Elettrotecnica e numeri complessi
Due parole sui numeri complessi usati in Elettrotecnica .
In Elettrotecnica si usa $ j$ come unità immaginaria $(sqrt(-1))$ invece che $i $ , perché quest’ultima è in genere usata per indicare l’intensità della corrente elettrica.
Non va pensato che $j $ sia qualcosa di “immaginario “ ma semplicemente un operatore che applicato ad un vettore lo fa ruotare di $90 °$ .Ad esempio considera il vettore $a+jb $ ( fai un disegno sul piano di Gauss ) , adesso considera il nuovo vettore $j (a+jb) =-b+ja$ che non è altro che il vettore di prima ruotato in senso antiorario di $90 °$ ( quindi in anticipo).
Queste considerazioni capitano a proposito ( fortuna ha voluto ..) per aiutare a semplificare i calcoli dei circuiti in Elettrotecnica.
I numeri complessi sono un comodo algoritmo e non hanno nulla di immaginario..
Considera un circuito costituito da una resistenza $R$ in serie ad una induttanza $L$ e percorso da corrente alternata sinusoidale di frequenza $f$ e di valore efficace $I$ ; sappiamo che la tensione $V$ , ovviamente alternata ai capi del circuito è formata da due componenti che si sommano opportunamente:
• $V_R = R*I$ quindi ancora una sinusoide in fase con quella di $I$
• $V_L = omega L I $ spostata di $90°$ in ritardo rispetto ad $I$ .
• La tensione totale necessaria ai capi del circuito per far circolare la corrente $I$ sarà:
$bar V=R bar I+ bar(omega LI )$ -relazione vettoriale perché le due tensioni non sono in fase ma ad es. se una è un seno , l’altra sarà un coseno.
La quantità $omega L = 2pi fL $ , (che è omogenea con una resistenza) si chiama reattanza del circuito e si indica con $X $ e si esprime in $Ohm $.
In conclusione per far circolare la corrente $I$ nel circuito di resistenza $R$ e di reattanza $X$ , essendo i vettori $bar RI; bar XI $ a $90° $ fra loro occorre una tensione ( un disegno aiuta ) $V= sqrt((RI)^2+(XI)^2) = sqrt(R^2+X^2) *I =Z I $ , essendo l’impedenza $Z= sqrt(R^2+X^2) $ di un circuito in corrente alternata .
Quindi se in un circuito chiuso di impedenza complessiva $Z$ agisce una f.e.m. alternata $E$ , in esso circolerà una corrente il cui valore sarà dato da $I= E/Z$ , con $I $ in Ampere , se $E$ è espresso in Volt e $Z$ in $Ohm$.
Ma la $E $( o la $V $) non saranno più in fase tra loro .Facendo un disegno si vede che la $I$ è spostata in ritardo di un angolo $phi$ dato da
$tan phi =X/R =(omega*L)/R= ( 2 pi f L)/R $.
Viene ora “ spontaneo , forse naturale o solo utile ” scrivere $ Z =R+jX$ ( ecco di nuovo l’unità immaginaria ).
Infatti $|Z|=sqrt (R^2+X^2) $ e $arg Z = phi = arctg X/R$.
Per mostrare la duttilità dell’uso dei numeri complessi relativamente ai calcoli di elettrotecnica , consideriamo di avere, rispetto ad un certo sistema di riferimento la corrente $I$ espressa da $ 1+j $ e $Z=5+3j $ allora si avrebbe subito : $ V=Z I = (1+j)*( 5+3j ) = 2+8j.$
In Elettrotecnica si usa $ j$ come unità immaginaria $(sqrt(-1))$ invece che $i $ , perché quest’ultima è in genere usata per indicare l’intensità della corrente elettrica.
Non va pensato che $j $ sia qualcosa di “immaginario “ ma semplicemente un operatore che applicato ad un vettore lo fa ruotare di $90 °$ .Ad esempio considera il vettore $a+jb $ ( fai un disegno sul piano di Gauss ) , adesso considera il nuovo vettore $j (a+jb) =-b+ja$ che non è altro che il vettore di prima ruotato in senso antiorario di $90 °$ ( quindi in anticipo).
Queste considerazioni capitano a proposito ( fortuna ha voluto ..) per aiutare a semplificare i calcoli dei circuiti in Elettrotecnica.
I numeri complessi sono un comodo algoritmo e non hanno nulla di immaginario..
Considera un circuito costituito da una resistenza $R$ in serie ad una induttanza $L$ e percorso da corrente alternata sinusoidale di frequenza $f$ e di valore efficace $I$ ; sappiamo che la tensione $V$ , ovviamente alternata ai capi del circuito è formata da due componenti che si sommano opportunamente:
• $V_R = R*I$ quindi ancora una sinusoide in fase con quella di $I$
• $V_L = omega L I $ spostata di $90°$ in ritardo rispetto ad $I$ .
• La tensione totale necessaria ai capi del circuito per far circolare la corrente $I$ sarà:
$bar V=R bar I+ bar(omega LI )$ -relazione vettoriale perché le due tensioni non sono in fase ma ad es. se una è un seno , l’altra sarà un coseno.
La quantità $omega L = 2pi fL $ , (che è omogenea con una resistenza) si chiama reattanza del circuito e si indica con $X $ e si esprime in $Ohm $.
In conclusione per far circolare la corrente $I$ nel circuito di resistenza $R$ e di reattanza $X$ , essendo i vettori $bar RI; bar XI $ a $90° $ fra loro occorre una tensione ( un disegno aiuta ) $V= sqrt((RI)^2+(XI)^2) = sqrt(R^2+X^2) *I =Z I $ , essendo l’impedenza $Z= sqrt(R^2+X^2) $ di un circuito in corrente alternata .
Quindi se in un circuito chiuso di impedenza complessiva $Z$ agisce una f.e.m. alternata $E$ , in esso circolerà una corrente il cui valore sarà dato da $I= E/Z$ , con $I $ in Ampere , se $E$ è espresso in Volt e $Z$ in $Ohm$.
Ma la $E $( o la $V $) non saranno più in fase tra loro .Facendo un disegno si vede che la $I$ è spostata in ritardo di un angolo $phi$ dato da
$tan phi =X/R =(omega*L)/R= ( 2 pi f L)/R $.
Viene ora “ spontaneo , forse naturale o solo utile ” scrivere $ Z =R+jX$ ( ecco di nuovo l’unità immaginaria ).
Infatti $|Z|=sqrt (R^2+X^2) $ e $arg Z = phi = arctg X/R$.
Per mostrare la duttilità dell’uso dei numeri complessi relativamente ai calcoli di elettrotecnica , consideriamo di avere, rispetto ad un certo sistema di riferimento la corrente $I$ espressa da $ 1+j $ e $Z=5+3j $ allora si avrebbe subito : $ V=Z I = (1+j)*( 5+3j ) = 2+8j.$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo