[Elettrotecnica] Fattore di potenza globale per una rete trifase
Si consideri questo esercizio in figura
si richiede il calcolo del fattore di potenza globale del carico ai morsetti $1-2-3$.
Scrivo l'informazione datami dal voltmetro in forma di tensioni stellate, ossia
$E_3 - E_{3M} = 100$
e calcolo la corrente sul carico ohmico-induttivo della terza linea, che posso chiamare $I_{3M}$, ossia
$I_{3M}=I_{M}= (E_3 - E_{3M})/(|R +jX_L|) = 20$
quindi, posso trovare il valore efficace della tensione stellata ai capi del motore $M$ tramite la relazione
$3E_MI_Mcos(\phi_M) = P_M$
dalla quale risulta che
$E_M = 62.5$.
A questo punto, assumo simmetriche e dirette le tensioni stellate ai capi del motore, avendo quindi
$\bar{E_{1M}} = 62.5$.
$\bar{E_{2M}} = [62.5, -(2\pi)/3]$.
$\bar{E_{3M}} = [62.5, -(4\pi)/3]$.
Grazie all'informazione sul fattore di potenza del motore, ricavo la fase associata, ossia
$\phi_M = arccos(4/5) = 0.643$
e posso quindi anche caratterizzare le correnti del motore in termini di valore efficace e fase, dunque:
$\bar{I_{1M}} = [20, -0.643]$.
$\bar{I_{2M}} = [20, -2.737]$.
$\bar{I_{3M}} = [20, -4.831]$.
Per quanto riguarda la potenza media del carico trifase ohmico-induttivo, che chiamo $P_{RX}$, ricavo prima la fase dell'impedenza e quindi la potenza:
$\phi_{RX} = arctan(4/3) = 0.927$
$P_{RX} = 3(E - E_M)Icos(\phi_{RX}) = 3600$
Per quanto riguarda le tensioni stellate in ingresso, risulta che:
$E - E_M = 100 -> E = 100 + E_M = 162.5$
come da traccia, esse risultano simmetriche e dirette:
$\bar{E_1} = 162.5$
$\bar{E_2} = [162.5, -(2\pi)/3]$
$\bar{E_3} = [162.5, -(4\pi)/3]$
Essendo il primo carico trifase da sinistra puramente capacitivo, è chiaro che la potenza media è nulla.
Due punti:
1)Anzitutto, sono corrette tutte le assunzioni fatte e, di conseguenza, tutto il procedimento svolto?
2)Che cosa si intende precisamente per calcolare il fattore di potenza globale?
Forse risolvere questa relazione
$3EIcos(\phi_{glob}) = P_M + P_{RX}$
nell'incognita $cos(\phi_{glob})$?
Grazie.
si richiede il calcolo del fattore di potenza globale del carico ai morsetti $1-2-3$.
Scrivo l'informazione datami dal voltmetro in forma di tensioni stellate, ossia
$E_3 - E_{3M} = 100$
e calcolo la corrente sul carico ohmico-induttivo della terza linea, che posso chiamare $I_{3M}$, ossia
$I_{3M}=I_{M}= (E_3 - E_{3M})/(|R +jX_L|) = 20$
quindi, posso trovare il valore efficace della tensione stellata ai capi del motore $M$ tramite la relazione
$3E_MI_Mcos(\phi_M) = P_M$
dalla quale risulta che
$E_M = 62.5$.
A questo punto, assumo simmetriche e dirette le tensioni stellate ai capi del motore, avendo quindi
$\bar{E_{1M}} = 62.5$.
$\bar{E_{2M}} = [62.5, -(2\pi)/3]$.
$\bar{E_{3M}} = [62.5, -(4\pi)/3]$.
Grazie all'informazione sul fattore di potenza del motore, ricavo la fase associata, ossia
$\phi_M = arccos(4/5) = 0.643$
e posso quindi anche caratterizzare le correnti del motore in termini di valore efficace e fase, dunque:
$\bar{I_{1M}} = [20, -0.643]$.
$\bar{I_{2M}} = [20, -2.737]$.
$\bar{I_{3M}} = [20, -4.831]$.
Per quanto riguarda la potenza media del carico trifase ohmico-induttivo, che chiamo $P_{RX}$, ricavo prima la fase dell'impedenza e quindi la potenza:
$\phi_{RX} = arctan(4/3) = 0.927$
$P_{RX} = 3(E - E_M)Icos(\phi_{RX}) = 3600$
Per quanto riguarda le tensioni stellate in ingresso, risulta che:
$E - E_M = 100 -> E = 100 + E_M = 162.5$
come da traccia, esse risultano simmetriche e dirette:
$\bar{E_1} = 162.5$
$\bar{E_2} = [162.5, -(2\pi)/3]$
$\bar{E_3} = [162.5, -(4\pi)/3]$
Essendo il primo carico trifase da sinistra puramente capacitivo, è chiaro che la potenza media è nulla.
Due punti:
1)Anzitutto, sono corrette tutte le assunzioni fatte e, di conseguenza, tutto il procedimento svolto?
2)Che cosa si intende precisamente per calcolare il fattore di potenza globale?
Forse risolvere questa relazione
$3EIcos(\phi_{glob}) = P_M + P_{RX}$
nell'incognita $cos(\phi_{glob})$?
Grazie.
Risposte
"CosenTheta":
... sono corrette tutte le assunzioni fatte e, di conseguenza, tutto il procedimento svolto?...
