[Elettrotecnica] Dubbi sulla linearità
Salve, vi volevo chiedere un aiuto sul concetto di linearità.
Studiando la risposta all'impulso il libro specifica che posso applicare la linearità essendo il circuito inizialmente a riposo. Volevo chiedervi se il libro vuole intendere che se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare oppure che semplicemente si dovrebbe agire in un altro modo perché vanno considerate le condizioni iniziali.
Vi ringrazio.
Studiando la risposta all'impulso il libro specifica che posso applicare la linearità essendo il circuito inizialmente a riposo. Volevo chiedervi se il libro vuole intendere che se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare oppure che semplicemente si dovrebbe agire in un altro modo perché vanno considerate le condizioni iniziali.
Vi ringrazio.
Risposte
"Vincenzo27":
Salve, vi volevo chiedere un aiuto sul concetto di linearità.
Studiando la risposta all'impulso il libro specifica che posso applicare la linearità essendo il circuito inizialmente a riposo. Volevo chiedervi se il libro vuole intendere che se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare oppure che semplicemente si dovrebbe agire in un altro modo perché vanno considerate le condizioni iniziali.
Vi ringrazio.
Tutte e due.
Se avessi condizioni iniziali diverse da 0, non si applica la linearita' e si dovrebbe agire in altro modo.
Prendi un semplice circuito composto da una resistenza da $2 \Omega$ in serie a un condensatore carico a $3 V$.
Un circuito e' lineare se si puo' applicare la sovrapposizione degli effetti, ad esempio misurando la corrente iniziale in quel circuito in funzione della tensione applicata.
Ovvero deve essere
$i(v_1 + v_2) = i(v_1)+ i(v_2)$
Ma se esplicitiamo le formule
$(v_1+v_2 - 3)/2 = (v_1 - 3)/2+(v_2 - 3)/2$
$v_1+v_2 - 3 = v_1 - 3+v_2 - 3$
$-3 = -6 $ ???
Quindi la linearita' non si applica.
"Vincenzo27":
... se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare ...
Se il sistema è lineare resta lineare. Tuttavia, la risposta completa è la somma della risposta con ingresso zero e della risposta con stato zero. Volendo fare uno degli esempi più semplici:
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=q_o):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_o):} + \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=0):}$
"Quinzio":
[quote="Vincenzo27"]Salve, vi volevo chiedere un aiuto sul concetto di linearità.
Studiando la risposta all'impulso il libro specifica che posso applicare la linearità essendo il circuito inizialmente a riposo. Volevo chiedervi se il libro vuole intendere che se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare oppure che semplicemente si dovrebbe agire in un altro modo perché vanno considerate le condizioni iniziali.
Vi ringrazio.
Tutte e due.
Se avessi condizioni iniziali diverse da 0, non si applica la linearita' e si dovrebbe agire in altro modo.
Prendi un semplice circuito composto da una resistenza da $2 \Omega$ in serie a un condensatore carico a $3 V$.
Un circuito e' lineare se si puo' applicare la sovrapposizione degli effetti, ad esempio misurando la corrente iniziale in quel circuito in funzione della tensione applicata.
Ovvero deve essere
$i(v_1 + v_2) = i(v_1)+ i(v_2)$
Ma se esplicitiamo le formule
$(v_1+v_2 - 3)/2 = (v_1 - 3)/2+(v_2 - 3)/2$
$v_1+v_2 - 3 = v_1 - 3+v_2 - 3$
$-3 = -6 $ ???
Quindi la linearita' non si applica.[/quote]
Perfetto, ti ringrazio.
Quindi quello che si fa è considerare il condensatore inizialmente scarico e aggiungere in parallelo al condensatore un generatore impulsivo di corrente, in questo modo ho tutti bipoli lineari e poi applico la sovrapposizione degli effetti, giusto?
Salve, vi ringrazio entrambi per la risposta.
Da quello che ho capito il mio libro definisce lineare le relazioni rappresentabili con una retta passante per l'origine quindi un'equazione del tipo y=kz+h con k e h costanti non la definisce lineare, in quanto non soddisfa la linearità.
