Elettrotecnica: Trasformata di Laplace - lim dx/sx di 0.

[Andrea9905]

Salve a tutti...
Sono alle prese con la trasformata di Laplace - materia elettrotecnica^^-... e non riesco a capire bene come mai sul mio libro di riferimento viene riportata questa proprietà:

Proprietà della derivata

$L[(df(t))/(dt)]=sF(s)-f(0^-)$

Non viene spiegato il perché debba essere 0^-

Su una dispensa scritta (ahimé^^) da un matematico quello 0^- è uno 0^+

Vi mando il link: (pag 13 del documento che seguendo l'impaginazione messa dal prof è pag 116)
http://calvino.polito.it/~tilli/dida/laplace.pdf

Secondo il mio ragionamento mi allineerei al link che vi ho mandato, perché la f(t) è una funzione continua a tratti sul semiasse positivo del tempo...

Sapete darmi qualche dritta?!

Grazie Mille,
Andrea

[Benny24]

Ti riporto quanto scritto in un appendice di Fondamenti di controlli automatici di Bolzern, Scattolini e Schiavoni.

Si supponga che la funzione $f(t)$ sia derivabile, nel senso delle funzioni generalizzate, per tutti i $t>=0$, o almeno dotata di derivate sinistra (per t>0) e destra. Risulta allora $L[f'(t)]=sF(s)-f(0)$. Se la $f$ è discontinua di prima specie in $t=0$, allora $f'$ contiene un impulso applicato al tempo 0 e $f(0)$ si deve interpretare come $f(0^-)$. Si può dimostrare che, quando $F(s)$ è razionale con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, la derivata $f'$ esiste ed è una funzione trasformabile definita in senso classico sommata eventualmente a un impulso di Dirac.

Come esempio ti pongo: $h(t)=1$ per $t>=0$, $0$ altrove.
Dunque $L[(dh(t))/dt]=L[delta(t)]=sH(s)-h(0)=1-h(0)$. Ora $h(0^+)=1$, mentre $h(0^-)=0$, quindi deve essere per forza la seconda possibilità.

[Andrea9905]

Ottimo... Grazie mille Benny... Mi ero ingarbugliato in una sciocchezza... Grazie per l'esempio chiarificatore... ^^

[Benny24]

Prego!