Equazione di continuità
Salve a tutti, ho il seguente esercizio che mi sta dando alcuni problemi. "Una miscela di acqua-glicole (20%volume di glicole) passa attraverso un condotto a sezione variabile, con portata massica pari a $m=6(Kg)/s$ (non so come mettere il punto sopra m).I diametri delle sezioni circolari sono $D_1=1cm$ e $D_2=5cm$ . L'altro tratto sarà a sezione tronco-conica e di lunghezza pari a $H=10cm$. Si calcoli la velocità di uscita e entrata tra le due sezioni circolari. Individuare la legge secondo cui varia la velocità a seconda di H"
Per quanto riguarda le velocità di entrata e di uscita le ho individuate senza problemi, il mio problema sta nell'individuare la relazione secondo cui aria v in funzione di H. Essendo a sezione tronco-conica, ho pensato di individuare l'area di questa parte del condotto, e calcolare la velocità come $v=m/(\rho S_(t))$. Però così trovo la velocità nella parte di condotto. Non riesco a trovare alcuna relazione che mi colleghi la velocità alla lunghezza del condotto. Qualche input per proseguire?
Per quanto riguarda le velocità di entrata e di uscita le ho individuate senza problemi, il mio problema sta nell'individuare la relazione secondo cui aria v in funzione di H. Essendo a sezione tronco-conica, ho pensato di individuare l'area di questa parte del condotto, e calcolare la velocità come $v=m/(\rho S_(t))$. Però così trovo la velocità nella parte di condotto. Non riesco a trovare alcuna relazione che mi colleghi la velocità alla lunghezza del condotto. Qualche input per proseguire?
Risposte
Una volta scritta l'equazione di equilibrio della quantità di moto e considerato il regime del flusso potresti applicare l'equazione di Bernoulli facendo le giuste considerazioni sulle perdite di carico.
Dai...questo esercizio è da quarta liceo...
Siamo nel caso ideale, e non abbiamo trattato il bilancio di quantità di moto. E' possibile risolverlo in un altro modo?
Cerchiamo di affrontarlo logicamente provando a studiare il problema con un bilancio macroscopico...
Per prima cosa individuiamo un volume di controllo (ad esempio la parte di tubazione del diametro $D_1$, la parte di tubazione raccordata in cui il diametro subisce un incremento e la parte di tubo in cui il diametro è $D_2$; quindi tre volumi di controllo) .
In questi volumi di controllo, possiamo definire il bilancio di materia come accumulo materiale nel volume considerato dato dalla differenza della massa entrante e la massa uscente.
è possibile definire la massa di accumulo in base al volume di controllo e le portate ponderali come portate volumetriche:
$m=\int_V\rhodV$ e che $\dotm=\rhoQ$ dove $Q$ è la portata volumetrica.
La portata volumetrica non è altro che il flusso del vettore velocità del fluido all'interno della tubazione, perciò: $Q=\int_S\vecv * \hatn dS$
La velocità del fluido, dipende dal regime del flusso all'interno della tubazione e poiché hai scritto caso di idealità posso pensare ad una semplificazione del problema considerando come unica componente della velocità, quella ortogonale alle sezioni di ingresso ed uscita (quindi flusso laminare).
Allora possiamo riscrivere il bilancio di materia come:
Successivamente possiamo dire che poiché parliamo di liquidi, allora possiamo supporre che questi siano incomprimibili, perciò: $\rho=\rho_1=\rho_2$
Quindi possiamo ridefinire il bilancio di materia come segue:
Avendo considerato 3 volumi di controllo differenti, ricaviamo le seguenti espressioni:
Nel tratto di tubazione con diametro $D_1$ in stato stazionario, il bilancio materiale è il seguente:
$0=v_(\text(in))S_(\text(in))-v_(\text(out))S_(\text(out))=(\piD_1)/4(v_(\text(in))-v_(\text(out)))$
Ricavando che $v_(\text(in))=v_(\text(out))$
Quindi la velocità nel primo tratto di tubazione è costante e potremmo chiamarla ad esempio $v_1$, allora:
$v(x)=v_1$ per $x in [0 , x_(D1))$ considerando il valore $x_(D1)$ la quota alla quale la tubazione subisce un allargamento.
Nel tratto di tubazione con diametro $D_2$ possiamo fare le stesse considerazioni di prima... perciò:
$v(x)=v_2$ per $x in (x_(D2) , x]$
Adesso invece consideriamo la parte tronco-conica:
$v_1S_1=v(x)S(x)$ $rarr$ $v_1D_1^2=v(x)D(x)^2$
Quindi sarà necessario definire come varia il diametro con la quota $x$, per semplicità considerando la variazione del raggio:
Dove $x_(D2)-x_(D1)=H$, quindi: $r(x)=(x-x_(D1))/H (R_2-R_1)+R_1=(R_2-R_1)/Hx-((x_(D1)(R_2-R_1))-HR_1)/H$
allora se volessimo definire $D$ al variare di $x$: $D(x)=(D_2-D_1)/Hx-((x_(D1)(D_2-D_1))-HD_1)/H$
Dove per $x=x_(D1)$: $v(x)=v_1(D_1^2)/(D_1^2)=v_1$
per $x=x_(D2)$ : $v(x)=v_1(D_1^2)/(D_2^2)$ che non è altro che $v_2$
Quindi per l'intervallo $[x_(D1) , x_(D2)]$:
Per prima cosa individuiamo un volume di controllo (ad esempio la parte di tubazione del diametro $D_1$, la parte di tubazione raccordata in cui il diametro subisce un incremento e la parte di tubo in cui il diametro è $D_2$; quindi tre volumi di controllo) .
In questi volumi di controllo, possiamo definire il bilancio di materia come accumulo materiale nel volume considerato dato dalla differenza della massa entrante e la massa uscente.
$(dm)/(dt)=\dotm_1-\dotm_2$
è possibile definire la massa di accumulo in base al volume di controllo e le portate ponderali come portate volumetriche:
$m=\int_V\rhodV$ e che $\dotm=\rhoQ$ dove $Q$ è la portata volumetrica.
La portata volumetrica non è altro che il flusso del vettore velocità del fluido all'interno della tubazione, perciò: $Q=\int_S\vecv * \hatn dS$
La velocità del fluido, dipende dal regime del flusso all'interno della tubazione e poiché hai scritto caso di idealità posso pensare ad una semplificazione del problema considerando come unica componente della velocità, quella ortogonale alle sezioni di ingresso ed uscita (quindi flusso laminare).
Allora possiamo riscrivere il bilancio di materia come:
$d/(dt)\int_V\rhodV=\rho_1\int_(S_1)v_1dS-\rho_2\int_(S_2)v_2dS$
Successivamente possiamo dire che poiché parliamo di liquidi, allora possiamo supporre che questi siano incomprimibili, perciò: $\rho=\rho_1=\rho_2$
Quindi possiamo ridefinire il bilancio di materia come segue:
$d/(dt)\int_VdV=v_1S_1-v_2S_2$
Avendo considerato 3 volumi di controllo differenti, ricaviamo le seguenti espressioni:
Nel tratto di tubazione con diametro $D_1$ in stato stazionario, il bilancio materiale è il seguente:
$0=v_(\text(in))S_(\text(in))-v_(\text(out))S_(\text(out))=(\piD_1)/4(v_(\text(in))-v_(\text(out)))$
Ricavando che $v_(\text(in))=v_(\text(out))$
Quindi la velocità nel primo tratto di tubazione è costante e potremmo chiamarla ad esempio $v_1$, allora:
$v(x)=v_1$ per $x in [0 , x_(D1))$ considerando il valore $x_(D1)$ la quota alla quale la tubazione subisce un allargamento.
Nel tratto di tubazione con diametro $D_2$ possiamo fare le stesse considerazioni di prima... perciò:
$v(x)=v_2$ per $x in (x_(D2) , x]$
Adesso invece consideriamo la parte tronco-conica:
$v_1S_1=v(x)S(x)$ $rarr$ $v_1D_1^2=v(x)D(x)^2$
Quindi sarà necessario definire come varia il diametro con la quota $x$, per semplicità considerando la variazione del raggio:
$(r-R_1)/(R_2-R_1)=(x-x_(D1))/(x_(D2)-x_(D1))$
Dove $x_(D2)-x_(D1)=H$, quindi: $r(x)=(x-x_(D1))/H (R_2-R_1)+R_1=(R_2-R_1)/Hx-((x_(D1)(R_2-R_1))-HR_1)/H$
allora se volessimo definire $D$ al variare di $x$: $D(x)=(D_2-D_1)/Hx-((x_(D1)(D_2-D_1))-HD_1)/H$
$v(x)=v_1(D_1^2)/(D(x)^2)$
Dove per $x=x_(D1)$: $v(x)=v_1(D_1^2)/(D_1^2)=v_1$
per $x=x_(D2)$ : $v(x)=v_1(D_1^2)/(D_2^2)$ che non è altro che $v_2$
Quindi per l'intervallo $[x_(D1) , x_(D2)]$:
$v(x)=(v_1HD_1^2)/((D_2-D_1)x-x_(D1)(D_2-D_1)+HD_1)$
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