[Elettrotecnica] Trasformatore ed evoluzione libera: dov'è l'errore?

[DeltaEpsilon]

Prima di tutto, ottengo il circuito equivalente rendendo il trasformatore reale in ideale (dato che siamo nell'ipotesi di accoppiamento perfetto) e poi dal trasformatore ideale porto il condensatore al primario ricordando che $C' = C/n^2$



Per $t<0$ mi basta utilizzare il metodo dei fasori per trovare che

$v_C'(t) = 3.618cos(314t+1.233)$ e $i_L(t) = 0.959cos(314t-0.369)$

Lo svolgimento nel mio libro mi conferma che questi due risultati sono corretti.

Per $t\geq 0$ studio l'evoluzione libera del circuito $RLC'$ parallelo (notare che sto usando $C'$ e non $C$) con generatore spento.

Trovo, mediante la KCL e le due KVL, l'equazione differenziale

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 v_{c'} }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{RC'} \frac{\mathrm{d} v_{c'} }{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'} v_{c'} = 0 \)

Trovo le due frequenze naturali reali e distinte

$\lambda_1 = -2816.496$ e $\lambda_2 = -1183.504$

Dunque

$v_{c'}(t) = c_1 e^{-2816.496t) + c_2 e^{-1183.504t}$

$v'_{c'}(t) = -2816.496c_1 e^{-2816.496t) -1183.504 c_2 e^{-1183.504t}$

Lo svolgimento nel mio libro mi conferma che questo risultato è corretto.

Ma ora invece cominciano i problemi...

Le condizioni iniziali sono:

$v_{c'}(0) = 1.3$

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d} v_{c'} }{\mathrm{d} t} | _{t=0} = -\frac{v_{c'}(0)} {RC'} -\frac{i_{L}(0)} {C'} = -41000 \)

In realtà, i miei valori delle due condizioni iniziali sono diversi: ho cercato di usare quante più cifre significative, ma controllando il libro vedo che lui ha approssimato parecchio (oppure sbagliato).

Ho così deciso di seguire i suoi stessi valori, nella speranza di trovarmi con il suo stesso risultato.

Giusto per completezza, ecco i valori che ho ricavato io:

$v_{c'}(0) = 1.199$

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d} v_{c'} }{\mathrm{d} t} | _{t=0} = -\frac{v_{c'}(0)} {RC'} -\frac{i_{L}(0)} {C'} = -41000 \)

Una volta applicate trovo che

$c_1 = -2215.764$ e $c_2 = 2217.064$ che chiaramente sono totalmente diverse dalla soluzione dell'esercizio.


.


Al termine dell'esercizio, devo portare nuovamente il condensatore $C'$ al secondario del trasformatore ideale.

Per $t<0$ sapendo che, per il doppio bipolo trasformatore ideale, $v_1 = nv_2$ allora $v_2 = \frac{v_1}{n}$ quindi

$v_{c} = \frac{v_{c'}}{2} = \frac{3.618cos(314t+1.233)}{2} = 1.809cos(314t+1.233)$

che coincide con il risultato.

Per $t\geq 0$ ovviamente dividere per $n$ non porta al risultato.

Dov'è il problema?

Grazie in anticipo!

[RenzoDF]

Premesso che sia la relazione differenziale sia quella per la $v_C^{\prime}(0)$ da te scritte sono evidentemente già dimensionalmente errate, le due radici dell'equazione caratteristica sono corrette e quindi, precisato che controllando i valori iniziali trovo

$v_C(0)\approx 1.31 \ \text{V}$

$v_C^\prime(0)\approx -41059 \ \text{V/s}$

ne segue che andando a ricavare le due costanti dei termini esponenziali ottengo

$c_1\approx -22.88 \ \text{V}$
$c_2\approx +24.19 \ \text{V}$

di conseguenza il tuo errore, se hai usato i valori iniziali del testo (e non i tuoi, errati a causa dell'uso dell'equazione errata riportata), sta nella loro determinazione; prova a ricontrollare i calcoli.

Stavolta i risultati del testo sono corretti [nota]Volendo usare almeno tre cifre significative, diciamo che il valore massimo per t<0 è 1.81 volt.[/nota].

