[Elettrotecnica] Metodo dei nodi + fasori
Salve a tutti, sto studiando per l'esame di Introduzione ai Circuiti e mi sono imbattuto in questa tipologia di esercizi.
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito fare una foto al libro (spero non sia contro il regolamento, nel caso mi scuso in anticipo).
Viene richiesto di calcolare la tensione $ V_L(t) $ dell'induttore. Utilizziamo il metodo dei potenziali di nodo e indichiamo i potenziali dei nodi 1, 2 e 3 rispettivamente come $ bar(U_1) $ , $ bar(U_2) $ e $ bar(U_3) $ mentre prendiamo come potenziale di riferimento quello al nodo 4.
Dai dati del problema possiamo ricavare che $ bar(J) = 5 $ , $ bar(E) = 5(sqrt(2)/2 + j sqrt(2)/2) $ , $ dot(Z_L) = jwL = j20 $ , $ dot(Z_C) = 1/(jwC) = -j10 $
Ho poi scritto le leggi di Kirchhoff sulle correnti riguardo i nodi 1 e 2 ( quella sul nodo 3 non è necessaria in quanto l'unica informazione che ricaviamo è che $ bar(U_3) = bar(E) $) che poi ho messo a sistema nel modo mostrato nella foto.
Il problema è che procedendo coi calcoli il risultato non mi viene mai (ho provato diverse volte e non capisco dove sbaglio). Ora vi mostro come procedo.
$ { ( -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 + (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) = 0 ), ( - (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 - (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) + bar(U_2)/dot(Z_c) +(bar(U_2) - bar(E))/R_3 = 0 ):} $
Applico il metodo della riduzione ottenendo:
$ -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + bar(U_2)/dot(Z_c) +(bar(U_2) - bar(E))/R_3 = 0 $
Sostituendo i valori numerici ottengo
$ - 5 + bar(U_1)/10 + bar(U_2)/(-j10) +(bar(U_2) - 5(sqrt(2)/2 + j sqrt(2)/2) )/5 = 0 $
$ - 5 + bar(U_1)/10 + jbar(U_2)/10 +bar(U_2)/5 - sqrt(2)/2 - j sqrt(2)/2 = 0 $
$ - 50 + bar(U_1) + jbar(U_2) + 2bar(U_2) - 5sqrt(2) - j5sqrt(2) = 0 $
$ bar(U_1) = bar(U_2)(-j - 2) + 50 + 5sqrt(2) + j5sqrt(2) $
Ora sostituisco questo risultato nel sistema al posto della seconda equazione
$ { ( -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 + (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) = 0 ), ( bar(U_1) = bar(U_2)(-j - 2) + 50 + 5sqrt(2) + j5sqrt(2) ):} $
I conti sono abbastanza lunghi e credo di commettere errori di calcolo (il metodo che ho usato mi pare giusto).
I risultati sono : $ bar(U_1) = 24.7 - j3.4 $ e $ bar(U_2) = 12.4 - j8 $ .
Da essi si ricava $ bar(V_L) = 11.7 + j4.6 $ e quindi il risultato finale $ V_L(t) = 12.6cos(100t + 0.38) $ nel dominio del tempo.
Sapete consigliarmi un metodo meno complesso per la risoluzione? Oppure ho sbagliato qualcos'altro oltre ai conti (megari nell'impostazione del problema) ?
Vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito fare una foto al libro (spero non sia contro il regolamento, nel caso mi scuso in anticipo).
Viene richiesto di calcolare la tensione $ V_L(t) $ dell'induttore. Utilizziamo il metodo dei potenziali di nodo e indichiamo i potenziali dei nodi 1, 2 e 3 rispettivamente come $ bar(U_1) $ , $ bar(U_2) $ e $ bar(U_3) $ mentre prendiamo come potenziale di riferimento quello al nodo 4.
Dai dati del problema possiamo ricavare che $ bar(J) = 5 $ , $ bar(E) = 5(sqrt(2)/2 + j sqrt(2)/2) $ , $ dot(Z_L) = jwL = j20 $ , $ dot(Z_C) = 1/(jwC) = -j10 $
Ho poi scritto le leggi di Kirchhoff sulle correnti riguardo i nodi 1 e 2 ( quella sul nodo 3 non è necessaria in quanto l'unica informazione che ricaviamo è che $ bar(U_3) = bar(E) $) che poi ho messo a sistema nel modo mostrato nella foto.
Il problema è che procedendo coi calcoli il risultato non mi viene mai (ho provato diverse volte e non capisco dove sbaglio). Ora vi mostro come procedo.
$ { ( -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 + (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) = 0 ), ( - (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 - (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) + bar(U_2)/dot(Z_c) +(bar(U_2) - bar(E))/R_3 = 0 ):} $
Applico il metodo della riduzione ottenendo:
$ -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + bar(U_2)/dot(Z_c) +(bar(U_2) - bar(E))/R_3 = 0 $
Sostituendo i valori numerici ottengo
$ - 5 + bar(U_1)/10 + bar(U_2)/(-j10) +(bar(U_2) - 5(sqrt(2)/2 + j sqrt(2)/2) )/5 = 0 $
$ - 5 + bar(U_1)/10 + jbar(U_2)/10 +bar(U_2)/5 - sqrt(2)/2 - j sqrt(2)/2 = 0 $
$ - 50 + bar(U_1) + jbar(U_2) + 2bar(U_2) - 5sqrt(2) - j5sqrt(2) = 0 $
$ bar(U_1) = bar(U_2)(-j - 2) + 50 + 5sqrt(2) + j5sqrt(2) $
Ora sostituisco questo risultato nel sistema al posto della seconda equazione
$ { ( -bar(J) + bar(U_1)/R_1 + (bar(U_1) - bar(U_2))/R_2 + (bar(U_1) - bar(U_2))/dot(Z_L) = 0 ), ( bar(U_1) = bar(U_2)(-j - 2) + 50 + 5sqrt(2) + j5sqrt(2) ):} $
I conti sono abbastanza lunghi e credo di commettere errori di calcolo (il metodo che ho usato mi pare giusto).
I risultati sono : $ bar(U_1) = 24.7 - j3.4 $ e $ bar(U_2) = 12.4 - j8 $ .
Da essi si ricava $ bar(V_L) = 11.7 + j4.6 $ e quindi il risultato finale $ V_L(t) = 12.6cos(100t + 0.38) $ nel dominio del tempo.
Sapete consigliarmi un metodo meno complesso per la risoluzione? Oppure ho sbagliato qualcos'altro oltre ai conti (megari nell'impostazione del problema) ?
Vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Risposte
Ciao, anche io sto preparando l'esame e ti assicuro che il tuo procedimento è corretto ed il sistema impostato è giusto. Per quanto riguarda i calcoli ho provato a mettere il sistema su mathematica e a risolverlo e mi da valori diversi (ma posso anche averlo inserito male nella fretta). Purtroppo non ci sono metodi alternativi e l sbattimento di scatole dei fasori è proprio la mole di calcoli che ti tocca in esercizi come questo (anche se questo che hai messo tu è veramente rompipalle ahah). MI spiace se non sono stato dai aiuto, in ogni caso buona fortuna per l'esame! 
"dRic":
Purtroppo non ci sono metodi alternativi ...
Applicando il principio di sovrapposizione, si ottengono due circuiti che possono essere risolti, forse più agevolmente, mediante le resistenze equivalenti in serie e in parallelo.
"dRic":
Ciao, anche io sto preparando l'esame e ti assicuro che il tuo procedimento è corretto ed il sistema impostato è giusto. Per quanto riguarda i calcoli ho provato a mettere il sistema su mathematica e a risolverlo e mi da valori diversi (ma posso anche averlo inserito male nella fretta). Purtroppo non ci sono metodi alternativi e l sbattimento di scatole dei fasori è proprio la mole di calcoli che ti tocca in esercizi come questo (anche se questo che hai messo tu è veramente rompipalle ahah). MI spiace se non sono stato dai aiuto, in ogni caso buona fortuna per l'esame!
Ti ringrazio dRic, anche solo il sapere che il procedimento è corretto mi dà sollievo, i calcoli vengono dopo. Buona fortuna anche a te!!
"anonymous_0b37e9":
Applicando il principio di sovrapposizione, si ottengono due circuiti che possono essere risolti, forse più agevolmente, mediante le resistenze equivalenti in serie e in parallelo.
Grazie Sergeant Elias, proverò a fare come hai suggerito tu.
"anonymous_0b37e9":
[quote="dRic"]
Purtroppo non ci sono metodi alternativi ...
Applicando il principio di sovrapposizione, si ottengono due circuiti che possono essere risolti, forse più agevolmente, mediante le resistenze equivalenti in serie e in parallelo.[/quote]
Scusa, hai ragione. Non so perché avevo capito che dovesse risolvere il problema con il metodo dell'analisi ai nodi e con "metodi alternativi" pensavo alludesse a "scorciatoie"... colpa mia
Breaking news: utilizzando il principio di sovrapposizione mi è venuto un risultato molto simile alla soluzione riportata dal libro (la differenza è probabilmente dovute alle approssimazioni). A meno che non si richeda esplicitamente di utilizzare l'analisi ai nodi, cercherò di utilizzare questo metodo.
Ottimo. Anche se non ho fatto i conti esplicitamente, non mi sembravano immediati.
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