[Elettrotecnica] Condizioni necessarie teorema analisi circuiti dinamici non lineari
Ciao,
quanto segue e' presente anche su altri forum e non sapendo bene dove collocare la domanda provo a postarla qui.
Ho un dubbio "di logica" su alcune affermazioni al seguente articolo che da quanto capisco e' uno dei principali riferimenti per l'analisi dei circuiti dinamici non lineari.
Nella sezione 3.2 'On the Existence of the Resistor Function' - il Teorema 2 stabilisce condizioni sufficienti per l'esistenza della "Resistor function" ovvero le condizioni per cui la rete non lineare a-dinamica associata al circuito dinamico non-lineare ammette soluzione unica quando alimentata come descritto nel documento stesso.
Il mio dubbio riguarda l'Osservazione 2 (Remark 2) pag. 1072 relativa alle condizioni necessarie per l'esistenza della "Resistor function".
Secondo me l'Osservazione 2 non e' corretta in quanto possiamo costruire un controesempio con una maglia costituita da una resistenza lineare, un dispositivo non-lineare con caratteristica i-v controllata in tensione (ma non in corrente) lineare a tratti, un condensatore ed un generatore indipendente di tensione Vg(t).
Se ora la conduttanza G=1/R della resistenza lineare e' maggiore della massima pendenza della caratteristica i-v del dispositivo non-lineare (in sostanza la caratteristica i-v del dispositivo non lineare e' una funzione lipschitziana sul dominio di definizione) allora la "retta di carico" sovrapposta alla caratteristica i-v avra' soluzione unica per ogni valore della tensione Vc (condensatore) e della tensione impressa del generatore Vg(t).
ps. non riesco ad allegare una immagine
quanto segue e' presente anche su altri forum e non sapendo bene dove collocare la domanda provo a postarla qui.
Ho un dubbio "di logica" su alcune affermazioni al seguente articolo che da quanto capisco e' uno dei principali riferimenti per l'analisi dei circuiti dinamici non lineari.
Nella sezione 3.2 'On the Existence of the Resistor Function' - il Teorema 2 stabilisce condizioni sufficienti per l'esistenza della "Resistor function" ovvero le condizioni per cui la rete non lineare a-dinamica associata al circuito dinamico non-lineare ammette soluzione unica quando alimentata come descritto nel documento stesso.
Il mio dubbio riguarda l'Osservazione 2 (Remark 2) pag. 1072 relativa alle condizioni necessarie per l'esistenza della "Resistor function".
Secondo me l'Osservazione 2 non e' corretta in quanto possiamo costruire un controesempio con una maglia costituita da una resistenza lineare, un dispositivo non-lineare con caratteristica i-v controllata in tensione (ma non in corrente) lineare a tratti, un condensatore ed un generatore indipendente di tensione Vg(t).
Se ora la conduttanza G=1/R della resistenza lineare e' maggiore della massima pendenza della caratteristica i-v del dispositivo non-lineare (in sostanza la caratteristica i-v del dispositivo non lineare e' una funzione lipschitziana sul dominio di definizione) allora la "retta di carico" sovrapposta alla caratteristica i-v avra' soluzione unica per ogni valore della tensione Vc (condensatore) e della tensione impressa del generatore Vg(t).
ps. non riesco ad allegare una immagine
Risposte
Dunque, premesso che mi ero occupato di questi argomenti tempo fa, ma non sono assolutamente ferrato, possiamo riscrivere brevemente le 3 condizioni necessarie elencate dal Teorema 2:
1) Nella rete non ci devono maglie (anelli) di condensatori o di generatori di tensione. Non ci devono essere tagli composti da sole induttanze o generatori di corrente.
2) Ogni resistenza controllata in tensione deve avere in parallelo una capacita'. Ogni resistenza controllata in corrente deve avere in serie a una induttanza.
3) Altre resistenze devono essere localmente strettamente passive.
Ora, hai ideato un circuito in cui abbiamo 4 componenti in una maglia, ovvero ad anello.
I componenti sono una resistenza lineare, una resistenza controllata in tensione lineare a tratti, un condensatore e un generatore di tensione.
Questo circuito non rispetta la condizione 2 perche' ha un resistore controllato in tensione che NON e' in parallelo a un condensatore.