Forse si tratta di una questione di convenzioni, magari in elettrotecnica si definisce la linearità in questo modo mentre in altri ambiti tipo nella teoria dei controlli automatici si definisce come ha spiegato @Noodles, è possibile?
Vi ringrazio.
Da quello che ho capito il mio libro definisce lineare le relazioni rappresentabili con una retta passante per l'origine quindi un'equazione del tipo y=kz+h con k e h costanti non la definisce lineare, in quanto non soddisfa la linearità.
Forse si tratta di una questione di convenzioni, magari in elettrotecnica si definisce la linearità in questo modo mentre in altri ambiti tipo nella teoria dei controlli automatici si definisce come ha spiegato @Noodles, è possibile?
Vi ringrazio.
"Vincenzo27":
Studiando la risposta all'impulso il libro specifica che posso applicare la linearità essendo il circuito inizialmente a riposo.
Immagino che il circuito inizialmente a riposo fosse lineare secondo una qualche definizione sensata.
"Vincenzo27":
Volevo chiedervi se il libro vuole intendere che se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare ...
Tenderei ad escluderlo:
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=q_o):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_o):} + \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=0):}$
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=(E_1+E_2)/R),(q(0)=q_(01)+q_(02)):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=q_(01)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=q_(02)):}$
"Vincenzo27":
... oppure che semplicemente si dovrebbe agire in un altro modo perché vanno considerate le condizioni iniziali.
Propenderei per questa seconda ipotesi.
La linearità è da intendersi come linearità della risposta del circuito (cfr. Kuh Desoer Fondamenti di Teoria dei Circuiti cap.4 par. 4).
Se lo stato iniziale è nullo, la risposta del circuito (lineare e tempo-invariante) è una funzione lineare dell'ingresso, ovvero gode delle proprietà di:
Additività
Se $i_1(t)$ e $i_2(t)$ sono gli ingressi e $v_1(t)$ e $v_2(t)$ le rispettive risposte, la risposta a $i_1(t) + i_2(t)$ sarà $v_1(t) + v_2(t)$
Omogeneità
Se $i(t)$ è l'ingresso e $v(t)$ la rispettiva risposta, allora la risposta a $k*i(t)$ sarà $k*v(t)$ con $k$ costante reale arbitraria.
Invece nel caso di stato iniziale non nullo, la linearità della risposta completa non vale più.
L'esempio corretto deve essere fatto a parità di stato iniziale, ovvero supponiamo di avere un generatore di corrente $i$ in parallelo a un condensatore e una resistenza sempre in parallelo. Le equazioni del circuito con il condensatore carico a tensione $V_0$ saranno:
$C (dv_1)/dt + 1/R v_1 = i_1$
con $v_1(0) = V_0$
$C (dv_2)/dt + 1/R v_2 = i_2$
con $v_2(0) = V_0$
allora è facile verificare che la soluzione al problema
$C (dv)/dt + 1/R v = i_1+i_2$
con $v(0) = V_0$
non soddisfa la proprietà additiva ovvero $v(t) ne v_1(t) + v_2(t)$
Se lo stato iniziale è nullo, la risposta del circuito (lineare e tempo-invariante) è una funzione lineare dell'ingresso, ovvero gode delle proprietà di:
Additività
Se $i_1(t)$ e $i_2(t)$ sono gli ingressi e $v_1(t)$ e $v_2(t)$ le rispettive risposte, la risposta a $i_1(t) + i_2(t)$ sarà $v_1(t) + v_2(t)$
Omogeneità
Se $i(t)$ è l'ingresso e $v(t)$ la rispettiva risposta, allora la risposta a $k*i(t)$ sarà $k*v(t)$ con $k$ costante reale arbitraria.
Invece nel caso di stato iniziale non nullo, la linearità della risposta completa non vale più.
L'esempio corretto deve essere fatto a parità di stato iniziale, ovvero supponiamo di avere un generatore di corrente $i$ in parallelo a un condensatore e una resistenza sempre in parallelo. Le equazioni del circuito con il condensatore carico a tensione $V_0$ saranno:
$C (dv_1)/dt + 1/R v_1 = i_1$
con $v_1(0) = V_0$
$C (dv_2)/dt + 1/R v_2 = i_2$
con $v_2(0) = V_0$
allora è facile verificare che la soluzione al problema
$C (dv)/dt + 1/R v = i_1+i_2$
con $v(0) = V_0$
non soddisfa la proprietà additiva ovvero $v(t) ne v_1(t) + v_2(t)$
Ciao ingres. Il quesito iniziale era sostanzialmente quello sottostante:
Dal punto di vista puramente matematico:
perchè la condizione iniziale può essere soddisfatta se e solo se:
Già l'esempio di Quinzio si fondava su questo. Tuttavia, consultando alcune risorse in rete, mi sembra di capire che sia invalso definire un sistema "lineare" anche in presenza di questa eccezione.
"Vincenzo27":
... se avessi condizioni iniziali diverse da 0, il sistema non sarebbe più lineare ...
Dal punto di vista puramente matematico:
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=q_o):} + \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=q_o):} ne \{((dq)/(dt)+q/(RC)=(E_1+E_2)/R),(q(0)=q_o):}$
perchè la condizione iniziale può essere soddisfatta se e solo se:
$q_o=0$
Già l'esempio di Quinzio si fondava su questo. Tuttavia, consultando alcune risorse in rete, mi sembra di capire che sia invalso definire un sistema "lineare" anche in presenza di questa eccezione.
Ciao Noodles
Si, sono d'accordo con te e ti confermo che un sistema è lineare quando
1) la risposta completa è somma della risposta con ingresso zero e con stato zero
2) la risposta è lineare rispetto allo stato iniziale
3) la risposta è lineare rispetto all'ingresso
Questo perchè la dizione di "sistema" in questo caso fa riferimento alle caratteristiche intrinseche di linearità e tempo-invarianza del circuito.
Quello che non vale è che la risposta completa sia lineare rispetto alle risposte complete in presenza di un condizioni iniziali non nulle. .
Cito testualmente il Kuh Desoer, che dopo aver verificato la non additività, scrive " Ciò sottolinea ancora il fatto importante che le condizioni iniziali, insieme all'equazione diffrenziale, caratterizzano la relazione ingresso-risposta di un circuito". Qui in pratica il "sistema" fa riferimento al circuito e alle sue condizioni iniziali, a cui sono applicati gli ingressi e da cui si ottiene una risposta completa che per quanto detto non soddisfa l'additività.
Poichè spesso si confonde le proprietà della risposta di un sistema con le proprietà del sistema stesso è opportuno sottolineare che a seconda di come si definisce il "sistema" possono non essere la stessa cosa.
Si, sono d'accordo con te e ti confermo che un sistema è lineare quando
1) la risposta completa è somma della risposta con ingresso zero e con stato zero
2) la risposta è lineare rispetto allo stato iniziale
3) la risposta è lineare rispetto all'ingresso
Questo perchè la dizione di "sistema" in questo caso fa riferimento alle caratteristiche intrinseche di linearità e tempo-invarianza del circuito.
Quello che non vale è che la risposta completa sia lineare rispetto alle risposte complete in presenza di un condizioni iniziali non nulle. .
Cito testualmente il Kuh Desoer, che dopo aver verificato la non additività, scrive " Ciò sottolinea ancora il fatto importante che le condizioni iniziali, insieme all'equazione diffrenziale, caratterizzano la relazione ingresso-risposta di un circuito". Qui in pratica il "sistema" fa riferimento al circuito e alle sue condizioni iniziali, a cui sono applicati gli ingressi e da cui si ottiene una risposta completa che per quanto detto non soddisfa l'additività.
Poichè spesso si confonde le proprietà della risposta di un sistema con le proprietà del sistema stesso è opportuno sottolineare che a seconda di come si definisce il "sistema" possono non essere la stessa cosa.
Salve, vi ringrazio ancora per le risposte.
Quindi vi è una differenza tra linearità riferita alla risposta del sistema e linearità del circuito inteso come circuito di elementi lineari ( quindi descritto da equazioni lineari).
Nel caso in esame il circuito è lineare ovvero costituito da bipoli lineari però la sua risposta a un ingresso non è lineare (in quanto non soddisfa l'additività a causa delle condizioni iniziali).
