[Elettrotecnica] Corrente nel resistore

[Alfiere90]

Salve a tutti, ho qui un problema legato ad un passaggio di un esercizio. Il problema mi chiede di calcolare l'andamento della corrente $i_1$ per $t>=0$. Per $t>=0$ il circuito si riduce a quello in figura (sotto). Tralascio la parte $t<=0$ perchè so svolgerla e non mi interessa in quello che sto per chiedere.

Devo valutare le equazioni che regolano il circuito che sono :

1) $E_2=R_1i_1 + V_3$
2) $V_3=R_2i_c + V_c + V_L$
3) $i_1= i_3 + i_c$
Con $i_c= C(dv_c)/(dt)$ e $V_L= L(di_L)/(dt)$

Ora risolvendo questo sistema dovrei avere una cosa del genere :

$(d^2i_1)/(dt^2) + (di_1)/(dt) $[ coeff. 1° termine]$ + i_1 $[ coeff. 1° termine] = [coeff. 1° termine] Così come mi è già successo negli altri esercizi. Il problema in questo caso è che non riesco in alcun modo ad arrivare alla formula di cui sopra, pur esercitando tutte le sostituzioni possibili. Mi trovo ad un vicolo cieco.

Una volta essere arrivato a quella formula (che è in forma canonica) poi so procedere ( la omogeinizzo e trovo le due radici complesse, scrivo l'integrale generale etc...). L'unico problema riguarda proprio il come arrivarci a quel tipo di scrittura.

[RenzoDF]

Diversi possono essere le metodologie risolutive, ad ogni modo i1 può essere scritta in funzione della iL e della E2 [nota]Vuoi provare a scrivere la $i_1(t)=f[E_2,i_L(t)]$ ?[/nota], di conseguenza se ti è più semplice ottenere iL hai sostanzialmente risolto.

BTW Quali sono i dati del problema?

[Alfiere90]

"RenzoDF":Diversi possono essere le metodologie risolutive, ad ogni modo i1 può essere scritta in funzione della iL e della E2 [nota]Vuoi provare a scrivere la $i_1(t)=f[E_2,i_L(t)]$ ?[/nota], di conseguenza se ti è più semplice ottenere iL hai sostanzialmente risolto.

Questa era una strada che avevo in mente ma non so come approcciarmi

"RenzoDF":
BTW Quali sono i dati del problema?

Se li vuoi sapere : $R_1 =10 \Omega$, $R_2 = 4 \Omega$, $R_3= 6\Omega$, $R_4=4 \Omega$, $C=10\muF$, $L=0.2mH$,
$e_1=10sqrt2(10^4t + pi/4)$, $E_2=10V$.

Anche se a me interessano i passaggi algebrici e non i conti numerici

[RenzoDF]

Hai mi sentito parlare del "circuito resistivo associato"

Ad ogni modo, ipotizzando nota la corrente nell'induttore, potresti immaginarlo come un GIC di corrente impressa $i_L(t)$, di conseguenza la $i_1(t)$ la potresti determinare (per es.) via sovrapposizione del GIT sinistro e del suddetto GIC.

Sia nel caso si voglia passare per la iL sia direttamente per la i1, possiamo usare la matrice A della dinamica del sistema, ricavata dal suddetto circuito resistivo associato, nel quale all'induttore sostituiamo un GIC di corrente iL, al condensatore un GIT di tensione vC.
La matrice la ricaviamo scrivendo sia iC sia vL in funzione di vC, iL e E2, andando a raggruppare i tre resistori in un unico resistore equivalente $R_0=R_2+R_1\text{||}R_3$,

$i_C=i_L$
$v_L=-v_C-R_0i_L+E_2R_3/(R_1+R_3)$

e quindi, la matrice della dinamica del sistema

$ A=[ ( 0, 1/C ),(-1/L , -R_0/L ) ] $

dalla quale otterremo l'equazione caratteristica via

$\text{det}(\lambda I-A)=0$

BTW Per e1 ti sei dimenticato di indicare la funzione.
e quindi gli autovalori che, insieme ai valori iniziali $i_L(0)$ e $v_C(0)$, e alle soluzioni particolari a regime, ti permetteranno di pervenire alla soluzione.

[Alfiere90]

"RenzoDF":Hai mi sentito parlare del "circuito resistivo associato"

Sì, e sarebbe anche la cosa migliore da utilizzare in questo esercizio. L'unico problema è che né il libro del prof, né il prof stesso citano questa parte e TUTTE le prove d'esame di cui ho la soluzione fatta da lui (tranne di questa sopra) sono svolte con il metodo di sostituzione. Quindi l'unico modo sarebbe addentrarci nei lunghi passaggi algebrici che questo metodo comporta e di cui non riesco a venirne a capo.

"RenzoDF":BTW Per e1 ti sei dimenticato di indicare la funzione.

Sì hai ragione è $10sqrt2sen(10^4t + pi/4)V$

[RenzoDF]

Vuoi forse dirmi che se usi un metodo corretto ma non spiegato (o gradito) dal tuo professore non ti verrebbe data buona la soluzione

Ad ogni modo, visto che probabilmente non puoi usare nemmeno le metodologie via poli della rete, se non vogliamo "vincere facile", possiamo ottenere la tua tanto desiderata equazione differenziale andando in "retromarcia" dal GIT al condensatore.

Possiamo infatti scrivere in sequenza (lasciandoti intuire le convenzioni adottate per correnti e tensioni)

$v_3=E_2-R_1i_1 \qquad \Rightarrow \qquad i_3=v_3/R_3=E_2/R_3-R_1/R_3i_1 \qquad \Rightarrow \qquad i_L=i_1-i_3=i_1((R_3+R_1)/R_3)-E_2/R_3$

dopo di che, via KVL all'anello destro,

$ v_3-R_2i_L-v_C-v_L=0 \qquad\qquad\qquad [4] $

ricordando che

$[v_C=v_C(0)+ 1/C \int_{0}^{t} i_L \text{d}t] \ \wedge \ [v_L=L\frac {\text{d}i_L}{\text{d}t}]$

sostituire le relazioni nella [4] e derivare, per ottenere l'equazione differenziale del secondo ordine in $i_1(t)$.

[Alfiere90]

Mannaggia era semplicissimo eppure mi era sfuggito di utilizzare la caratteristica del condensatore per ricavarmi $i_L$ e via discorrendo. Ti ringrazio tantissimo per la pazienza e per la chiarezza delle spiegazioni !