettoriale:

$\vecAxx\vecBxx\vecC=\vecB(\vecA*\vecC)-\vecC(\vecA*\vecB)$

con $\vecA=\vecC=\vecE$ e $\vecB=\veck$

[Lionel2]

"K.Lomax":Utilizza la seguente identità vettoriale:

$\vecAxx\vecBxx\vecC=\vecB(\vecA*\vecC)-\vecC(\vecA*\vecB)$

con $\vecA=\vecC=\vecE$ e $\vecB=\veck$

il problema è che questo è l'unico passaggio che ho capito...però prima è il problema perché $S=ExxH$ è uguale a quella quantità? Come fa?

[Lionel2]

$vec(S)=vec(E)xxvec(H)=$$1/(vec(k)*omega)*vec(E)xx(vec(k)xxvec(E))$
questo è il passaggio poco chiaro

[K.Lomax]

Allora il vettore di Poynting è così definito

$\vec S=\vecExx\vecH$

e su questo non c'è da discutere (in realtà, nel dominio della frequenza, si pone un fattore 1/2 in più e il campo magnetico è coniugato. Comunque si può anche partire dalla tua espressione). Per il secondo passaggio, che mi sembra quello incriminato, la cosa è abbastanza banale. Infatti, considera la seconda equazione di Maxwell (che tu hai riportato con un segno diverso), e che io riscrivo:

$\vecH=1/(\omega\mu)\veckxx\vecE$

e la sostituisci nell'espressione di $\vecH$ presente nel vettore di Poynting, ottenendo:

$\vecS=\vecExx[1/(\omega\mu)\veckxx\vecE]=1/(\omega\mu)\vecExx\veckxx\vecE$

E' chiaro ora??

P.S: la tua espressione credo sia sbagliata in quanto $\omega\mu=k\zeta$ quindi a denominatore non ci va $k\omega$ ma, appunto, o $\omega\mu$ o $k\zeta$. Verifica.

[Lionel2]

Con il segno meno credo di aver sbagliato io comunque ora ti mostro i miei passaggi:

$nablaxxvec(E)=-jomegavec(B)$

scrivendo in funzione del numero d'onda e considerando la relazione costitutiva del tipo $vec(B)=u*vec(H)$

$-jvec(k)xxvec(E)=-j*omega*u*vec(H)$

da cui semplicemente

$vec(H)=(vec(k)xxvec(E))/(omega*u)$

mentre per l'altra equazione

$nablaxxvec(H)=jomegavec(D)=-jvec(k)xxvec(H)=jomegavec(D)$ da cui in definitiva ricavo D, queste sono le dimostrazione che finalmente grazie a te ho capito e che fa il libro...ti tornano?

[K.Lomax]

I passaggi sono corretti. Si parte dalle equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza, e poi si passa nel dominio del numero d'onda, mediante l'eguaglianza $\nabla=-j\veck$, tra l'altro, facilmente dimostrabile a partire proprio dalla definizione di trasformata spaziale di Fourier. Francamente, questi passaggi sono indipendenti dalla definizione di vettore di Poynting e non so a che pro il tuo libro lo tiri in ballo (ovviamente per quanto concerne questa dimostrazione)se non al fine di determinare il bilancio energetico associato alla propagazione del campo elettromagnetico.
Comunque mi fa piacere esserti stato utile.

Ciao

[Lionel2]

"K.Lomax":I passaggi sono corretti. Si parte dalle equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza, e poi si passa nel dominio del numero d'onda, mediante l'eguaglianza $\nabla=-j\veck$, tra l'altro, facilmente dimostrabile a partire proprio dalla definizione di trasformata spaziale di Fourier. Francamente, questi passaggi sono indipendenti dalla definizione di vettore di Poynting e non so a che pro il tuo libro lo tiri in ballo (ovviamente per quanto concerne questa dimostrazione)se non al fine di determinare il bilancio energetico associato alla propagazione del campo elettromagnetico.
Comunque mi fa piacere esserti stato utile.

Ciao

il libro dice questo: su può verificare che il vettore di poynting dato dalla relazione che abbiamo scritto nei post precedenti non è, in generale, parallelo al vettore d'onda k per la non ortogonalità, sempre in generale, tra i vettori k ed E.

[K.Lomax]

Si quello che dice il tuo libro è senz'altro corretto per mezzi anisotropi. Infatti, mentre per mezzi isotropi la potenza associata al campo si propaga lungo la direzione $\veck$ che forma una terna trirettangola con i campi elettrico e magnetico, per quelli anisotropi questo non vale in generale.

Ciao