[Elettrotecnica] Risoluzione di un circuito

[marco.ceccarelli]

Buonasera, sto provando a svolgere quest'esercizio. Mi si chiede di risolvere il circuito (impostare il sistema di equazioni) e di calcolare le potenze erogate ed assorbite. Nell'immagine, ho allegato il circuito dato dal problema (a sinistra) ed il circuito "come lo vedo io" (a destra).



$X_L=omegaL, X_C=1/(omegaC), Z_1=R_1, Z_2=R_2+iX_(C2), Z_3=iX_(C3), Z_4=R_4+iX_(L4), Z_5=iX_(L5)$

Con il metodo delle maglie, ottengo le 4 equazioni:

$Z_1I_(M1)+Z_5(I_(M1)-I_(M3))+Z_4(I_(M1)-I_(M2))+Z_M(I_(M1)-I_(M2))+Z_M(I_(M1)-I_(M3))+E_X=0$

$Z_3I_(M2)+Z_4(I_(M2)-I_(M1))+Z_M(I_(M3)-I_(M1))-E_(S6)=0$

$Z_5(I_(M3)-I_(M1))+Z_2I_(M3)+Z_M(I_(M2)-I_(M1))+E_(S6)=0$

$I_(M1)=-J_(S1)$

Calcolo ora le potenze erogate...

$P_(G1)=E_XJ_(S1), P_(G6)=E_(S6)|I_(M2)-I_(M3)|$

... e quelle assorbite...

$P_1=Z_1I_(M1)^2, P_2=Z_2I_(M3)^2, P_3=Z_3I_(M3)^2, P_4=(Z_4(I_(M1)-I_(M2))-Z_M(I_(M3)-I_(M1)))(I_(M1)-I_(M2)), P_5=(Z_5(I_(M3)-I_(M1))-Z_M(I_(M1)-I_(M2)))(I_(M3)-I_(M1))$

Non ho chiare alcune cose. Riguardo le equazioni di maglia, non ho capito bene in base a cosa è $+Z_M$ o $-Z_M$; stesso vale per le potenze $P_4, P_5$. Infine se potete dare un'occhiata anche alle potenze erogate, se le ho scritte bene. Grazie.

[RenzoDF]

Per quanto riguarda le equazioni mi sembrano corrette (anche se potevano essere ridotte a due) ma per quanto riguarda le potenze direi che non ci siamo proprio, in regime sinusoidale devi considerare per ogni bipolo la potenza complessa, ovvero (usando fasori a valore efficace)

$S=P+jQ=VI^{\text(*)}$

non puoi andare semplicemente a moltiplicare i fasori di tensione e corrente.
Per il mutuo induttore in particolare prova a vedere cosa ottieni andando a sommare le due potenze complesse entranti sulle due porte del doppio bipolo, ricavandoti detta somma a partire dalle due equazioni costitutive.

Per quanto riguarda i segni dei termini relativi all' impedenza mutua, dovrai solo ricordare che saranno positivi quando consideri nei due rami accoppiati i versi delle correnti entrambi entranti (o uscenti) dai riferimenti (puntini), negativi nel caso opposto; nel tuo caso particolare, per esempio, è corretto considerare positivo il contributo della ZM nella prima equazione in quanto IM1-IM3 è "concorde" rispetto a IM1-IM2. Potresti rendertene meglio conto considerando un circuito equivalente (più corretto) contenente i due generatori di tensione controllati che esplicitano la mutua dipendenza.

[marco.ceccarelli]

Il discorso su $Z_M$ l'ho capito, grazie. Tra l'altro, mi accorgo ora di una svista: mi sembra si scriva $Z_2=R_2-iX_(C2), Z_3=-iX_(C3)$, anziché $Z_2=R_2+iX_(C2), Z_3=iX_(C3)$. Comunque, se ho capito, allora indicando con $barz$ il coniugato di $z$ (mi sembra s'indichi così) avrò:

$P_(G1)=E_Xbar(J_(S1)), P_(G6)=E_(S6)bar((I_(M2)-I_(M3)))$

$P_1=Z_1I_(M1)^2, P_2=Z_2I_(M3)^2, P_3=Z_3I_(M3)^2, P_4=(Z_4(I_(M1)-I_(M2))-Z_M(I_(M3)-I_(M1)))bar((I_(M1)-I_(M2))), P_5=(Z_5(I_(M3)-I_(M1))-Z_M(I_(M1)-I_(M2)))bar((I_(M3)-I_(M1)))$

[marco.ceccarelli]

Ho detto giusto, adesso? Grazie!

[RenzoDF]

"Bubbino1993":... mi accorgo ora di una svista: mi sembra si scriva $Z_2=R_2-iX_(C2), Z_3=-iX_(C3)$, anziché $Z_2=R_2+iX_(C2), Z_3=iX_(C3)$.

Una volta (ovvero ai miei tempi) si usava considerare anche le reattanze capacitive positive ma oggigiorno, volendo seguire le indicazioni degli organi di normalizzazione internazionali del settore, sono considerate negative e quindi era più che corretto il segno positivo.

"Bubbino1993":...Comunque, se ho capito, allora indicando con $barz$ il coniugato di $z$ (mi sembra s'indichi così) avrò:

Anche per rappresentare il coniugato ci sono diverse correnti di pensiero, in matematica si usa la barra superiore, ma sempre seguendo le indicazioni dell' IEC in ambiente elettrotecnico si usa l'asterisco, così come si usa la lettera S per indicare la potenza complessa, la P per la potenza attiva e la Q per la potenza reattiva.

"Bubbino1993":... E' OK, ora?

Non è corretto per le potenze assorbite da Z1 Z2 e Z3 in quanto avresti dovuto o indicare il modulo dei fasori (al quadrato) o fare il prodotto fra fasore e coniugato; per le potenze sui rami del mutuo induttore è corretto (anche se potevi distinguere il calcolo per i diversi bipoli componenti), e come ti dicevo, visto che le convenzioni di verso per la corrente di ramo era su entrambi concorde sui due riferimenti (uscente su entrambi), non serviva differenziare il termini dentro parentesi (ovvero per ZM poteva essere considerato il segno positivo e usata la stessa corrente usata per Z4 Z5).

NB ripeto che dette relazioni sono valide se e solo se usi fasori a valore efficace (come si fa nel mondo reale), usando fasori a valore massimo (come spesso si usa nel mondo H-demico) dovresti scalarle tutte di un fattore 1/2.

[marco.ceccarelli]

Perfetto, grazie!