[Elettrotecnica] Metodo del bilanciamento degli impulsi
Si vuole risolvere questo esercizio nel dominio del tempo:
E' chiaro che una strada di risoluzione è quella di ricavarsi le condizioni iniziali per corrente nell'induttore e tensione sul condensatore nell'intervallo $(0^-,0^+)$, per poi studiarne l'evoluzione libera per $t>0$.
Tuttavia, vorrei capire come si applica invece il cosiddetto metodo del bilanciamento degli impulsi, del quale non sono riuscito a reperire alcuna informazione teorica e non ho nemmeno esempi di applicazione dello stesso: credo si applichi nel momento in cui si cerca la soluzione particolare dell'equazione differenziale che governa la dinamica della rete, che nel nostro caso è la seguente:
$\frac{d^2i_L}{dt^2} + \frac{1}{RC}\frac{di_L}{dt} + \frac{i_L}{LC} = \frac{2\alpha}{RLC}\delta(t)$
Potreste, sulla base di questo esempio, mostrarmi come si applica?
E' chiaro che una strada di risoluzione è quella di ricavarsi le condizioni iniziali per corrente nell'induttore e tensione sul condensatore nell'intervallo $(0^-,0^+)$, per poi studiarne l'evoluzione libera per $t>0$.
Tuttavia, vorrei capire come si applica invece il cosiddetto metodo del bilanciamento degli impulsi, del quale non sono riuscito a reperire alcuna informazione teorica e non ho nemmeno esempi di applicazione dello stesso: credo si applichi nel momento in cui si cerca la soluzione particolare dell'equazione differenziale che governa la dinamica della rete, che nel nostro caso è la seguente:
$\frac{d^2i_L}{dt^2} + \frac{1}{RC}\frac{di_L}{dt} + \frac{i_L}{LC} = \frac{2\alpha}{RLC}\delta(t)$
Potreste, sulla base di questo esempio, mostrarmi come si applica?
Risposte
"CosenTheta":
... E' chiaro che una strada di risoluzione è quella di ricavarsi le condizioni iniziali per corrente nell'induttore e tensione sul condensatore nell'intervallo $(0^-,0^+)$, per poi studiarne l'evoluzione libera per $t>0$. ...
Sarebbe utile, per il successivo confronto, vedere come procederesti seguendo questa strada risolutiva.
"CosenTheta":
... Tuttavia, vorrei capire come si applica invece il cosiddetto metodo del bilanciamento degli impulsi,
Semplicemente usando quella equazione differenziale per "bilanciare" i termini impulsivi del primo membro, ricavati a partire dalla generica soluzione per $i_L(t)$, ai termini impulsivi del secondo membro.
Sostanzialmente andando ad uguagliare i coefficienti dei termini impulsivi dello stesso ordine, al fine di determinare un sistema di equazioni che permetta di ottenere le costanti della generica soluzione ed eventualmente di correggerne la forma.
"RenzoDF":
per "bilanciare" i termini impulsivi del primo membro, ricavati a partire dalla generica soluzione per $ i_L(t) $
Cosa intendi per generica soluzione? Quella associata all'omogenea?
Ossia $i_{L omog}(t) = Ae^{-100t} + Be^{-500t}$
Come faccio a ricavarmi i termini impulsivi a primo membro che hai citato tu?
Intanto, posto qui la soluzione col primo metodo citato.