[DeltaEpsilon]

"RenzoDF":Premesso che sia la relazione differenziale

L'ho solo trascritta male dalla lavagna, ho corretto il post.

"RenzoDF":sia quella per la $v_C^{\prime}(0)$ da te scritte sono evidentemente già dimensionalmente errate

Intendi per caso la relazione \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} v_{c'} }{\mathrm{d} t} | _{t=0} = -\frac{v_{c'}(0)} {R} -\frac{i_{L}(0)} {C'} \) ?

Anche lei ho sbagliato a trascriverla, ho aggiornato il post.



Mi scuso per la sbadataggine...

"RenzoDF":
$v_C(0)\approx 1.31 \ \text{V}$

Questo perchè hai considerato $v_{c'}(t) = 3.6cos(314t+1.2)$ (del libro)

invece del mio $v_{c'}(t) = 3.618cos(314t+1.233)$

In pratica, il libro usa 2 cifre significative e io 4

Se ne usassi 3, come tu consigli, otterrei

$v_{c'}(0) = 3.61cos(1.23) = 1.20$

Allora, si può sapere?




Grazie dell'aiuto

[RenzoDF]

"DeltaEpsilon":... Questo perchè hai considerato $v_{c'}(t) = 3.6cos(314t+1.2)$ (del libro) ...

No, perché me la sono determinata:



quindi

$v_C(t)\approx 3.619572 \cos(314 t+ 1.200430)$

$v_C(0)\approx 1.310130 \ \text{V}$

che, usando 3 cifre significative

$v_C(t)\approx 3.62 \cos(314 t+ 1.20)$

porta a

$v_C(0)\approx 1.31 \ \text{V}$

[DeltaEpsilon]

"RenzoDF":
$v_C(0)\approx 1.31 \ \text{V}$

$v_C^\prime(0)\approx 41059 \ \text{V/s}$

ne segue che andando a ricavare le due costanti dei termini esponenziali ottengo

$c_1\approx -22.88 \ \text{V}$
$c_2\approx -24.19 \ \text{V}$

Non capisco perchè ti ritrovi con $v_C^\prime(0)\approx 41059$ positivo, dato che le due frazioni in

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d} v_{c'} }{\mathrm{d} t} | _{t=0} = -\frac{v_{c'}(0)} {RC'} -\frac{i_{L}(0)} {C'} \) forniscono numeri positivi: $-5240-35760$

......................

Comunque sia, io invece trovo sotto le stesse condizioni

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
c_1 + c_2 = 1.31 \\
-2816.496c_1 -1183.504c_2 = 41059 \\
\end{matrix}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
c_1 = 1.31 - c_2 \\
-3689.609 + 2816.496c_2 -1183.504c_2 = 41059 \\
\end{matrix}\right. \)

cioè

$c_1\approx -26.09 \ \text{V}$
$c_2\approx 27.40 \ \text{V}$


......................


Riguardo $v_C'(t) = 3.618cos(314t+1.233)$ e $i_L(t) = 0.959cos(314t-0.369)$, il libro porta due cifre significative e io quattro... sembra di star parlando del nulla... credo che mi fermerò a due/tre cifre significative e fine della storia...

[RenzoDF]

"DeltaEpsilon":... Non capisco perchè ti ritrovi con $v_C^\prime(0)\approx 41059$ positivo, ...

Errore di battitura, come potevi vedere dal valore vp in fondo alla successione di calcoli nel mio precedente post; ora ho corretto.

[DeltaEpsilon]

Va bene, allora mi trovo con

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
c_1 = 1.31 - c_2 \\
-3689.609 + 2816.496c_2 -1183.504c_2 = -41000 \\
\end{matrix}\right. \)

cioè

$c_1\approx 24.15 $
$c_2\approx -22.84 $

che corrisponde con la soluzione [size=85](una volta portato $C'$ nuovamente al secondario)[/size]





Mi dispiace averti annoiato con questi maledetti zero virgola, speravo anch'io in qualcosa di più interessante...

Grazie per l'aiuto