[Elettrotecnica] Correzione circuito con metodo maglie
circuito:
Vi riscrivo i dati:
Ho preso l'albero con 3 maglie, le descrivo:
1° maglia -> comprende ig1,R1,R2 con la corrente in senso orario.
2° maglia -> comprende Vg2,C1,R1 con la corrente in senso orario.
3° maglia -> comprende C1,L1,R2 con la corrente in senso orario.
\(\displaystyle \begin{cases} i_{1}(R_{1} + R_{2}) + i_{2} (-R_{2}) +i_{3}(-R_{2}) = -Vg_{1} \\ i_{1}(-R_{1}) + i_{2}(\frac{1}{jwC_{1}} + R_{1}) +i_{3}(\frac{-1}{jwC_{1}}) = -Vg2 \\ i_{1}(-R_{2}) + i_{2}(\frac{-1}{jwC_{1}}) + i_{3}(R_{2} + \frac{1}{jwC_{1}} + jwL_{1}) = 0 \end{cases} \)
Equazione del generatore di corrente:
\(\displaystyle i_{1} = ig1 \)
Equazione del generatore controllato:
\(\displaystyle Vg2 = 2 (ig1 -i_{3}) R_{2} \)
Pulsazione: \(\displaystyle w = 2 \)
\(\displaystyle ig1 \) lo conosco è \(\displaystyle 1 \).
Andando a sostituire questo due ultime equazione al sistema ho:
\(\displaystyle \begin{cases} Vg_{1} + i_{2} (-R_{2}) +i_{3}(-R_{2}) = -ig_{1}(R_{1} + R_{2}) \\ 0 + i_{2}(\frac{1}{jwC_{1}} + R_{1}) +i_{3}(\frac{-1}{jwC_{1}}-2R_{2}) = -2R_{2}ig_{1}+ig_{1}(R_{1}) \\ 0 + i_{2}(\frac{-1}{jwC_{1}}) + i_{3}(R_{2} + \frac{1}{jwC_{1}} + jwL_{1}) = ig_{1}(R_{2}) \end{cases} \)
Quindi in pratica ho sostituito a \(\displaystyle i_{1} = ig_{1} \) e a \(\displaystyle Vg2 = 2R_{2}ig_{1}-2R_{2}i_{3} \).
Ora le incognite sono: \(\displaystyle Vg_{1},i_{2},i_{3} \) che è risolvibile con 3 equazioni (il sistema).
Scritto in forma matriciale:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \frac{1}{2i} +1 & \frac{-1}{2i} -2 \\ 0 & \frac{-1}{2i} & 1+\frac{7i}{2} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} Vg1 \\ i_{2} \\ i_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Svolgendo la matrice, però non viene il risultato corretto. Sapreste indicarmi dove sbaglio?
Grazie delle eventuali risposte.
Vi riscrivo i dati:
ig1 = cos(2t) Vg2 = 2 * VR2 R1 = 1 ohm R2 = 1 ohm C1 = 1 F L1 = 2 H
Ho preso l'albero con 3 maglie, le descrivo:
1° maglia -> comprende ig1,R1,R2 con la corrente in senso orario.
2° maglia -> comprende Vg2,C1,R1 con la corrente in senso orario.
3° maglia -> comprende C1,L1,R2 con la corrente in senso orario.
\(\displaystyle \begin{cases} i_{1}(R_{1} + R_{2}) + i_{2} (-R_{2}) +i_{3}(-R_{2}) = -Vg_{1} \\ i_{1}(-R_{1}) + i_{2}(\frac{1}{jwC_{1}} + R_{1}) +i_{3}(\frac{-1}{jwC_{1}}) = -Vg2 \\ i_{1}(-R_{2}) + i_{2}(\frac{-1}{jwC_{1}}) + i_{3}(R_{2} + \frac{1}{jwC_{1}} + jwL_{1}) = 0 \end{cases} \)
Equazione del generatore di corrente:
\(\displaystyle i_{1} = ig1 \)
Equazione del generatore controllato:
\(\displaystyle Vg2 = 2 (ig1 -i_{3}) R_{2} \)
Pulsazione: \(\displaystyle w = 2 \)
\(\displaystyle ig1 \) lo conosco è \(\displaystyle 1 \).
