[Elettrotecnica] Matrice delle conduttanze per un doppio bipolo
Sto tentando di ricavare la matrice delle conduttanze del doppio bipolo in figura
Per ricavare i valori di $G_{11}$ e $G_{22}$, ho prima trasformato tutti i resistori in conduttanze, quindi $G_i = 2$ per $i=1...4$, e poi ho applicato le classiche regole di serie e parallelo, ottenendo quindi
$G_{11} = \frac{i_1}{v_1} = G_1 + \frac{G_2(G_3 + G_4)}{G_2 + G_3 + G_4} = \frac{10}{3}$ per $v_2 = 0$
$G_{22} = \frac{i_2}{v_2} = \frac{G_4(G_2 + G_3)}{G_2 + G_3 + G_4} = \frac{4}{3}$ per $v_1 = 0$
Questi valori sono corretti come riportati sul libro. Quelli con i quali non riesco a trovarmi sono i valori sull'antidiagonale.
Per il teorema di reciprocità, mi basta calcolarne uno, ad esempio questo
$G_{21} = i_2/v_1$ per $v_2 = 0$
calcolo $v_1$, usando il partitore di corrente
$v_1 = i_{G1}/G_1 = 1/G_1\frac{i_2\frac{G_1G_2}{G_1 + G_2}}{\frac{G_1G_2}{G_1 + G_2} + G_3} = i_2/6$
dunque
$G_{21} = i_2/(i_2/6) = 6$
Il libro riporta come risultato $-2/3$. Ora, mi chiedo: è corretto il mio procedimento? E' normale che una conduttanza, che è il reciproco di una resistenza, ossia di una quantità positiva, possa risultare negativa?
Per ricavare i valori di $G_{11}$ e $G_{22}$, ho prima trasformato tutti i resistori in conduttanze, quindi $G_i = 2$ per $i=1...4$, e poi ho applicato le classiche regole di serie e parallelo, ottenendo quindi
$G_{11} = \frac{i_1}{v_1} = G_1 + \frac{G_2(G_3 + G_4)}{G_2 + G_3 + G_4} = \frac{10}{3}$ per $v_2 = 0$
$G_{22} = \frac{i_2}{v_2} = \frac{G_4(G_2 + G_3)}{G_2 + G_3 + G_4} = \frac{4}{3}$ per $v_1 = 0$
Questi valori sono corretti come riportati sul libro. Quelli con i quali non riesco a trovarmi sono i valori sull'antidiagonale.
Per il teorema di reciprocità, mi basta calcolarne uno, ad esempio questo
$G_{21} = i_2/v_1$ per $v_2 = 0$
calcolo $v_1$, usando il partitore di corrente
$v_1 = i_{G1}/G_1 = 1/G_1\frac{i_2\frac{G_1G_2}{G_1 + G_2}}{\frac{G_1G_2}{G_1 + G_2} + G_3} = i_2/6$
dunque
$G_{21} = i_2/(i_2/6) = 6$
Il libro riporta come risultato $-2/3$. Ora, mi chiedo: è corretto il mio procedimento? E' normale che una conduttanza, che è il reciproco di una resistenza, ossia di una quantità positiva, possa risultare negativa?
Risposte
"CosenTheta":
... mi chiedo: è corretto il mio procedimento?
No, perché non hai considerato che v2=0, ovvero porta destra in cortocircuito; ti conviene fare l'inverso, ovvero andare a ricavare i2 a partire dalla v1 oppure, molto più semplicemente, andare a trasformare la stella destra di resistori (R1, R3, R4) in triangolo, semplificare il triangolo a sinistra via parallelo con R1 e poi ricavare "contemporaneamente" tutti i coefficienti della matrice della conduttanze, dalla rappresentazione a pigreco ottenuta.
"CosenTheta":
... E' normale che una conduttanza, che è il reciproco di una resistenza, ossia di una quantità positiva, possa risultare negativa?
Ti ricordo che questa non è una normale "conduttanza" ma una "transconduttanza", rapporto [nota]Versi compresi.[/nota] fra coppie corrente/tensione non relative allo stesso bipolo ma a due diverse porte di una rete.
"RenzoDF":
No, perché non hai considerato che v2=0, ovvero porta destra in cortocircuito
Per il mio tentativo di calcolo della $G_{21}$ io ho effettivamente cortocircuitato la seconda porta, come mi hai detto tu. Questo è lo schema elettrico su cui mi sono basato
si noti che ho considerato la corrente $i_2$ coincidente con quella della conduttanza $G_4$.
Forse, lo schema elettrico giusto avrebbe dovuto essere il seguente
con la corrente $i_2$ entrante stavolta nel doppio bipolo.
E' così?
"CosenTheta":
Per il mio tentativo di calcolo della $G_{21}$ io ho effettivamente cortocircuitato la seconda porta, come mi hai detto tu. Questo è lo schema elettrico su cui mi sono basato ...
Come potrebbe circolare una corrente i2 in quel circuito privo di forzanti?
"CosenTheta":
... Forse, lo schema elettrico giusto avrebbe dovuto essere il seguente ...
E' così?
