[Elettrotecnica] Metodo più rapido per la risoluzione di un circuito
Salve a tutti, sono un nuovo utente del forum e frequento il secondo anno di Ingegneria Informatica.
Attualmente mi sto preparando per l'esame di elettrotecnica e come da titolo vorrei sapere il metodo più rapido per trovare l'equivalente secondo Norton alla porta a-b del seguente circuito.
Questo è il ragionamento che ho seguito: poiché c'è un generatore pilotato, non posso passivare il circuito, pertanto devo calcolare la conduttanza di Norton come rapporto tra corrente di cortocircuito e tensione a vuoto alla porta a-b. Sul calcolo della tensione a vuoto nessun problema.
Per calcolare la corrente di cortocircuito invece non trovo un metodo efficiente. Ho provato col metodo nodale modicato scegliendo il nodo in comune a E e R5 come nodo di riferimento ma ottengo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite (anche se 1 la conosco già) sicuramente risolvibile, ma in sede di esame mi porterebbe via troppo tempo. Lo stesso dicasi procedendo con la scrittura delle LKC e delle LKT indipendenti; si giunge ad un sistema di 8 equazioni i 8 incognite.
Mi chiedevo dunque se esiste un metodo diverso e più rapido. Grazie.
Attualmente mi sto preparando per l'esame di elettrotecnica e come da titolo vorrei sapere il metodo più rapido per trovare l'equivalente secondo Norton alla porta a-b del seguente circuito.
Questo è il ragionamento che ho seguito: poiché c'è un generatore pilotato, non posso passivare il circuito, pertanto devo calcolare la conduttanza di Norton come rapporto tra corrente di cortocircuito e tensione a vuoto alla porta a-b. Sul calcolo della tensione a vuoto nessun problema.
Per calcolare la corrente di cortocircuito invece non trovo un metodo efficiente. Ho provato col metodo nodale modicato scegliendo il nodo in comune a E e R5 come nodo di riferimento ma ottengo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite (anche se 1 la conosco già) sicuramente risolvibile, ma in sede di esame mi porterebbe via troppo tempo. Lo stesso dicasi procedendo con la scrittura delle LKC e delle LKT indipendenti; si giunge ad un sistema di 8 equazioni i 8 incognite.
Mi chiedevo dunque se esiste un metodo diverso e più rapido. Grazie.
Risposte
Puoi per esempio semplificare la rete trasformando i due triangoli resistivi laterali in stelle, per poi ricavare la corrente di cortocircuito [nota]Che se consideri un "taglio" centrale della rete puoi subito dire pari a $(\alpha-1)i_E$ verso destra.[/nota] con una KCL e una KVL.
Alternativamente potresti spegnere il GIT e andare a forzare la rete ai morsetti a e b per mezzo di un generatore ausiliario (di tensione o di corrente) per ricavarti la conduttanza equivalente, o ancora usare la sovrapposizione degli effetti, ma a causa di quei sei resistori la trasformazione triangoli-stelle sarebbe comunque necessaria.
BTW Come hai ricavato la tensione a vuoto?
Alternativamente potresti spegnere il GIT e andare a forzare la rete ai morsetti a e b per mezzo di un generatore ausiliario (di tensione o di corrente) per ricavarti la conduttanza equivalente, o ancora usare la sovrapposizione degli effetti, ma a causa di quei sei resistori la trasformazione triangoli-stelle sarebbe comunque necessaria.
BTW Come hai ricavato la tensione a vuoto?
Grazie per la risposta RenzoDF, non avevo visto la presenza dei due triangoli. Li ho trasformati in stelle e le resistenze equivalenti che ho ottenuto sono:
R_10 = 4/5
R_20 = 2/5
R_30 = 2/5
R_40 = 1/3
R_50 = 5/6
R_60 = 2/3
In definitiva la corrente di cortocircuito è pari a 60A (verso sinistra). E' un valore un po' alto ma non trovo errori nei calcoli.
Per quanto riguarda la tensione a vuoto, non sono sicurissimo del ragionamento seguito.
La tensione tra A e B è pari a
\( V_2 + E - V_5 \)
(considerando le tensioni orientate dall'alto al basso e da sinistra a destra).
Serve quindi calcolare V2 e V5 e di conseguenza I2 e I5. Ho considerato l'insieme di taglio in figura e applicato la LKC:
\( (\alpha -1)i_E = 0 \Rightarrow i_E =0 \)
essendo \( \alpha = 2 \)
pertanto nei resistori non scorre corrente e la tensione tra A e B è E = 2V
In conclusione la conduttanza equivalente secondo Norton vale
\( G_N = \frac{i_E}{E} = \frac{60}{2} = 30 Ohm^{-1} \)
R_10 = 4/5
R_20 = 2/5
R_30 = 2/5
R_40 = 1/3
R_50 = 5/6
R_60 = 2/3
In definitiva la corrente di cortocircuito è pari a 60A (verso sinistra). E' un valore un po' alto ma non trovo errori nei calcoli.
Per quanto riguarda la tensione a vuoto, non sono sicurissimo del ragionamento seguito.
La tensione tra A e B è pari a
\( V_2 + E - V_5 \)
(considerando le tensioni orientate dall'alto al basso e da sinistra a destra).