Andando a sostituire questo due ultime equazione al sistema ho:
\(\displaystyle \begin{cases} Vg_{1} + i_{2} (-R_{2}) +i_{3}(-R_{2}) = -ig_{1}(R_{1} + R_{2}) \\ 0 + i_{2}(\frac{1}{jwC_{1}} + R_{1}) +i_{3}(\frac{-1}{jwC_{1}}-2R_{2}) = -2R_{2}ig_{1}+ig_{1}(R_{1}) \\ 0 + i_{2}(\frac{-1}{jwC_{1}}) + i_{3}(R_{2} + \frac{1}{jwC_{1}} + jwL_{1}) = ig_{1}(R_{2}) \end{cases} \)
Quindi in pratica ho sostituito a \(\displaystyle i_{1} = ig_{1} \) e a \(\displaystyle Vg2 = 2R_{2}ig_{1}-2R_{2}i_{3} \).
Ora le incognite sono: \(\displaystyle Vg_{1},i_{2},i_{3} \) che è risolvibile con 3 equazioni (il sistema).
Scritto in forma matriciale:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \frac{1}{2i} +1 & \frac{-1}{2i} -2 \\ 0 & \frac{-1}{2i} & 1+\frac{7i}{2} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} Vg1 \\ i_{2} \\ i_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Svolgendo la matrice, però non viene il risultato corretto. Sapreste indicarmi dove sbaglio?
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Così ad occhio ti dico subito che hai sbaglaito le equazioni; ad esempio, un primo errore che si vede è che la correte che circola in $R_1$ è diversa da quella che circola in $R_2$
ciao, secondo me l'errore è alla prima equazione, siccome non hai generatori di tensione su quell'anello la somma delle tensioni è nulla e l'equazione viene:
$ i_1(R_1+R_2)+i_2(-R_2)+i_3(-R_3)=0 $
riprova così e fammi sapere
$ i_1(R_1+R_2)+i_2(-R_2)+i_3(-R_3)=0 $
riprova così e fammi sapere
Grazie per le risposte.
Per Mos:
E' vero non ho generatori di tensione (sulla prima maglia) ma ne ho uno di corrente (sulla prima maglia). Visto che faccio le maglia devo scrivere l'equazione costitutiva del generatore di corrente \(\displaystyle i_{1} = ig_{1} \).
\(\displaystyle i_{1}(R_{1} +R_{2}) + i_{2} (-R_{2}) + i_{3} (-R_{2}) = -Vg_{1}\)
Dove \(\displaystyle Vg_{1} \) è la tensione del generatore di corrente. Andando a sostituire l'equazione costituitiva in tutte e tre le equazioni di maglia ho (Scrivo solo la prima maglia):
\(\displaystyle Vg_{1} +i_{2}(-R_{2}) + i_{3} (-R_{2}) = -ig_{1}(R_{1}+R_{2}) \)
Portando a destra il termine noto.
Sbaglio?
Per D4lF4zZI0:
Non riesco a vederlo ad occhio. So solo che \(\displaystyle Vg_{1} \) è controllato da \(\displaystyle R_{2} \), magari è per quello.
Grazie per la disponibilità.
Per Mos:
E' vero non ho generatori di tensione (sulla prima maglia) ma ne ho uno di corrente (sulla prima maglia). Visto che faccio le maglia devo scrivere l'equazione costitutiva del generatore di corrente \(\displaystyle i_{1} = ig_{1} \).
\(\displaystyle i_{1}(R_{1} +R_{2}) + i_{2} (-R_{2}) + i_{3} (-R_{2}) = -Vg_{1}\)
Dove \(\displaystyle Vg_{1} \) è la tensione del generatore di corrente. Andando a sostituire l'equazione costituitiva in tutte e tre le equazioni di maglia ho (Scrivo solo la prima maglia):
\(\displaystyle Vg_{1} +i_{2}(-R_{2}) + i_{3} (-R_{2}) = -ig_{1}(R_{1}+R_{2}) \)
Portando a destra il termine noto.
Sbaglio?
Per D4lF4zZI0:
Non riesco a vederlo ad occhio. So solo che \(\displaystyle Vg_{1} \) è controllato da \(\displaystyle R_{2} \), magari è per quello.
Grazie per la disponibilità.
