[Elettrotecnica] Studio di un circuito ed equazioni di Kirchhoff
Ciao ragazzi, sono alle prese con il seguente circuito.
Noti i valori dei componenti, e delle tensioni relative ai due generatori, mi viene chiesto di studiare il comportamento della corrente nel condensatore.
Premetto che per t<0 non ho problemi, sono riuscito a ricavarmi in maniera semplice e standard sia la corrente nell'induttore che la Vc, che poi ho valutato per t=0 (in modo da imporre le condizioni iniziali che mi aiuteranno a svolgere l'equazione differenziale successivamente).
Il problema viene dopo, cioè per t>0.
Trovo difficoltà a scrivere l'equazione differenziale in termini di $ i_c $ .
Allora mi son detto che forse ho sbagliato proprio impostazione, commettendo qualche errore già nelle prime considerazioni e nello scrivere le equazioni di Kirchhoff, che ora vi scrivo:
$ E_2=R_1i_1+i_2R_3 $
$ i_2R_3=i_cR_2+v_c+v_L $
$ i_1=i_2+i_c $ con $ i_c=i_L $
E infine pongo
$ v_L=L * (di_L)/(dt)=L * (di_c)/(dt) $
$ i_c=i_L=C*(dv)/dt $
Qualcuno sa dirmi se l'impostazione è giusta, ed eventualmente, dove potrei sbagliare?
Quando provo a fare tutte le sostituzioni e derivazioni che di solito si fanno per ricavarsi l'equazione differenziale, mi vengono cose strane e lontane dalla soluzione.
Vi ringrazio in anticipo
Noti i valori dei componenti, e delle tensioni relative ai due generatori, mi viene chiesto di studiare il comportamento della corrente nel condensatore.
Premetto che per t<0 non ho problemi, sono riuscito a ricavarmi in maniera semplice e standard sia la corrente nell'induttore che la Vc, che poi ho valutato per t=0 (in modo da imporre le condizioni iniziali che mi aiuteranno a svolgere l'equazione differenziale successivamente).
Il problema viene dopo, cioè per t>0.
Trovo difficoltà a scrivere l'equazione differenziale in termini di $ i_c $ .
Allora mi son detto che forse ho sbagliato proprio impostazione, commettendo qualche errore già nelle prime considerazioni e nello scrivere le equazioni di Kirchhoff, che ora vi scrivo:
$ E_2=R_1i_1+i_2R_3 $
$ i_2R_3=i_cR_2+v_c+v_L $
$ i_1=i_2+i_c $ con $ i_c=i_L $
E infine pongo
$ v_L=L * (di_L)/(dt)=L * (di_c)/(dt) $
$ i_c=i_L=C*(dv)/dt $
Qualcuno sa dirmi se l'impostazione è giusta, ed eventualmente, dove potrei sbagliare?
Quando provo a fare tutte le sostituzioni e derivazioni che di solito si fanno per ricavarsi l'equazione differenziale, mi vengono cose strane e lontane dalla soluzione.
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Sì, le equazioni che hai scritto sono sbagliate. Ma prima di correggerle, posta un disegno con evidenziate le correnti che usi nelle formule. 
"Ianero":
Sì, le equazioni che hai scritto sono sbagliate. Ma prima di correggerle, ...
Direi che le equazioni scritte da Beerk siano tutte corrette, in quanto è evidente che ha assunto orientata verso il basso la corrente i2 in R3, così come la iC verso destra e le associate tensioni vC e vL secondo la convenzione degli utilizzatori, sia sul bipolo condensatore sia sull'induttore.
Ad ogni modo, semplificando con Thevenin l'anello sinistro, avrebbe potuto scrivere direttamente una unica KVL, alla maglia equivalente, nella sola $i_C(t)$, dalla quale (via derivazione) l'equazione differenziale del secondo ordine nella stessa corrente.
Sorry, hai ragione, ho letto un meno al posto di un più nell'ultima sulle correnti, da cui avevo consigliato prima di disegnare i versi.
Vi ringrazio per il primo feedback.
Il problema è che non riesco poi a trovare l'equazione differenziale giusta!
Cioè, facendo sostituzioni e derivazioni, mi trovo cose strane, e l'analisi dimensionale mi da la conferma del fatto che sbaglio qualcosa
Il problema è che non riesco poi a trovare l'equazione differenziale giusta!
Cioè, facendo sostituzioni e derivazioni, mi trovo cose strane, e l'analisi dimensionale mi da la conferma del fatto che sbaglio qualcosa
Usando le equazioni che hai scritto basta unire la prima e la terza ottenendo:
\(\displaystyle i_2(t)=\frac{E_2(t)-R_1i_C(t)}{R_1+R_3} \)
che sostituita nella seconda:
\(\displaystyle R_3i_2(t)=R_2i_C(t)+\frac{1}{C}\int i_C(t)\text{d}t+L\frac{\mathrm{d} i_C(t)}{\mathrm{d} t} \)
fornisce:
\(\displaystyle R_3\frac{E_2(t)-R_1i_C(t)}{R_1+R_3}=R_2i_C(t)+\frac{1}{C}\int i_C(t)\text{d}t+L\frac{\mathrm{d} i_C(t)}{\mathrm{d} t} \)
\(\displaystyle i_2(t)=\frac{E_2(t)-R_1i_C(t)}{R_1+R_3} \)
che sostituita nella seconda:
\(\displaystyle R_3i_2(t)=R_2i_C(t)+\frac{1}{C}\int i_C(t)\text{d}t+L\frac{\mathrm{d} i_C(t)}{\mathrm{d} t} \)
fornisce:
\(\displaystyle R_3\frac{E_2(t)-R_1i_C(t)}{R_1+R_3}=R_2i_C(t)+\frac{1}{C}\int i_C(t)\text{d}t+L\frac{\mathrm{d} i_C(t)}{\mathrm{d} t} \)
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