Elettrotecnica Mutui Accoppiamenti
Ciao, ho un circuito che vi mando in allegato. Ora volevo risolverlo con uno dei due metodi di Maxwell, non capisco però come devo trattare le mutue induttanze, cioè come si fa a trasformarle in nuove impedenze e soprattutto dove devo inserirle nel circuito, c’è una regola generale?
Risposte
Semplice, la mutua induttanza va trattata cosi':
$$\displaystyle {\begin{cases}\Phi _{1}=L_{1}i_{1}+Mi_{2}\\\Phi _{2}=Mi_{1}+L_{2}i_{2}\\\end{cases}}$$
facendo attenzione al pallino che indica il verso del flusso mutuo.
$$\displaystyle {\begin{cases}\Phi _{1}=L_{1}i_{1}+Mi_{2}\\\Phi _{2}=Mi_{1}+L_{2}i_{2}\\\end{cases}}$$
facendo attenzione al pallino che indica il verso del flusso mutuo.
Una regola generale non c'é , comunque in presenza di mutui induttori è spesso "conveniente" usare il metodo delle correnti di maglia; in questo caso particolare, semplificato il circuito rimuovendo i rami contenenti i bipoli con pedice 6 (le correnti dei quali sono facilmente determinabili vista la presenza del GIT Es2) e ridotto il parallelo R L C sinistro a unica impedenza, avrai la presenza di tre anelli e quindi di tre correnti di anello incognite.
Detta x quella nell'anello inferiore, che per es. scegliamo con verso orario, y quella nell'anello superiore, che per es. scegliamo antiorario e z quella nell'anello sup. destro (per es. oraria), ricordando le relazioni costitutive del mutuo induttore,
$V_i=jX_L I_i\pm jX_M I_j$
ti sarà facile scrivere le tre equazioni in x,y e z. In L3 infatti, scorrerà la corrente x+y, in L4 scorrerà x, entrambe entranti nel contrassegni "punti". Potrai quindi scrivere: due KVL (una all'anello inferiore, e una alla maglia esterna) e grazie al GIC una KCL, ovvero y+z=Is6.
Detta x quella nell'anello inferiore, che per es. scegliamo con verso orario, y quella nell'anello superiore, che per es. scegliamo antiorario e z quella nell'anello sup. destro (per es. oraria), ricordando le relazioni costitutive del mutuo induttore,
$V_i=jX_L I_i\pm jX_M I_j$
ti sarà facile scrivere le tre equazioni in x,y e z. In L3 infatti, scorrerà la corrente x+y, in L4 scorrerà x, entrambe entranti nel contrassegni "punti". Potrai quindi scrivere: due KVL (una all'anello inferiore, e una alla maglia esterna) e grazie al GIC una KCL, ovvero y+z=Is6.
Scusate ma quindi in questo caso avendo M positivo perché le equazioni vengono scritte in questo modo, non dovrebbero sommarsi i contributi delle due correnti su M? Quindi nella prima il termine con M e I2 non dovrebbe essere negativo?
No, va bene cosi' come lo hai scritto.
Nella equazione $m_2$ vai a esplicitare $I_2 = (-j \omega M) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 )$
e la sostituisci nella $m_1$
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1) + j\omega M I_2 $
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1 + j\omega M (-j \omega M) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 ) )$
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1 + ( \omega^2 M^2) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 ) )$
ricordando che $j^2 = -1$.
Quindi l'impedenza del secondario si trasferisce sul primario senza diventare un generatore.
Non so se era questo il tuo dubbio.
Nella equazione $m_2$ vai a esplicitare $I_2 = (-j \omega M) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 )$
e la sostituisci nella $m_1$
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1) + j\omega M I_2 $
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1 + j\omega M (-j \omega M) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 ) )$
$E = I_1 (R_1 + j X_1 + j\omega L_1 + ( \omega^2 M^2) / (R_2 + j \omega L_2 + jX_2 ) )$
ricordando che $j^2 = -1$.
Quindi l'impedenza del secondario si trasferisce sul primario senza diventare un generatore.
Non so se era questo il tuo dubbio.
Il mio dubbio era che avendo riscritto il circuito come nella foto che allego ora le equazioni mi venivano uguali a quelle che ho mandato prima ma il contributo con I2 veniva negativo perché su M avevo scritto +Mjw(I2+I1) visto che da questo circuito su M le correnti si sommano.
Le correnti $i_1$ e $i_2$ non si sommano.
La mutua induttanza e' fatta come e' fatta.
Quello che puoi fare e' trasferire l'impedenza del secondario sul primario con la formula che si vede nel mio post precedente.
$((\omegaM)^2)/(Z_2)$
La mutua induttanza e' fatta come e' fatta.
Quello che puoi fare e' trasferire l'impedenza del secondario sul primario con la formula che si vede nel mio post precedente.
$((\omegaM)^2)/(Z_2)$
Il circuito equivalente di due induttori accoppiati con un punto in comune e con le correnti che entrano entrambe dai pallini (M>0), ovvero con pallini concordi, è dato dal circuito a T con L1-M, L2-M ed M nel ramo in comune. Quindi il circuito equivalente del circuito relativo al disegno del secondo post non è quello riportato nel terzo.