Serve quindi calcolare V2 e V5 e di conseguenza I2 e I5. Ho considerato l'insieme di taglio in figura e applicato la LKC:
\( (\alpha -1)i_E = 0 \Rightarrow i_E =0 \)
essendo \( \alpha = 2 \)
pertanto nei resistori non scorre corrente e la tensione tra A e B è E = 2V
In conclusione la conduttanza equivalente secondo Norton vale
\( G_N = \frac{i_E}{E} = \frac{60}{2} = 30 Ohm^{-1} \)
"neba":
... Li ho trasformati in stelle e le resistenze equivalenti che ho ottenuto sono:
...
R_50 = 5/6
R_60 = 2/3
Direi
$R_{50} = 1\ \Omega$
$R_{60} = 1/2\ \Omega$
"neba":
... In definitiva la corrente di cortocircuito è pari a 60A (verso sinistra). E' un valore un po' alto ma non trovo errori nei calcoli.
Si, è errata. Si possono vedere i calcoli?
"neba":
... Per quanto riguarda la tensione a vuoto, non sono sicurissimo del ragionamento seguito.
La tensione tra A e B è pari a
\( V_2 + E - V_5 \)
"neba":
... (considerando le tensioni orientate dall'alto al basso e da sinistra a destra).
Studi forse in Germania o in Svizzera?
"neba":
... Ho considerato l'insieme di taglio in figura e applicato la LKC:
\( (\alpha -1)i_E = 0 \Rightarrow i_E =0 \)
pertanto nei resistori non scorre corrente e la tensione tra A e B è E = 2V
Perfetto!
"neba":
... In conclusione la conduttanza equivalente secondo Norton vale
\( G_N = \frac{i_E}{E} = \frac{60}{2} = 30 Ohm^{-1} \)
Questo risultato è di conseguenza errato, ti ricordo che l'unità di misura per la conduttanza è il siemens $[G]=S$ e ad ogni modo quando si vuole indicare l'ohm (con la "o" minuscola) di seguito ad un valore numerico, non si scrive per esteso ma serve una $\Omega$ \Omega; sono dettagli, ma credimi sono importanti.
Ho rifatto i calcoli con più calma e in effetti sulle ultime 2 resistenze ho commesso degli errori per cui i valori corretti sono i tuoi.
Per calcolare la \( i_{cc} \) ho usato la convenzioni sui versi di tensioni e correnti in rosso in figura e le seguenti relazioni di Kirchhoff:
(tralascio le unità di misura nei calcoli)
\( 2i_E -i_E -i_{cc} = 0 \Rightarrow i_{cc} = i_E \)
\( 2 + \frac{1}{2}i_E - i_{cc} - \frac{2}{5}i_{cc} + \frac{3}{5}i_E = 0 \)
\( 2 + \frac{1}{2}i_E - i_E - \frac{2}{5}i_E + \frac{3}{5}i_E = 0 \)
\( 10 + 5i_E - 10i_E - 4i_E + 6i_E = 0 \)
\( 10 -3i_E= 0 \)
\( i_E = \frac{10}{3} A \)
da cui:
\( i_{cc} = \frac{10}{3} A \)
Segue che:
\( G_N = \frac{\frac{10}{3}}{2} = \frac{5}{3}S \)
Per calcolare la \( i_{cc} \) ho usato la convenzioni sui versi di tensioni e correnti in rosso in figura e le seguenti relazioni di Kirchhoff:
(tralascio le unità di misura nei calcoli)
\( 2i_E -i_E -i_{cc} = 0 \Rightarrow i_{cc} = i_E \)
\( 2 + \frac{1}{2}i_E - i_{cc} - \frac{2}{5}i_{cc} + \frac{3}{5}i_E = 0 \)
\( 2 + \frac{1}{2}i_E - i_E - \frac{2}{5}i_E + \frac{3}{5}i_E = 0 \)
\( 10 + 5i_E - 10i_E - 4i_E + 6i_E = 0 \)
\( 10 -3i_E= 0 \)
\( i_E = \frac{10}{3} A \)
da cui:
\( i_{cc} = \frac{10}{3} A \)
Segue che:
\( G_N = \frac{\frac{10}{3}}{2} = \frac{5}{3}S \)
"neba":
Per calcolare la \( i_{cc} \) ho usato la convenzioni sui versi di tensioni e correnti in rosso in figura e le seguenti relazioni di Kirchhoff:
\( 2i_E -i_E -i_{cc} = 0 \Rightarrow i_{cc} = i_E \)
Ma non capisco la necessità di tutte le seguenti equazioni, in quanto a questo punto basta scrivere la KVL alla maglia inferiore del circuito semplificato che, percorsa in senso orario a partire dal negativo del GIT, vista l'uguaglianza fra icc e iE, darà
$+2+2/5i_E-2/5i_E-1i_E+1/2i_E=0$
e di conseguenza
$i_E=4 \A$.
In realtà l'equazione è una sola. Le seguenti sono solo il suo svolgimento. Ancora una volta ho però commesso un errore di calcolo. Cercherò di stare più attento d'ora in poi.
Grazie per l'aiuto
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