Elettrotecnica : metodo delle tensioni di nodo

[previ91]

Salve a tutti ,

vorrei farvi delle domande di elettrotecnica prima magari di porvi delle domande direttamente su un esercizio.
Devo risolvere dei circuiti elettrici col metodo che preferisco ma non mi sono chiari bene i passaggi per arrivare ad avere un sistema che poi risolvo con Matlab.
Per esempio se ho un circuito con N nodi , uno lo "metto a terra" (non lo considero) e scrivo le N-1 equazioni con le N-1 incognite che sono le correnti entranti o uscenti dagli N-1 nodi. Ok , fino a qua dovrei esserci , ma poi mi blocco ... cosa devo considerare : mi fermo qui ? considero le maglie e le tensioni?

Grazie a tutti che vorranno chiarirmi le idee

[cyd1]

a che tipo di rappresentazione del sistema devi arrivare? cioè cosa intendi per sistema che poi risolvo con matlab? un semplice sistema algebrico di equazioni?

guarda qui http://www.die.ing.unibo.it/pers/fabbri ... ense/2.pdf
se poi hai ancora problemi scrivi

[Sk_Anonymous]

"previ91":scrivo le N-1 equazioni con le N-1 incognite che sono le correnti entranti o uscenti dagli N-1 nodi

Se fosse così avresti già finito. Infatti un sistema lineare di N-1 equazioni indipendenti in N-1 incognite o non ha soluzione oppure ha un'unica soluzione, e quest'unica soluzione è la soluzione del tuo circuito. Fine.

Purtroppo le correnti entranti/uscenti, incognite del problema, non sono affatto N-1, ma sono L, dove L è il numero di lati. Puoi scrivere tranquillamente un circuito con 2 nodi le cui 2 equazioni risultanti dalle LKC ad ogni nodo hanno, ognuna, 27 incognite. Basta fare il parallelo di 26 resistori con un generatore di corrente.

Quindi le LKC per tutti nodi ti danno N-1 equazioni in L incognite. Si dimostra che in un circuito qualsiasi si possono trovare al più (L-N+1) maglie. Scrivendo le LKT per ogni maglia, hai un totale di \( (N-1)+(L-N+1)=L \) equazioni. Ora però le incognite non sono più L ma sono 2L: le L correnti e le L tensioni di lato. Scrivendo l'equazione caratteristica di ogni lato, hai ovviamente altre L equazioni, che aggiunte a quelle di prima fanno 2L equazioni. Ora hai risolto il circuito: 2L equazioni in 2L incognite.

Ipotizziamo ora che tutti i bipoli presenti nel circuito siano controllabili in tensione, ovvero che la loro caratteristica possa essere scritta come \( i=g(v) \), ovvero esista una funzione che data la tensione sul bipolo mi dia la corrente uscente/entrante (e quindi, per definizione di funzione, fissata la tensione tale corrente è unica). Fissato un nodo di riferimento, che chiamiamo terra, posso esprimere tutte le tensioni di lato come differenza dei "potenziali di nodo", che altro non sono che le tensioni tra un nodo qualsiasi e quello di riferimento. In questo modo ho che la caratteristica di ogni bipolo può essere scritta come \( i=g(e_A - e_B) \) dove \( e_A \) e \( e_B \) sono i potenziali di nodo tra il nodo A e il nodo B a cui è collegato il bipolo. Scrivendo le leggi di Kirchoff delle correnti ad ogni nodo, ottengo come prima N-1 equazioni, ma stavolta le incognite non sono più le L tensioni di lato, ma gli N-1 potenziali di nodo, perchè ogni corrente la esprimo con la relazione caratteristica del bipolo che dipende unicamente dalle tensioni di nodo che sono in numero pari ai nodi.

Hai quindi N-1 equazioni in N-1 incognite, le quali incognite non sono le correnti, ma i potenziali di nodo. Questa è l'analisi nodale.