Non completamente, il tuo errore sta in questo passaggio
"CosenTheta":
... $E - E_M = 100 -> E = 100 + E_M = 162.5$...
in quanto quella relazione non è vettoriale ma scalare, ovvero il voltmetro ti permette solo di dire che
$|\barE - \barE_M| = 100$
"CosenTheta":
... Che cosa si intende precisamente per calcolare il fattore di potenza globale?
Semplicemente il rapporto fra la potenza attiva totale $P_t$ e la potenza apparente totale $A_t$, complessivamente assorbite dai tre carichi.
NB E' comunque possibile risolvere evitando l'uso del calcolo fasoriale, attraverso le sole potenze (P, Q, A), come si usa fare nella pratica.
Ti ricordo poi che la potenza assorbita da un resistore o da un reattore può anche essere scritta come
$P=RI^2$
$Q=XI^2$
"CosenTheta":
Si consideri questo esercizio in figura
si richiede il calcolo del fattore di potenza globale del carico ai morsetti $ 1-2-3 $.
Scrivo l'informazione datami dal voltmetro in forma di tensioni stellate, ossia
$ E_3 - E_{3M} = 100 $
e calcolo la corrente sul carico ohmico-induttivo della terza linea, che posso chiamare $ I_{3M} $, ossia
$ I_{3M}=I_{M}= (E_3 - E_{3M})/(|R +jX_L|) = 20 $
quindi, posso trovare il valore efficace della tensione stellata ai capi del motore $ M $ tramite la relazione
$ 3E_MI_Mcos(\phi_M) = P_M $
dalla quale risulta che
$ E_M = 62.5 $.
A questo punto, assumo simmetriche e dirette le tensioni stellate ai capi del motore, avendo quindi
$ \bar{E_{1M}} = 62.5 $.
$ \bar{E_{2M}} = [62.5, -(2\pi)/3] $.
$ \bar{E_{3M}} = [62.5, -(4\pi)/3] $.
Grazie all'informazione sul fattore di potenza del motore, ricavo la fase associata, ossia
$ \phi_M = arccos(4/5) = 0.643 $
e posso quindi anche caratterizzare le correnti del motore in termini di valore efficace e fase, dunque:
$ \bar{I_{1M}} = [20, -0.643] $.
$ \bar{I_{2M}} = [20, -2.737] $.
$ \bar{I_{3M}} = [20, -4.831] $.
Per quanto riguarda la potenza media del carico trifase ohmico-induttivo, che chiamo $ P_{RX} $, ricavo prima la fase dell'impedenza e quindi la potenza:
$ \phi_{RX} = arctan(4/3) = 0.927 $
$ P_{RX} = 3(E - E_M)Icos(\phi_{RX}) = 3600 $
Assumo, quindi, che fino a questo punto sia tutto corretto.
Forse avrei dovuto impostare l'equazione complessa
$\bar{E_3} - \bar{E_{3M}} = (R + jX_L)\bar{I_{3M}}$
$\bar{E_3} = \bar{E_{3M}} + (R + jX_L)\bar{I_{3M}}$
che, risolta tramite SpeQ, mi da la seguente tensione stellata d'ingresso
le altre sono ottenibili mediante sfasamento di $(2\pi)/3$. Corretto?
"RenzoDF":
Semplicemente il rapporto fra la potenza attiva totale $ P_t $ e la potenza apparente totale $ A_t $, complessivamente assorbite dai tre carichi.
Ciò che mi hai suggerito non equivale proprio a ciò che ho proposto io? Ossia:
\(\displaystyle cos(\phi_{glob}) = \frac{P_M + P_{RX}}{3EI} = \frac{P_t}{A_t}. \)
"CosenTheta":
... Assumo, quindi, che fino a questo punto sia tutto corretto. ...
Simbolicamente si, ma numericamente non avevo controllato (per esempio quella EM).
"CosenTheta":
... Forse avrei dovuto impostare l'equazione complessa ...
Sì, puoi usare la relazione fasoriale ma, ripeto, c'è anche la via delle sole potenze.
"CosenTheta":
... le altre sono ottenibili mediante sfasamento di $(2\pi)/3$. Corretto?...
Sì, ma "le altre" non vedo a cosa ti possano servire; quello che ti serve è solo il modulo della stellata.
"CosenTheta":
... ciò che mi hai suggerito non equivale proprio a ciò che ho proposto io?...
Sì, equivale alla relazione che avevi già scritto .
... usando la corrente complessiva in ingresso.BTW In questo problema avresti anche potuto usare il circuito equivalente monofase, per semplificare un po' i calcoli.
Rettifico: la tensione stellata del motore vale $E_M = 104.16$.
Non conosco questo metodo del circuito equivalente monofase; cercherò di rimediare alla mancanza.
Svolgendo di nuovo i conti, utilizzando la formula che ho proposto, mi trovo all'incirca $cos(\phi_{glob}) = 0.91$
"RenzoDF":
In questo problema avresti anche potuto usare il circuito equivalente monofase, per semplificare un po' i calcoli.
Non conosco questo metodo del circuito equivalente monofase; cercherò di rimediare alla mancanza.
Svolgendo di nuovo i conti, utilizzando la formula che ho proposto, mi trovo all'incirca $cos(\phi_{glob}) = 0.91$
Per il fattore di potenza è consuetudine usare tre cifre significative, ma solo se me ne indichi di più posso confermare o meno il tuo risultato.
Estendendo il risultato a tre cifre significative, mi trovo $cos(\phi_{glob}) = 0.918.$
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