Nell'intervallo $(0^-,0^+)$, il condensatore si può sostituire con un cortocircuito e l'induttore con un circuito aperto, ottenendo questo circuito
A questo punto risulta che
$i_C(t) = \frac{2\alpha\delta(t)}{R}$
$v_L(t) = 0$
quindi, è facile ricavare le condizioni iniziali per induttore e condensatore integrando ambo i membri delle due relazioni nell'istante considerato, ottenendo
$v_C(0^+) = \frac{2\alpha}{RC}$
$i_L(0^+) = 0$
Dunque, per $t > 0$ si studia l'evoluzione libera di un circuito RLC parallelo, come in figura
Il problema di Cauchy associato è il seguente
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{d^2i_L}{dt^2} + \frac{1}{RC}\frac{di_L}{dt} + \frac{i_L}{LC} = 0
\\ i_L(0^+) = 0
\\ \frac{di_L}{dt}(0^+) = \frac{v_C(0^+)}{L} = \frac{2\alpha}{RLC}
\end{matrix}\right.\)
che, risolto, fornisce come soluzione
$i_L(t) = 750\alpha(e^{-100t} - e^{-500t})$
"CosenTheta":
... Cosa intendi per generica soluzione? Quella associata all'omogenea?
Ossia $i_{L omog}(t) = Ae^{-100t} + Be^{-500t}$...
Sì ma, visto che tutto il discorso si concentra su t=0, scriviamola più correttamente
$i_{L}(t) = (Ae^{-100t} + Be^{-500t}) u(t)$
anzi, per convenienza risolutiva, mettiamola in una forma supercondensata
$i=f \cdot u$
"CosenTheta":
... Come faccio a ricavarmi i termini impulsivi a primo membro che hai citato tu? ...
Devi semplicemente andare ad usare quella funzione $i$ nell'equazione differenziale, prima di tutto per verificare se quella "forma" può soddisfarla e, in caso affermativo, ricavare i due coefficienti A e B, andando ad uguagliare i coefficienti dei termini impulsivi a primo membro con quelli a secondo membro.
"CosenTheta":
... Intanto, posto qui la soluzione col primo metodo citato. ...
Considero la funzione
$i_L(t) = (Ae^{-100t} + Be^{-500t})u(t)$
la sua derivata prima vale (applicando i dovuti campionamenti)
$\frac{di_L}{dt}(t) = (-100Ae^{-100t} - 500Be^{-500t})u(t) + (A + B)\delta(t)$
la sua derivata seconda vale
$\frac{d^2i_L}{dt^2}(t) = (10^4Ae^{-100t} + 25*10^4Be^{-500t})u(t) - (100A + 500B)\delta(t) + (A + B)\delta'(t)$
sostituendo il tutto nell'equazione differenziale ottengo (sperando nella bontà dei calcoli)
$[(10^4 - 10^4A)e^{-100t} + (25*10^4 + 2*10^4B)e^{-500t}]u(t) + (500A + 100B)\delta(t) + (A+B)\delta'(t) = 300.000\alpha\delta(t)$
suppongo che io ora debba porre
$500A + 100B = 300.000\alpha$
$A + B = 0$
che, risolto, mi da proprio
\(\displaystyle A = 750\alpha, B = -750\alpha \)
E' questo il procedimento?
$i_L(t) = (Ae^{-100t} + Be^{-500t})u(t)$
la sua derivata prima vale (applicando i dovuti campionamenti)
$\frac{di_L}{dt}(t) = (-100Ae^{-100t} - 500Be^{-500t})u(t) + (A + B)\delta(t)$
la sua derivata seconda vale
$\frac{d^2i_L}{dt^2}(t) = (10^4Ae^{-100t} + 25*10^4Be^{-500t})u(t) - (100A + 500B)\delta(t) + (A + B)\delta'(t)$
sostituendo il tutto nell'equazione differenziale ottengo (sperando nella bontà dei calcoli)
$[(10^4 - 10^4A)e^{-100t} + (25*10^4 + 2*10^4B)e^{-500t}]u(t) + (500A + 100B)\delta(t) + (A+B)\delta'(t) = 300.000\alpha\delta(t)$
suppongo che io ora debba porre
$500A + 100B = 300.000\alpha$
$A + B = 0$
che, risolto, mi da proprio
\(\displaystyle A = 750\alpha, B = -750\alpha \)
E' questo il procedimento?
Anche se avresti potuto scriverlo in forma più sintetica usando la notazione simbolica,
sì, il procedimento è quello!
sì, il procedimento è quello!
Grazie mille.