Infatti quello che si fa è considerare un generatore impulsivo di corrente in parallelo al condensatore con condizioni iniziali nulle di quest'ultimo, così ho un sistema che ha risposta lineare e come ingresso i generatori (quello impulsivo più quello che c'era prima) e risolvo con la sovrapposizione degli effetti.
Però il circuito era (e resta) già lineare (cioè costituito da bipoli lineari) è corretto?
Vi ringrazio e mi scuso per il disturbo.
Quindi vi è una differenza tra linearità riferita alla risposta del sistema e linearità del circuito inteso come circuito di elementi lineari ( quindi descritto da equazioni lineari).
Nel caso in esame il circuito è lineare ovvero costituito da bipoli lineari però la sua risposta a un ingresso non è lineare (in quanto non soddisfa l'additività a causa delle condizioni iniziali).
Infatti quello che si fa è considerare un generatore impulsivo di corrente in parallelo al condensatore con condizioni iniziali nulle di quest'ultimo, così ho un sistema che ha risposta lineare e come ingresso i generatori (quello impulsivo più quello che c'era prima) e risolvo con la sovrapposizione degli effetti.
Però il circuito era (e resta) già lineare (cioè costituito da bipoli lineari) è corretto?
Vi ringrazio e mi scuso per il disturbo.
"Vincenzo27":
Infatti quello che si fa è considerare un generatore impulsivo di corrente in parallelo al condensatore con condizioni iniziali nulle di quest'ultimo, così ho un sistema che ha risposta lineare e come ingresso i generatori (quello impulsivo più quello che c'era prima) e risolvo con la sovrapposizione degli effetti.
Corretto. I generatori di stato servono proprio per semplificarsi la vita e ricondursi allo stato zero.
"Vincenzo27":
Però il circuito era (e resta) già lineare (cioè costituito da bipoli lineari) è corretto?
Corretto. Quella è una caratteristica intrinseca del circuito a prescindere dallo stato iniziale.
Perfetto, ti ringrazio.
"ingres":
Un sistema è lineare quando:
1) la risposta completa è somma della risposta con ingresso zero e con stato zero
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=q_0):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_0):} + \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=0):}$
"ingres":
2) la risposta è lineare rispetto allo stato
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)+q_(02)):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(02)):}$
"ingres":
3) la risposta è lineare rispetto all'ingresso
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=0):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=0):}$
"ingres":
Questo perchè la dizione di "sistema" in questo caso fa riferimento alle caratteristiche intrinseche di linearità e tempo-invarianza del circuito.
Ottimo. Mi mancava una definizione chiara ed esaustiva. Tra l'altro, in questo modo:
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=q_(01)+q_(02)):} -=$
$-= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)+q_(02)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=0):} -=$
$-= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(02)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=0):}$
"ingres":
Cito testualmente il Kuh Desoer che, dopo aver verificato la non additività, scrive "Ciò sottolinea ancora il fatto importante che le condizioni iniziali, insieme all'equazione differenziale, caratterizzano la relazione ingresso-risposta di un circuito". Qui in pratica il "sistema" fa riferimento al circuito e alle sue condizioni iniziali, a cui sono applicati gli ingressi e da cui si ottiene una risposta completa che per quanto detto non soddisfa l'additività. Poichè spesso si confonde le proprietà della risposta di un sistema con le proprietà del sistema stesso è opportuno sottolineare che a seconda di come si definisce il "sistema" possono non essere la stessa cosa.
Ottimo. Sta trattando l'eccezione di cui si discuteva in precedenza.
"ingres":
Quello che non vale è che la risposta completa sia lineare rispetto alle risposte complete in presenza di condizioni iniziali non nulle.
Immagino che tu intenda:
$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=q_0):} ne \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=q_0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=q_0):}$
Del resto:
"ingres":
L'esempio corretto deve essere fatto a parità di stato iniziale ...
Se non mi sono perso qualcosa direi che ci sono. Senza una dritta avrei fatto non poca fatica a sintetizzare in modo pulito e corretto. Grazie.
Ottima sintesi! 
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