Ciao, scusate ma ancora non riesco a capire gli accoppiamenti mutui, infatti la cosa che non ho capito è usando il metodo delle maglie per quale corrente devo moltiplicare l’impedenza di M quindi Mjw? e soprattutto per i segni devo considerare M positivo se entrambe le correnti di maglia entrano nel pallino quindi ci andrà un meno davanti e viceversa se escono dal pallino sono negative? Più che altro vorrei una risposta alla prima domanda perché non mi è chiaro se per esempio nella maglia 1 ho le due induttanze per cosa devo moltiplicare l’impedenza? e poi nella maglia 4 che corrente devo considerare grazie. Ogni volta che ho una mutua induttanza quindi per quale corrente devo moltiplicare? Immagino ci sia una regola generale.
In quel circuito se consideriamo le correnti $I_1$, $I_4$ e il verso dei pallini avremo:
maglia 1
$Z_1*I_1-Z_M*(I_1+I_4)+Z_4*(I_1+I_4)-Z_M*I_1+Z_3*(I_1-I_2) = E_(S1)$
maglia 2 (non sarebbe necessaria perchè la corrente di maglia è già disponibile ma è utile per capire il procedimento)
$Z_6*I_4+Z_4*(I_4+I_1)-Z_M*I_1 = V_(S6)$
La soluzione era molto più semplice se si considerava che gli induttori accoppiati hanno un punto in comune con pallini concordi sullo stesso, per cui si può sostituire il circuito equivalente a T. Questa sostituzione porta ad avere $Z_1-> Z_1-Z_M$, $Z_4-> Z_4-Z_M$, e $Z_6-> Z_6+Z_M$, per cui si sarebbe potuto scrivere senza dover ragionare troppo su versi delle correnti e dei pallini:
$(Z_1-Z_M+Z_4-Z_M+Z_3)*I_1 + (Z_4-Z_M)*I_4 - Z_3*I_2 = E_(S1)$
$(Z_6+Z_M+Z_4-Z_M)*I_4 +(Z_4-Z_M)*I_1 = V_(S6)$
identiche alle precedenti.
maglia 1
$Z_1*I_1-Z_M*(I_1+I_4)+Z_4*(I_1+I_4)-Z_M*I_1+Z_3*(I_1-I_2) = E_(S1)$
maglia 2 (non sarebbe necessaria perchè la corrente di maglia è già disponibile ma è utile per capire il procedimento)
$Z_6*I_4+Z_4*(I_4+I_1)-Z_M*I_1 = V_(S6)$
La soluzione era molto più semplice se si considerava che gli induttori accoppiati hanno un punto in comune con pallini concordi sullo stesso, per cui si può sostituire il circuito equivalente a T. Questa sostituzione porta ad avere $Z_1-> Z_1-Z_M$, $Z_4-> Z_4-Z_M$, e $Z_6-> Z_6+Z_M$, per cui si sarebbe potuto scrivere senza dover ragionare troppo su versi delle correnti e dei pallini:
$(Z_1-Z_M+Z_4-Z_M+Z_3)*I_1 + (Z_4-Z_M)*I_4 - Z_3*I_2 = E_(S1)$
$(Z_6+Z_M+Z_4-Z_M)*I_4 +(Z_4-Z_M)*I_1 = V_(S6)$
identiche alle precedenti.
Giusto per completare quanto detto con la mia prima risposta, relativa al primo circuito postato, cercavo di suggerirti che, ricordando le equazioni costitutive del mutuo induttore, usando per es. le convenzioni di figura,
scelte come già indicato le tre correnti di anello:x,y,z , avrai che $\quad I_3=x+y \quad$ e $\quad I_4=x$
e quindi
$V_3=jX_3\cdot (x+y)+jX_M \cdot x$
$V_4=jX_4 \cdot x+jX_M\cdot (x+y)$
di conseguenza, avresti potuto risolvere, usando per es.: una KVL alla maglia composta dai due anelli superiori
$E_{s1}+Z_1\cdot y-Z_2\cdot z+V_3+R_3\cdot (x+y)=0$
una all'anello inferiore
$E_{s2}-V_4-R_4\cdot x-Z_5\cdot x-R_3\cdot(x+y)-V_3=0$
e, grazie al GIC, una KCL
$y+z=I_{s6}$
scelte come già indicato le tre correnti di anello:x,y,z , avrai che $\quad I_3=x+y \quad$ e $\quad I_4=x$
e quindi
$V_3=jX_3\cdot (x+y)+jX_M \cdot x$
$V_4=jX_4 \cdot x+jX_M\cdot (x+y)$
di conseguenza, avresti potuto risolvere, usando per es.: una KVL alla maglia composta dai due anelli superiori
$E_{s1}+Z_1\cdot y-Z_2\cdot z+V_3+R_3\cdot (x+y)=0$
una all'anello inferiore
$E_{s2}-V_4-R_4\cdot x-Z_5\cdot x-R_3\cdot(x+y)-V_3=0$
e, grazie al GIC, una KCL
$y+z=I_{s6}$
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