Vorrei chiudere il thread con alcuni chiarimenti.
1) Il metodo del bilanciamento degli impulsi, secondo alcune fonti qua e là che ho reperito, prevede di aggiungere dei termini impulsivi alla generica soluzione, affinché si possano bilanciare termini di ordine superiore. Ma in quali situazioni compaiono derivate di impulsi a secondo membro?
2)In presenza di forzamenti impulsivi, le variabili di stato possono essere discontinue. La mia domanda è: possono essere anche impulsive o contenere termini impulsivi?
3)Il primo metodo prevede, in presenza di forzamenti impulsivi, di considerare (se per $t<0$ la rete è a riposo) sempre il condensatore come un cortocircuito e un induttore come un circuito aperto.
Una motivazione viene dal fatto che per esempio, per il condensatore
$v_C(0^+) = \frac{1}{C}\int_{0^-}^{0^+} i_C(t)dt = 0 $ se $i_C$ è limitata, mentre è diversa da 0 se $i_C$ è impulsiva.
Appunto per questo, non conoscendo la $i_C$ ancor prima di averla calcolata, e quindi non sapendo se contenga o meno impulsi, come posso nell'istante $(0^-,0^+)$ essere certo di considerare il condensatore come un cortocircuito?
Vorrei chiudere il thread con alcuni chiarimenti.
1) Il metodo del bilanciamento degli impulsi, secondo alcune fonti qua e là che ho reperito, prevede di aggiungere dei termini impulsivi alla generica soluzione, affinché si possano bilanciare termini di ordine superiore. Ma in quali situazioni compaiono derivate di impulsi a secondo membro?
2)In presenza di forzamenti impulsivi, le variabili di stato possono essere discontinue. La mia domanda è: possono essere anche impulsive o contenere termini impulsivi?
3)Il primo metodo prevede, in presenza di forzamenti impulsivi, di considerare (se per $t<0$ la rete è a riposo) sempre il condensatore come un cortocircuito e un induttore come un circuito aperto.
Una motivazione viene dal fatto che per esempio, per il condensatore
$v_C(0^+) = \frac{1}{C}\int_{0^-}^{0^+} i_C(t)dt = 0 $ se $i_C$ è limitata, mentre è diversa da 0 se $i_C$ è impulsiva.
Appunto per questo, non conoscendo la $i_C$ ancor prima di averla calcolata, e quindi non sapendo se contenga o meno impulsi, come posso nell'istante $(0^-,0^+)$ essere certo di considerare il condensatore come un cortocircuito?
"CosenTheta":
... 1) Il metodo del bilanciamento degli impulsi, secondo alcune fonti qua e là che ho reperito, prevede di aggiungere dei termini impulsivi alla generica soluzione, affinché si possano bilanciare termini di ordine superiore. Ma in quali situazioni compaiono derivate di impulsi a secondo membro? ...
Diciamo che si tratta di una situazione di forzamento essenzialmente teorica, perché il dubbio potrebbe sorgere anche per una semplice forzante impulsiva.
Come correttamente affermi, alla generica risposta può essere necessario aggiugere dei termini impulsivi al fine di permettere il bilanciamento; nel tuo caso, per esempio, ciò sarebbe risultato necessario se, oltre al generatore impulsivo $2\alpha\delta(t)$, fosse risultato presente anche un generatore impulsivo $k\delta^(\text{''})(t)$.
"CosenTheta":
... In presenza di forzamenti impulsivi, le variabili di stato possono essere discontinue. La mia domanda è: possono essere anche impulsive o contenere termini impulsivi? ...
Certo, per quanto sopra detto.
"CosenTheta":
... Il primo metodo prevede, in presenza di forzamenti impulsivi, di considerare (se per $t<0$ la rete è a riposo) sempre il condensatore come un cortocircuito e un induttore come un circuito aperto. ...
Sì, in quanto un condensatore scarico equivale ad un GIT di tensione nulla e un induttore scarico ad un GIC di corrente nulla.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo