[Elettrotecnica] Trifase: potenza assorbita da due carichi
Una nota preliminare: è il mio primo esercizio sui sistemi trifase e mi piacerebbe che, in un'eventuale risposta, non venga data nessuna nozione per scontata. Vi prego, inoltre, di correggere qualsiasi inesattezza io scriva, per evitare di proseguire nella falsa convinzione di aver capito concetti in realtà sbagliati.
Il circuito in figura è alimentato da una terna diretta di tensioni concatenate simmetriche, di valore efficace $V_{eff} = 380 V$.
Determinare le potenze medie e reattive assorbite dai due tripoli.
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Prima di tutto passo alle impedenze $Z_{L1} = 27j$ , $Z_{L2} = 76j$ , $Z_{C} = -76j$
Ricavo l'impedenza equivalente di un lato qualsiasi del triangolo $Z_{RL1} = 27+27j$ e, volendo trasformare il triangolo in stella, ottengo che l'impedenza su ciascuna linea è semplicemente $Z = \frac{Z_{RL1}}{3} = 9+9j$
Ottengo quindi
Ora ricavo il modulo e la fase dell'impedenza
$|Z| = 12.72$ e $\phi = arctan(9/9) = \pi/4$
Da qui posso già ricavare il fattore di potenza $cos\phi = \sqrt{2}/2$
Se non ho già scritto abbastanza scemenze, vorrei anche mostrare il mio (umiliante) tentativo di ricavare la potenza complessa assorbita dal primo carico (quello di impedenze), motivando i passaggi.
Il carico è equilibrato quindi $\bar{I_i} = \frac{\bar{E_i}}{Z}$ ($i=1...3$) e le varie $\bar{E_i}$ differiscono solo per la fase, quindi
$I_{eff} = \frac{V_{eff}}{|Z|} = 29.87$
è il valore efficace dell'intensità di corrente su ciascuna linea [size=85](giusto?)[/size]
Sapendo poi che $\phi = \alpha - \beta$ (dove $\alpha$ = fase di $V$ e $\beta$ = fase di $I$) allora calcolo
$\hat{P} = \bar{V} \cdot \bar{I\text{*}} = V_{eff}I_{eff} \cdot e^{j\phi} = 11350.6 \cdot e^{j\pi/4}$
cioè la potenza assorbita da una singola impedenza, che in teoria dovrei moltiplicare per 3... ma è evidente che non è questa la strada giusta.
Ho anche provato, per la potenza media, a utilizzare questa formula
$I_{eff} = \frac{P}{\sqrt{3}V_{eff}cos\phi}$
ma senza successo.
.
1) Cosa sbaglio e come devo muovermi?
2) Come devo gestire quel carico in basso?
Grazie in anticipo!
Il circuito in figura è alimentato da una terna diretta di tensioni concatenate simmetriche, di valore efficace $V_{eff} = 380 V$.
Determinare le potenze medie e reattive assorbite dai due tripoli.
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Prima di tutto passo alle impedenze $Z_{L1} = 27j$ , $Z_{L2} = 76j$ , $Z_{C} = -76j$
Ricavo l'impedenza equivalente di un lato qualsiasi del triangolo $Z_{RL1} = 27+27j$ e, volendo trasformare il triangolo in stella, ottengo che l'impedenza su ciascuna linea è semplicemente $Z = \frac{Z_{RL1}}{3} = 9+9j$
Ottengo quindi
Ora ricavo il modulo e la fase dell'impedenza
$|Z| = 12.72$ e $\phi = arctan(9/9) = \pi/4$
Da qui posso già ricavare il fattore di potenza $cos\phi = \sqrt{2}/2$
Se non ho già scritto abbastanza scemenze, vorrei anche mostrare il mio (umiliante) tentativo di ricavare la potenza complessa assorbita dal primo carico (quello di impedenze), motivando i passaggi.