A prescindere se riesci a vederlo ad occhio o meno, se torniamo alle basi, in ogni ramo o lato del circuito circola una corrente. Ora, quando scrivi $i_1(R_1+R_2)$ stai affermando che la corrente $i_1$ circola sia nel ramo in cui è presente la resistenza $R_1$ sia nel ramo in cui è presente la resistenza $R_2$ e questo, in generale, non è vero!
Anzi ti dirò di più: la corrente $i_1=i_(g1)$ non circola ne in $R_1$ e ne tanto meno in $R_2$, ma si divide nel nodo
Anzi ti dirò di più: la corrente $i_1=i_(g1)$ non circola ne in $R_1$ e ne tanto meno in $R_2$, ma si divide nel nodo
nono aspetta, aspetta...stiamo sbagliando..
allora se tu usi gli anelli (metodo meccanico e veloce) all'anello dove c'è un generatore di corrente non devi scrivere equazioni!!! ieri non ci ho proprio pensato, ma scrivere un equazione a quell'anello è un errore grave...
cioè tu hai un generatore indipendente di corrente nota sul ramo a sinistra giusto? (dimmi se è così che altrimenti non ho capito il disegno); se il generatore indipendente di corrente nota è come dico non devi scrivere equazioni a quell'anello, tuttavia devi tener presente quella corrente nelle altre equazioni.
ti scrivo come vengono a me così ad occhio:
all'anello sopra:
$ -2V_(R2)=I_2(R_1-j/(wC_1))+I_3(j/(wC_1))-I_(g)R_1 $
a quello a destra:
$ 0=I_3(R_2-j/(wC_1)+jwL_1)+I_2(j/(wC_1))-I_(g)R_2 $
quella del generatore di tensione pilotato in alto:
$ V_(R2)=(I-I_3)R_2 $
quindi prova a risolvere queste se ti trovi...nota che ho messo la $ j $ al numeratore quindi ho cambiato segno alle impedenze del condensatore.
Altra cosa!! se tu usi il metodo delle correnti di maglia devi definire un albero opportuno, stando alle tue equazioni come albero hai preso quello fatto dai rami con $ R_1 R_2C_1 $, comunque anche con questo caso non devi scriverti l'equazione sulla maglia con il generatore di corrente, ma ne devi tener conto sulle altre maglie
allora se tu usi gli anelli (metodo meccanico e veloce) all'anello dove c'è un generatore di corrente non devi scrivere equazioni!!! ieri non ci ho proprio pensato, ma scrivere un equazione a quell'anello è un errore grave...
cioè tu hai un generatore indipendente di corrente nota sul ramo a sinistra giusto? (dimmi se è così che altrimenti non ho capito il disegno); se il generatore indipendente di corrente nota è come dico non devi scrivere equazioni a quell'anello, tuttavia devi tener presente quella corrente nelle altre equazioni.
ti scrivo come vengono a me così ad occhio:
all'anello sopra:
$ -2V_(R2)=I_2(R_1-j/(wC_1))+I_3(j/(wC_1))-I_(g)R_1 $
a quello a destra:
$ 0=I_3(R_2-j/(wC_1)+jwL_1)+I_2(j/(wC_1))-I_(g)R_2 $
quella del generatore di tensione pilotato in alto:
$ V_(R2)=(I-I_3)R_2 $
quindi prova a risolvere queste se ti trovi...nota che ho messo la $ j $ al numeratore quindi ho cambiato segno alle impedenze del condensatore.
Altra cosa!! se tu usi il metodo delle correnti di maglia devi definire un albero opportuno, stando alle tue equazioni come albero hai preso quello fatto dai rami con $ R_1 R_2C_1 $, comunque anche con questo caso non devi scriverti l'equazione sulla maglia con il generatore di corrente, ma ne devi tener conto sulle altre maglie
comunque anche mettiamo caso che scrivessi l'equazione a quell'anello, tu al termine noto metti la somma algebrica delle tensioni (per l'analisi agli anelli), non delle correnti. Di quel generatore di corrente ne devi tener conto nell'analisi nodale dove scrivi al termine noto la somma delle correnti entranti/uscenti dal nodo. Ma comunque sia lì non va scritta alcuna equazione perchè la corrente che scorre in quell'anello preso singolarmente è nota e scorre in senso orario, basta che prendi qualunque esercizio con analisi agli anelli e vedrai che capisci.
ps. prima gli anelli li ho percorsi tutti in senso orario
ps. prima gli anelli li ho percorsi tutti in senso orario
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