Energia totale di un sistema e integrale primo
Ciao a tutti, non capisco bene il concetto di integrale primo e come questo è correlato con l'energia di un sistema.
Ad esempio (prendo spunto da alcuni esercizi svolti del corso di equazioni differenziali):
Sia dato il seguente sistema conservativo a un grado di libertà:
$ x'' = -5x^4+8x^3-3x^2 $
Questo si traduce nel sistema
$ x'=y $ (la chiamo f)
$ y'= -5x^4+8x^3-3x^2 $ (la chiamo g)
L'energia totale del sistema è dunque l'integrale di x' - l'integrale di y', ovvero:
$ (y^2)/2 + x^5 -2x^4 + x^3 $
La soluzione dice poi:
"Poichè l’energia totale E(x,y) è un integrale primo per il sistema, sappiamo che le linee di livello sono unioni di orbite e che ogni orbita si trova su una linea di livello dell’energia."
L'integrale primo si trova facendo $ dy/dx = f/g $ , la quale una volta integrata e portata al primo membro dà proprio l'energia totale.
Ma allora l'integrale primo è esattamente l'energia totale per qualsiasi sistema conservativo? Quando non lo è?
Grazie
Ad esempio (prendo spunto da alcuni esercizi svolti del corso di equazioni differenziali):
Sia dato il seguente sistema conservativo a un grado di libertà:
$ x'' = -5x^4+8x^3-3x^2 $
Questo si traduce nel sistema
$ x'=y $ (la chiamo f)
$ y'= -5x^4+8x^3-3x^2 $ (la chiamo g)
L'energia totale del sistema è dunque l'integrale di x' - l'integrale di y', ovvero:
$ (y^2)/2 + x^5 -2x^4 + x^3 $
La soluzione dice poi:
"Poichè l’energia totale E(x,y) è un integrale primo per il sistema, sappiamo che le linee di livello sono unioni di orbite e che ogni orbita si trova su una linea di livello dell’energia."
L'integrale primo si trova facendo $ dy/dx = f/g $ , la quale una volta integrata e portata al primo membro dà proprio l'energia totale.
Ma allora l'integrale primo è esattamente l'energia totale per qualsiasi sistema conservativo? Quando non lo è?
Grazie
Risposte
Nessuno mi sa aiutare? :/
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