[Elettrotecnica] Esercizio regime sinusoidale
Ciao a tutti, stavo facando un esercizio di un vecchio compito d'esame e mi sono imbattuto in questo che è senza risoluzione allora chiedo a voi se la mia idea per la risoluzione è giusta o meno.... (l'immagine dovete aprirla in un'altra scheda... l'ha voluta caricare così tinypic... -.-)
La mia idea per la risoluzione sarebbe:
subito dopo la chiusura dell'interruttore l'energia immagazzinata nel parallelo condensatore ed induttanza è la stessa immagazzinata all'ultimo istante con interruttore chiuso. Quindi:
$ W(t)= W_L(t)+W_C(t) = 1/2 LI_L^2 +1/2CU_c^2 $
inoltre il parallelo C L non dissipa energia, infatti la stessa viene "travasata" tra induttore e condensatore ciclicamente.
Quindi, Io proseguirei così per la risoluzione:
Determino la corrente in L e la caduta di tensione su C con l'interruttore chiuso. la corrente su L sarà la stessa che con l'interruttore aperto nei primi istanti e la caduta di tensione idem. Trovate le due, basta sostituirle, e trovare l'espressione temporale dell'energia...
La mia idea per la risoluzione sarebbe:
subito dopo la chiusura dell'interruttore l'energia immagazzinata nel parallelo condensatore ed induttanza è la stessa immagazzinata all'ultimo istante con interruttore chiuso. Quindi:
$ W(t)= W_L(t)+W_C(t) = 1/2 LI_L^2 +1/2CU_c^2 $
inoltre il parallelo C L non dissipa energia, infatti la stessa viene "travasata" tra induttore e condensatore ciclicamente.
Quindi, Io proseguirei così per la risoluzione:
Determino la corrente in L e la caduta di tensione su C con l'interruttore chiuso. la corrente su L sarà la stessa che con l'interruttore aperto nei primi istanti e la caduta di tensione idem. Trovate le due, basta sostituirle, e trovare l'espressione temporale dell'energia...
Risposte
Certo, il tuo primo obiettivo è quello di andare a determinare le condizioni iniziali per le due variabili di stato: $i_L(0^-)$ e $v_C(0^-)$, che ti permetteranno di rispondere subito alla prima domanda, ma che ti serviranno anche per le rimanenti due.
E' sparito tutto il resto della discussione che mi sembrava interessante e sulla quale avevo delle domande...c'era persino un bel grafico..
Lo ho cancellato io, ma sto un attimo a ripostarlo. 
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Per risolvere userei un metodo vecchio di più di tre millenni [nota]Cfr. Papiro di Rhind.[/nota], metodo con il quale, a partire da una arbitraria corrente unitaria (fasoriale) nell'induttore, risaliamo alla tensione del GIT con la seguente "catena implicativa egizia":
$I_{L_f}=1 \Rightarrow V_{L_f}=j10\Rightarrow I_{C_f}=-10 \Rightarrow V_{R_f}=R(I_{L_f}+I_{C_f})=-60\Rightarrow E_f=V_L+V_R=-60+j10$
dalla quale ricavare "il fattore di verità k"
$k=\frac{E_v}{E_f}=-\frac{60+j10}{37} $
per poter trasformare il "falso" in "vero" e ottenere dalla parte reale dei fasori il valore istantaneo per $t=0$
$I_L=kI_{L_f}=-\frac{60+j10}{37} \Rightarrow i_L(0)=-\frac{60}{37}\approx -1.62\ \text{A}$
$V_C=kV_{C_f}=\frac{100-j600}{37} \Rightarrow v_C(0)=\frac{100 }{37}\approx 2.70\ \text{V}$
al fine di scrivere l'energia complessiva accumulata nei due bipoli con memoria, indipendente dal tempo, come
$W(t)=W_t=W_L(0)+W_C(0)\approx 0.0840 \ \text{J}$
All'apertura dell'interruttore, non essendo presenti effetti dissipativi [nota]Nel modello adottato.[/nota] l'energia verrà mantenuta nel tempo e il circuito oscillerà ad una pulsazione
$\omega=\frac{1}{sqrt{LC}}\approx 63.2\ \text{rad/s}$
Il circuito presenterà un valore massimo per la corrente e per la tensione facilmente ricavabili dall'energia
$I_M=\sqrt(\frac{2W_t}{L})\approx 1.83\ \text{A}$
$V_M=\sqrt(\frac{2W_t}{C})\approx 5.80\ \text{V}$
mentre le fasi dalle
$\varphi_A=arccos(\frac{i_L(0)}{I_M})\approx 2.658\ \text{rad}$
$\varphi_V=arccos(\frac{v_L(0)}{V_M})\approx 1.087 \ \text{rad}$
Per controlla è possibile simulare il transitorio (per esempio) via LTspice,
andando a misurare (via direttiva spice .MEAS i valori iniziali all'apertura dell'interruttore e l'energia massima e minima presente nel parallelo in un'intervallo dopo l'apertura, per es. nell'intervallo $0.25
plottando gli andamenti della corrente nell'induttore e della tensione sul condensatore
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Per risolvere userei un metodo vecchio di più di tre millenni [nota]Cfr. Papiro di Rhind.[/nota], metodo con il quale, a partire da una arbitraria corrente unitaria (fasoriale) nell'induttore, risaliamo alla tensione del GIT con la seguente "catena implicativa egizia":
$I_{L_f}=1 \Rightarrow V_{L_f}=j10\Rightarrow I_{C_f}=-10 \Rightarrow V_{R_f}=R(I_{L_f}+I_{C_f})=-60\Rightarrow E_f=V_L+V_R=-60+j10$
dalla quale ricavare "il fattore di verità k"
$k=\frac{E_v}{E_f}=-\frac{60+j10}{37} $
per poter trasformare il "falso" in "vero" e ottenere dalla parte reale dei fasori il valore istantaneo per $t=0$
$I_L=kI_{L_f}=-\frac{60+j10}{37} \Rightarrow i_L(0)=-\frac{60}{37}\approx -1.62\ \text{A}$
$V_C=kV_{C_f}=\frac{100-j600}{37} \Rightarrow v_C(0)=\frac{100 }{37}\approx 2.70\ \text{V}$
al fine di scrivere l'energia complessiva accumulata nei due bipoli con memoria, indipendente dal tempo, come
$W(t)=W_t=W_L(0)+W_C(0)\approx 0.0840 \ \text{J}$
All'apertura dell'interruttore, non essendo presenti effetti dissipativi [nota]Nel modello adottato.[/nota] l'energia verrà mantenuta nel tempo e il circuito oscillerà ad una pulsazione
$\omega=\frac{1}{sqrt{LC}}\approx 63.2\ \text{rad/s}$
Il circuito presenterà un valore massimo per la corrente e per la tensione facilmente ricavabili dall'energia
$I_M=\sqrt(\frac{2W_t}{L})\approx 1.83\ \text{A}$
$V_M=\sqrt(\frac{2W_t}{C})\approx 5.80\ \text{V}$
mentre le fasi dalle
$\varphi_A=arccos(\frac{i_L(0)}{I_M})\approx 2.658\ \text{rad}$
$\varphi_V=arccos(\frac{v_L(0)}{V_M})\approx 1.087 \ \text{rad}$
Per controlla è possibile simulare il transitorio (per esempio) via LTspice,
andando a misurare (via direttiva spice .MEAS i valori iniziali all'apertura dell'interruttore e l'energia massima e minima presente nel parallelo in un'intervallo dopo l'apertura, per es. nell'intervallo $0.25
plottando gli andamenti della corrente nell'induttore e della tensione sul condensatore
Adesso mi torna $V_(Rf)=-60 ; E_f= V_L+V_R= -60+j10=-(60-10j ) ; k=E_v/E_f =-(60+j10)/37 $ e poi guardo il resto 
Trovo $V_C= (100-600j )/37 $ e non $(100+600j)/37 $.
Domanda : perché il valore istantaneo per $t=0 $ dei valori di $ I_L ; V_C $ si ottiene prendendo la sola parte reale dei relativi fasori ?
I valori max trovati $ I_M = 1.83 A ; V_M = 5.80V $ non sono congrui con i valori del grafico.
Non dovrebbero essere rispettivamente : $ 1.64 A ; 16.43 V $ ?
Temo di confondermi tra situazione a regime per $t< 0 $ e situazione per $t>0 $ in oscillazione libera.
Domanda : perché il valore istantaneo per $t=0 $ dei valori di $ I_L ; V_C $ si ottiene prendendo la sola parte reale dei relativi fasori ?
I valori max trovati $ I_M = 1.83 A ; V_M = 5.80V $ non sono congrui con i valori del grafico.
Non dovrebbero essere rispettivamente : $ 1.64 A ; 16.43 V $ ?
Temo di confondermi tra situazione a regime per $t< 0 $ e situazione per $t>0 $ in oscillazione libera.
"Camillo":
Trovo $V_C= (100-600j )/37 $ e non $(100+600j)/37 $.
Certo, ovviamente il mio segno è errato, ora correggo.
"Camillo":
... perché il valore istantaneo per $t=0 $ dei valori di $ I_L ; V_C $ si ottiene prendendo la sola parte reale dei relativi fasori ?
Semplicemente perché i fasori rappresentano la "situazione" al tempo t=0 e, visto l'uso della funzione base cosinusoidale, e di fasori a valore massimo, così come E(0)=100V, anche per le altre tensioni e correnti, la parte reale del fasore rappresenta il valore istantaneo per t=0, pari al prodotto fra valore massimo e coseno dell'angolo di fase,
$v_C(t)=V_Mcos(\omega t+ \varphi_V)=5.80cos(\omega t+ 1.087) \Rightarrow v_C(0)=5.80cos(1.087)\approx 2.70\ V$
$i_L(t)=I_Mcos(\omega t+ \varphi_A)=1.83cos(\omega t+ 2.658) \Rightarrow i_L(0)=1.83cos(2.658)\approx -1.62\ A$
"Camillo":
... I valori max trovati $ I_M = 1.83 A ; V_M = 5.80V $ non sono congrui con i valori del grafico.
Non capisco in base a cosa lo affermi, io direi che corrispondono alla perfezione,
"Camillo":
... Non dovrebbero essere rispettivamente : $ 1.64 A ; 16.43 V $ ? Temo di confondermi tra situazione a regime per $t< 0 $ e situazione per $t>0 $ in oscillazione libera
Direi proprio che ti confondi, quelli sono i valori massimi prima dell'apertura dell'interruttore, mentre le funzioni del tempo richieste dal problema sono quelle relative a $t>0$ [nota]Giusto per precisare, come puoi notare, per ragioni "idrauliche" l'interruttore lo ho fatto chiudere a $t=\pi$ e non a $t=0$, ma nulla cambia; nel grafico poi, per rappresentare l'intervallo nel dettaglio, LTspice ha sottratto 3 secondi all'asse dei tempi.[/nota].
Le tue spiegazioni mi hanno chiarito la situazione.
Non avevo mai visto il metodo di partire da valore arbitrario (ad es per corrente ) per poi risalire al valore di una grandezza nota e confrontare i valori ottenuti ricavando un coefficiente di verità $ k $ e aggiustare il tiro.
Ho usato anche il " metodo tradizionale " calcolando l'impedenza del parallelo tra L e C , sommato poi alla resistenza e dall'impedenza totale tramite partitore di tensione arrivare alle espressioni di $I_L , V_C $ , dedurne il valore al tempo $t=0 $ etc .
Nel complesso mi sembra un esercizio d'esame non banale, anzi...
Immagino sia un testo d'esame a Ing . Elettrica
Non avevo mai visto il metodo di partire da valore arbitrario (ad es per corrente ) per poi risalire al valore di una grandezza nota e confrontare i valori ottenuti ricavando un coefficiente di verità $ k $ e aggiustare il tiro.
Ho usato anche il " metodo tradizionale " calcolando l'impedenza del parallelo tra L e C , sommato poi alla resistenza e dall'impedenza totale tramite partitore di tensione arrivare alle espressioni di $I_L , V_C $ , dedurne il valore al tempo $t=0 $ etc .
Nel complesso mi sembra un esercizio d'esame non banale, anzi...
Immagino sia un testo d'esame a Ing . Elettrica
"Camillo":
... Non avevo mai visto il metodo di partire da valore arbitrario (ad es per corrente ) per poi risalire al valore di una grandezza nota e confrontare i valori ottenuti ricavando un coefficiente di verità $ k $ e aggiustare il tiro.
Null'altro che un'applicazione classica della "regula falsi" portata in Italia dal Fibonacci [nota]Capitolo 12 dal suo Liber Abaci,[/nota], ma come dicevo nota agli egizi da "tempo".
Per i più curiosi ecco come appare nel citato papiro dello scriba Ahmes
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