No, nemmeno questa configurazione è corretta; cortocircuitando la porta, la corrente i2 è sempre quella che circola attraverso il cortocircuito, che non è parte del doppio bipolo.
Qual è, dunque, il circuito corretto su cui operare?
Te l'ho già indicato.
"RenzoDF":
Come potrebbe circolare una corrente i2 in quel circuito privo di forzanti?
La corrente i2 è sempre quella che circola attraverso il cortocircuito
Questo?
Sì.
Calcolando la conduttanza equivalente vista da $v_1$, mi trovo che essa vale
$G_{eq} = 10/3$
e che la corrente totale, dunque, vale
\(\displaystyle i_{tot} = \frac{10}{3} v_1 \)
Considerando il parallelo tra $G_1$ e $G_2$ + parallelo tra $G_3$ e $G_4$, calcolo la corrente $i_2^{\prime}$ che scorre in quest'ultima conduttanza mediante partitore di corrente, ottenendo
\(\displaystyle i_{2}^{'} = \frac{i_{tot}(G_2 + G_{34})}{G_{eq}} = \frac{4}{3}v_1\)
e infine
\(\displaystyle i_2 = \frac{i_{2}^{'} G_4}{G_4+G_3} = \frac{2}{3} v_1 \)
da cui si ha che
$G_{21} = 2/3$
Resta ancora il problema del segno meno. Dove sbaglio?
Nel verso della corrente i2.
Nel calcolo G1 poteva non essere considerata, in quanto in parallelo al GIT.
Nel calcolo G1 poteva non essere considerata, in quanto in parallelo al GIT.
Perché il verso della corrente $i_2$ dovrebbe essere dal basso verso l'alto?
Semplicemente perché, per le due relazioni costitutive dei doppi bipoli, è consuetudine usare la convenzione degli utilizzatori per entrambe le porte.
Grazie.
Puoi postare il risultato?
BTW Perché non provi anche con il secondo metodo che ti ho suggerito?
BTW Perché non provi anche con il secondo metodo che ti ho suggerito?
Il risultato è il seguente
\(\displaystyle G = \begin{bmatrix}
\frac{10}{3} & -\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3} & \frac{4}{3}
\end{bmatrix} \)
Provando a percorrere la strada che mi hai indicato tu, trasformando la stella di resistori <$R_2,R_3,R_4$> (probabilmente intendevi $R_2$, hai scritto $R_1$) in triangolo ottengo il nuovo valore di resistenza comune
$R = 3/2$
con lo schema elettrico equivalente
effettuando il parallelo si ha quindi la rappresentazione a pi greco:
con $R^{\prime} = 3/8$.
Supponendo $v_2 = 0$ (la resistenza $R$ a destra è cortocircuitata) possiamo determinare i parametri
$G_11 = i_1/v_1$, che è la conduttanza vista dalla porta 1, ossia $1/R + 1/R^{\prime}$, ossia $10/3$.
$G_21 = i_2/v_1$
$i_2 = -i_1 R^{\prime}/(R + R^{\prime})$
$G_21 = i_2/v_1 = i_2/i_1 i_1/v_1 = -G_11 R^{\prime}/(R + R^{\prime}) = -2/3 = G_12$
Supponendo $v_1 = 0$ (la resistenza $R^{\prime}$ è cortocircuitata) possiamo determinare l'ultimo parametro
$G_22 = i_2/v_2$, che è la conduttanza vista dalla porta 2, ossia $2/R = 4/3$.
\(\displaystyle G = \begin{bmatrix}
\frac{10}{3} & -\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3} & \frac{4}{3}
\end{bmatrix} \)
Provando a percorrere la strada che mi hai indicato tu, trasformando la stella di resistori <$R_2,R_3,R_4$> (probabilmente intendevi $R_2$, hai scritto $R_1$) in triangolo ottengo il nuovo valore di resistenza comune
$R = 3/2$
con lo schema elettrico equivalente
effettuando il parallelo si ha quindi la rappresentazione a pi greco:
con $R^{\prime} = 3/8$.
Supponendo $v_2 = 0$ (la resistenza $R$ a destra è cortocircuitata) possiamo determinare i parametri
$G_11 = i_1/v_1$, che è la conduttanza vista dalla porta 1, ossia $1/R + 1/R^{\prime}$, ossia $10/3$.
$G_21 = i_2/v_1$
$i_2 = -i_1 R^{\prime}/(R + R^{\prime})$
$G_21 = i_2/v_1 = i_2/i_1 i_1/v_1 = -G_11 R^{\prime}/(R + R^{\prime}) = -2/3 = G_12$
Supponendo $v_1 = 0$ (la resistenza $R^{\prime}$ è cortocircuitata) possiamo determinare l'ultimo parametro
$G_22 = i_2/v_2$, che è la conduttanza vista dalla porta 2, ossia $2/R = 4/3$.
Ti suggerivo la riduzione a pigreco in quanto pensavo tu conoscessi il diretto legame fra matrice delle conduttanze e quella particolare configurazione circuitale, senza bisogno di nessun calcolo
Grazie, terrò a mente per i successivi esercizi.
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