Il carico è equilibrato quindi $\bar{I_i} = \frac{\bar{E_i}}{Z}$ ($i=1...3$) e le varie $\bar{E_i}$ differiscono solo per la fase, quindi
$I_{eff} = \frac{V_{eff}}{|Z|} = 29.87$
è il valore efficace dell'intensità di corrente su ciascuna linea [size=85](giusto?)[/size]
Sapendo poi che $\phi = \alpha - \beta$ (dove $\alpha$ = fase di $V$ e $\beta$ = fase di $I$) allora calcolo
$\hat{P} = \bar{V} \cdot \bar{I\text{*}} = V_{eff}I_{eff} \cdot e^{j\phi} = 11350.6 \cdot e^{j\pi/4}$
cioè la potenza assorbita da una singola impedenza, che in teoria dovrei moltiplicare per 3... ma è evidente che non è questa la strada giusta.
Ho anche provato, per la potenza media, a utilizzare questa formula
$I_{eff} = \frac{P}{\sqrt{3}V_{eff}cos\phi}$
ma senza successo.
.
1) Cosa sbaglio e come devo muovermi?
2) Come devo gestire quel carico in basso?
Grazie in anticipo!
Risposte
Proprio "bello" questo: chiede le potenze medie e reattive dai due tripoli e nel risultato ne scrive solo una (coppia). 
Il risultato ufficiale è comunque, in ogni caso, evidentemente errato.
Per quanto riguarda il tuo procedimento, ti ricordo che la tensione V=380 fornita è la concatenata, non la stellata; questo tuo errore va nel tuo procedimento a "compensare" la non triplicazione del risultato ottenuto e, di conseguenza, il tuo valore per la potenza complessa del carico a triangolo risulta corretto.
Per una determinazione più rapida, potevi evitare la trasformazione triangolo stella e determinare la sua potenza complessa triplicando il prodotto fra tensione di fase e corrente di fase
$ \hat P_1=3 \bar V \bar I_f^{\text{*}}= (3 V^2) /(Z_1^{\text{*})$
Per il carico inferiore a stella, hai due opzioni: usare Millman per determinare la tensione fra centro del sistema e centro stella, oppure andare a trasformare [nota]Vista la particolare terna di valori.[/nota] la stella in triangolo, per poi usare la somma algebrica di due relazioni analoghe alla precedente per determinarne la sua potenza complessa.
DeM&M colpiscono ancora.
Il risultato ufficiale è comunque, in ogni caso, evidentemente errato.
Per quanto riguarda il tuo procedimento, ti ricordo che la tensione V=380 fornita è la concatenata, non la stellata; questo tuo errore va nel tuo procedimento a "compensare" la non triplicazione del risultato ottenuto e, di conseguenza, il tuo valore per la potenza complessa del carico a triangolo risulta corretto.
Per una determinazione più rapida, potevi evitare la trasformazione triangolo stella e determinare la sua potenza complessa triplicando il prodotto fra tensione di fase e corrente di fase
$ \hat P_1=3 \bar V \bar I_f^{\text{*}}= (3 V^2) /(Z_1^{\text{*})$
Per il carico inferiore a stella, hai due opzioni: usare Millman per determinare la tensione fra centro del sistema e centro stella, oppure andare a trasformare [nota]Vista la particolare terna di valori.[/nota] la stella in triangolo, per poi usare la somma algebrica di due relazioni analoghe alla precedente per determinarne la sua potenza complessa.
DeM&M colpiscono ancora.
"RenzoDF":
Proprio "bello" questo: chiede le potenze medie e reattive dai due tripoli e nel risultato ne scrive solo una (coppia).
Si lo so, e non è la prima volta... ormai ci sono abituato...
"RenzoDF":
Il risultato ufficiale è comunque, in ogni caso, evidentemente errato.
Déjà vu
"RenzoDF":
la tensione V=380 fornita è la concatenata, non la stellata;
questo va nel tuo procedimento a "compensare" la non triplicazione del risultato ottenuto;
Sono curioso, e mi farebbe davvero molto molto piacere se mi spiegassi il motivo.
Perchè se calcolo la potenza considerando la tensione concatenata ottengo la potenza assorbita dall'intero carico mentre se la tensione è stellata ottengo quella assorbita da un solo utilizzatore?
"RenzoDF":
usare Millman per determinare la tensione fra centro del sistema e centro stella
Opto per questa strada anche per "sporcarmi le mani" con la formula di Millman.
Avendo:
e volendo calcolare la tensione $V_{OO''}$ tra il centro stella (del carico in basso) e il centro stella (dei generatori) ottengo:
$
V_{OO''} =
\frac{ \frac{E_1}{Z_{L2}} + \frac{E_2}{Z_{C}} + \frac{E_3}{Z_{L2}} }
{ \frac{1}{Z_{L2}} + \frac{1}{Z_{LC}} + \frac{1}{Z_{L2}}}
=
\frac{ \frac{E_1+E_4}{Z_{L2}} + \frac{E_2}{Z_{C}}}
{ \frac{2}{Z_{L2}} + \frac{1}{Z_{LC}} }
$
Assumendo $\bar{E_1} = E_{eff} = V_{eff}/\sqrt{3} \approx 220V $ come riferimento di fase, ho che
$V_{OO''} = 0.05V$
E ora mi sorge qualche dubbio:
Quei nodi che ho marcato in blu non dovrebbero essere "evitati" dalle linee del carico inferiore?
Per esempio, il carico $Z_{L2}$ sulla sinistra, tocca letteralmente tutte e 3 le linee di trasmissione "principali".
Possibile? Non ci dovrebbe essere un "salto" ed evitare tali connessioni "multiple"?
Avrò probabilmente detto una cosa ovvia, ma da quel che so c'è una simbologia specifica per indicare il "salta questo filo, non toccarlo" proprio perchè siamo in 2D e in qualche modo bisogna pur farlo capire...
------------------------------
Inoltre, in prossimità di quei nodi "rossi", la corrente non dovrebbe dividersi?
Nel calcolo della potenza complessa assorbita dal primo carico, non avrei dovuto tenere conto di questa cosa?
------------------------------
Ma tornando a noi, calcoli a parte, non ho la minima idea nè se il procedimento sin ora è giusto nè come continuare.
Nella mia ignoranza, farei
$\hat{P_2} = \bar{V}\bar{I}\text{*} = V_{OO''}I_{eff}e^{j\phi}$
Ma non sono per niente convinto che si applichi in questa maniera, per diversi motivi:
Perchè per la potenza del primo carico ho usato la tensione concatenata (e non la $V_{OO'}$) e qui dovrei usare la $V_{OO''}$?
Perchè dovrei considerare la stessa $I_{eff}$ che ho usato per la potenza assorbita dal primo carico?
Perchè mai dovrei considerare di nuovo $e^{j\phi}$ per il calcolo della potenza assorbita dal secondo carico? Stessa fase? Mhm...
.
Potevo anche evitare di scrivere tante scemenze, tenendole per me... ma credo sia utile per far capire le mie lacune a chi vorrà rispondere.
"DeltaEpsilon":
... Sono curioso, e mi farebbe davvero molto molto piacere se mi spiegassi il motivo. ...
Semplicemente perché, usando una tensione radice di tre volte maggiore e di conseguenza anche una corrente radice di tre volte maggiore, il loro prodotto risulta tre volte maggiore.
"DeltaEpsilon":
... Opto per questa strada anche per "sporcarmi le mani" con la formula di Millman.
... e volendo calcolare la tensione $V_{OO''}$ tra il centro stella (del carico in basso) e il centro stella (dei generatori) ottengo: ...
La tensione determinata con Millman, grazie a quella relazione fasoriale è la $\barV_{O''O} $, non la $\barV_{OO''} $; la relazione che hai scritto è corretta ma non il risultato da te postato.
Visto che $\dot Z_L=-\dotZ_C$, avrai che $\barV_{O''O} =-2\bar E_2$.
"DeltaEpsilon":
... Assumendo $\bar{E_1} = E_{eff} = V_{eff}/\sqrt{3} \approx 220V $ come riferimento di fase, ...
Dato che sei in H-demia, lascierei perdere quelle approssimazioni.
"DeltaEpsilon":
... Quei nodi che ho marcato in blu non dovrebbero essere "evitati" dalle linee del carico inferiore? ...
E infatti lo schema riportato del testo, correttamente, non indica quelle connessioni; le "regole" del disegno circuitale affermano che, quando due conduttori si incrociano e non è indicato il punto di connessione, non esiste collegamento fra i due.
"DeltaEpsilon":
... Non ci dovrebbe essere un "salto" ed evitare tali connessioni "multiple"? ...
No, i "salti" o "cavallotti" (o "ponticelli") che chiamar si vogliano, sono vietati (li usano solo gli incompetenti).
"DeltaEpsilon":
... Inoltre, in prossimità di quei nodi "rossi", la corrente non dovrebbe dividersi? ...
Certo che sì, come in tutti i nodi che si rispettino.
Evito per ragioni di tempo di commentare l'intera ultima parte del tuo messaggio, ma ti consiglio di ripassare la teoria del sistema trifase, e ricordare che la potenza complessa assorbita da ogni bipolo [nota]Se vengono usati fasori a valore efficace.[/nota] è semplicemente data dal podotto fra il fasore della tensione ai suoi morsetti e il coniugato del fasore della corrente entrante nel morsetto scelto positivo per la tensione.
Per le tre impedenze del carico a stella inferiore avrai che la tensione ai morsetti di ognuna sarà $\barV_i=\barE_i-\barV_{O''O}$.
"RenzoDF":
La tensione determinata con Millman, grazie a quella relazione fasoriale è la $\barV_{O''O} $, non la $\barV_{OO''}$
Per curiosità, come cambierebbe quella relazione se volessi considerare $\barV_{OO''}$ ?
"RenzoDF":
le "regole" del disegno circuitale affermano che, quando due conduttori si incrociano e non è indicato il punto di connessione, non esiste collegamento fra i due.
[...]
i "salti" o "cavallotti" (o "ponticelli") che chiamar si vogliano, sono vietati (li usano solo gli incompetenti)
Per indicare che due cavi non sono in realtà collegati, ho visto usare entrambe le rappresentazioni grafiche... e devo dire che i "ponticelli" sembrano più espliciti in questo senso.
Cosa intendi per "sono vietati"?
E come mai arrivi addirittura a dire che "li usano gli incompetenti"?
Mi sembra una conclusione un po' azzardata, alla fine si tratta di un mero stile grafico...
Almeno che non si tratti di qualcosa che, in ambiti più avanzati, può portare a seri problemi di ambiguità, confusione, etc...
In ogni caso, qualora si scegliesse di utilizzare tale convenzione a lezione, sarebbe opportuno chiarirne anche i problemi (che ancora non conosco, e vorrei capire)
[ot]Anche nell'ambito della programmazione software ci sono molti "bad habit" e stili di programmazione sbagliati che vengono però insegnati sin dall'inizio agli studenti... cosa assolutamente evitabilissima.
Però in compenso queste persone non è detto che siano incompetenti. Magari hanno solide competenze di problem solving, di algoritmi...
Ho pensato che l'utilizzo dei "ponticelli" sia qualcosa di analogo. Qualcosa che a prima vista ti illude di trovarti di fronte ad un incompetente, mentre magari...[/ot]
"RenzoDF":
la potenza complessa assorbita da ogni bipolo è semplicemente data dal podotto fra il fasore della tensione ai suoi morsetti e il coniugato del fasore della corrente entrante nel morsetto scelto positivo per la tensione.
Per le tre impedenze del carico a stella inferiore avrai che la tensione ai morsetti di ognuna sarà $\barV_i=\barE_i-\barV_{O''O}$.
Considerando che
$\bar{E}_1 = E_{eff}e^{j\alpha}$
$\bar{E}_2 = E_{eff}e^{j(\alpha-2/3 \pi)}$
$\bar{E}_3 = E_{eff}e^{j(\alpha-4/3 \pi)}$
e che
$\bar{I}_1 = E_{eff}/Ze^{j\alpha-\phi}$
$\bar{I}_2 = E_{eff}/Ze^{j(\alpha-\phi-2/3 \pi)}$
$\bar{I}_3 = E_{eff}/Ze^{j(\alpha-\phi-4/3 \pi)}$
e che
$\bar{V}_1 = \bar{E}_1 - \bar{V}_{O''O} = \bar{E}_1 + 2\bar{E}_2$
$\bar{V}_2 = \bar{E}_2 - \bar{V}_{O''O} = 3\bar{E}_2$
$\bar{V}_3 = \bar{E}_3 - \bar{V}_{O''O} = 2\bar{E}_2 + \bar{E}_3$
Allora
$\hat{P}_2 = \bar{V}_1\bar{I}_1\text{*} + \bar{V}_2\bar{I}_2\text{*} + \bar{V}_2\bar{I}_3\text{*}$
I calcoli che dovrò fare sostituendo le varie relazioni nell'equazione già mi stancano a guardarli, e li eviterei volentieri.
Ma mi interessa sapere se, adesso, il procedimento è giusto.
"DeltaEpsilon":
... Per curiosità, come cambierebbe quella relazione se volessi considerare $\barV_{OO''}$ ?...
Cambia il segno.
"DeltaEpsilon":
... Per indicare che due cavi non sono in realtà collegati, ho visto usare entrambe le rappresentazioni grafiche... e devo dire che i "ponticelli" sembrano più espliciti in questo senso. ... Cosa intendi per "sono vietati"? ... E come mai arrivi addirittura a dire che "li usano gli incompetenti"?
Mi sembra una conclusione un po' azzardata, alla fine si tratta di un mero stile grafico... ...
"Azzardata"? ... "stile grafico" ?
Nel "mondo", amico mio, in ogni settore, esistono delle "regole" (norme) e queste regole esistono anche per il disegno tecnico; se uno non le rispetta è semplicemente un'incompetente (in quel particolare settore).
In questo caso si tratta della norma europea EN60617-3 recepita in italia come CEI 3-15 (Segni grafici per schemi, Parte 3: Conduttori e dispositivi di connessione).
Secondo queste regole, lo schema del testo è corretto [nota]Per quanto riguarda le connessioni.[/nota], perché gli unici tre punti di connessioni sono solo i tre superiori [nota]Da te indicati in rosso.[/nota], nei quali il punto di connessione (volendo) poteva anche non essere rappresentato.
"DeltaEpsilon":
... I calcoli che dovrò fare sostituendo le varie relazioni nell'equazione già mi stancano a guardarli, e li eviterei volentieri.
Ma mi interessa sapere se, adesso, il procedimento è giusto.
Sì, il procedimento è quello (volendo usare Millman) ma, come ti dicevo, vista la semplice natura reattiva dei tre bipoli e l'uguaglianza del loro modulo, quei calcoli possono essere evitati andando a trasformare la stella in triangolo.
"RenzoDF":
Nel "mondo", amico mio, in ogni settore, esistono delle "regole" (norme) e queste regole esistono anche per il disegno tecnico;
Lo so bene, ma...
"RenzoDF":
se uno non le rispetta è semplicemente un'incompetente (in quel particolare settore)
allora intendevi incompetente nel disegno tecnico, non in elettrotecnica... no?
Se intendevi in elettrotecnica, è per quello che dicevo "conclusione azzardata"
"RenzoDF":
Sì, il procedimento è quello (volendo usare Millman) ma, come ti dicevo, vista la semplice natura reattiva dei tre bipoli e l'uguaglianza del loro modulo, quei calcoli possono essere evitati andando a trasformare la stella in triangolo.
Grazie. Per me l'esercizio è concluso, ma per curiosità vorrei anche scoprire quest'altra strada.
Qualche post fa hai detto
"RenzoDF":
Per una determinazione più rapida, potevi evitare la trasformazione triangolo stella e determinare la sua potenza complessa triplicando il prodotto fra tensione di fase e corrente di fase
$ \hat P_1=3 \bar V \bar I_f^{\text{*}}= (3 V^2) /(Z_1^{\text{*})$
Per il carico inferiore a stella, [...] andare a trasformare la stella in triangolo, per poi usare la somma algebrica di due relazioni analoghe alla precedente per determinarne la sua potenza complessa.
Considerando entrambi i carichi organizzati a triangolo, per il carico superiore suggerisci quella formula mentre per il carico inferiore invece dici che la potenza complessa è data da una somma di due relazioni.
Ma chi sono queste? E perchè deve essere una somma di due termini se per il carico superiore non lo è stato?
"DeltaEpsilon":
... allora intendevi incompetente nel disegno tecnico, non in elettrotecnica... no? ...
No, visto che gli schemi elettrici sono parte integrante dell' Elettrotecnica, non conoscerne le regole fa si che si sia incompetenti anche nella disciplina.
"DeltaEpsilon":
... Considerando entrambi i carichi organizzati a triangolo, per il carico superiore suggerisci quella formula mentre per il carico inferiore invece dici che la potenza complessa è data da una somma di due relazioni.
Ma chi sono queste? E perchè deve essere una somma di due termini se per il carico superiore non lo è stato?
Mentre per il carico superiore le impedenze di fase sono uguali e quindi basta triplicare la potenza complessa di una fase, per il triangolo di impedenze ottenuto dalla trasformazione della stella inferiore, solo due
($\dot Z_a=\dotZ_{12}=\dot Z_{23}$) delle tre impedenze saranno uguali mentre la terza $\dotZ_b=\dot Z_{13}$ sarà diversa, ne segue che la potenza complessa potrà essere espressa come
$\hat P=2\hat P_a+\hat P_b=2 V^2/(\dotZ_a^ \text{*})+V^2/(\dotZ_b^{\text{*}})$
"RenzoDF":
visto che gli schemi elettrici sono parte integrante dell' Elettrotecnica, non conoscerne le regole fa si che si sia incompetenti anche nella disciplina.
Allora il mio libro, che usa entrambe le rappresentazioni, è stato scritto da competenti e incompetenti allo stesso tempo, un po' come il gatto di Schrödinger
[ot]Scherzi a parte, capisco ciò che dici e anche a me molte volte vien da dire "incompetente" a chi non rispetta gli Standard.
Ad esempio, questo banalissimo codice "C++" contiene due inesattezze
#include <iostream.h>
void main()
{
}
Chi ne mastica, sa bene che nè
Eppure, non mi andrebbe di chiamare incompetente in Informatica o in Programmazione una persona solo per aver scritto queste inesattezze. E' un po' come demolire decenni di studio e carriera.
Al massimo potrei dire che è incompetente in C++, ma nulla vieta che possa conoscere molto bene altri linguaggi, oltre ad avere grandi capacità di problem solving, debugging, ottimizzazione, etc...[/ot]
"RenzoDF":
Mentre per il carico superiore le impedenze di fase sono uguali e quindi basta triplicare la potenza complessa di una fase, per il triangolo di impedenze ottenuto dalla trasformazione della stella inferiore, solo due
($\dot Z_a=\dotZ_{12}=\dot Z_{23}$) delle tre impedenze saranno uguali mentre la terza $\dotZ_b=\dot Z_{13}$ sarà diversa, ne segue che la potenza complessa sarà
$\hat P=2\hat P_a+\hat P_b=2 V^2/(\dotZ_a^ \text{*})+V^2/(\dotZ_b^{\text{*}})$
Quella $V$ è la $V_{eff}$ fornita dal problema?
"DeltaEpsilon":
... Quella $V$ è la $V_{eff}$ fornita dal problema?
Certo che sì, nel "mondo reale", quando si parla di tensione si intende sempre quella efficace e quindi quel pedice è sempre sottinteso.
Grazie mille 
Di nulla!
Puoi per favore postare la tua soluzione (completa) del problema per i futuri lettori del Forum?
Grazie.
Puoi per favore postare la tua soluzione (completa) del problema per i futuri lettori del Forum?
Grazie.
"RenzoDF":
Puoi per favore postare la tua soluzione (completa) del problema per i futuri lettori del Forum?
Eccetto la trasformazione stella-triangolo del carico inferiore, i calcoli non li ho proseguiti.
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