Pero', dici tu, il circuito ha una sua Resistor function, quindi le condizioni non sono necessarie.
PS. Non so se ho risposto al tuo dubbio, la spiegazione dovrebbe essere molto piu' dettagliata, nel caso non e' chiaro aggiungo altri dettagli.
Secondo me e' da intendere che se hai un condensatore in parallelo ad ogni resistenza controllata in tensione, allora puoi scegliere la funzione della resistenza in modo arbitrario, come ti piace di piu', e il circuito avra' sempre una sua Resistor Function.
Viceversa se non metti il condensatore in parallelo, allora sei costretto a fare in modo che il tuo circuito rispetti altre condizioni, come quelle che elenchi alla fine del messaggio, cioe' che la resistenza lineare deve essere maggiore di ecc...
L'autore si ragiona nel senso che una resistenza controllata in tensione puo' avere qualsiasi funzione (sempre che sia una resistenza controllata in tensione) e quindi un condensatore in parallelo risolve la condizione di impasse che discute prima nell'articolo.
C'e' poi da dire che le condizioni che poni tu per il circuito non sono corrette. La cosiddetta conduttanza 1/R non si somma nel caso di due conduttanze in serie, ma segue la stessa regola 1/Gtot = 1/G1 + 1/G2.
Pero', a parte questa svista, il tuo esempio e' chiaro.
Senz'altro dovrebbe esserti chiaro come mai un condensatore in parallelo risolve la condizione di impasse, che non e' banale da capire.
PS. Non so se ho risposto al tuo dubbio, la spiegazione dovrebbe essere piu' dettagliata, ma nel caso, dimmi cosa non e' chiaro.
1) Nella rete non ci devono maglie (anelli) di condensatori o di generatori di tensione. Non ci devono essere tagli composti da sole induttanze o generatori di corrente.
2) Ogni resistenza controllata in tensione deve avere in parallelo una capacita'. Ogni resistenza controllata in corrente deve avere in serie a una induttanza.
3) Altre resistenze devono essere localmente strettamente passive.
Ora, hai ideato un circuito in cui abbiamo 4 componenti in una maglia, ovvero ad anello.
I componenti sono una resistenza lineare, una resistenza controllata in tensione lineare a tratti, un condensatore e un generatore di tensione.
Questo circuito non rispetta la condizione 2 perche' ha un resistore controllato in tensione che NON e' in parallelo a un condensatore.
Pero', dici tu, il circuito ha una sua Resistor function, quindi le condizioni non sono necessarie.
PS. Non so se ho risposto al tuo dubbio, la spiegazione dovrebbe essere molto piu' dettagliata, nel caso non e' chiaro aggiungo altri dettagli.
Secondo me e' da intendere che se hai un condensatore in parallelo ad ogni resistenza controllata in tensione, allora puoi scegliere la funzione della resistenza in modo arbitrario, come ti piace di piu', e il circuito avra' sempre una sua Resistor Function.
Viceversa se non metti il condensatore in parallelo, allora sei costretto a fare in modo che il tuo circuito rispetti altre condizioni, come quelle che elenchi alla fine del messaggio, cioe' che la resistenza lineare deve essere maggiore di ecc...
L'autore si ragiona nel senso che una resistenza controllata in tensione puo' avere qualsiasi funzione (sempre che sia una resistenza controllata in tensione) e quindi un condensatore in parallelo risolve la condizione di impasse che discute prima nell'articolo.
C'e' poi da dire che le condizioni che poni tu per il circuito non sono corrette. La cosiddetta conduttanza 1/R non si somma nel caso di due conduttanze in serie, ma segue la stessa regola 1/Gtot = 1/G1 + 1/G2.
Pero', a parte questa svista, il tuo esempio e' chiaro.
Senz'altro dovrebbe esserti chiaro come mai un condensatore in parallelo risolve la condizione di impasse, che non e' banale da capire.
PS. Non so se ho risposto al tuo dubbio, la spiegazione dovrebbe essere piu' dettagliata, ma nel caso, dimmi cosa non e' chiaro.
"Quinzio":Intanto grazie per la riposta, si corretto il dubbio e' proprio questo
PS. Non so se ho risposto al tuo dubbio, la spiegazione dovrebbe essere molto piu' dettagliata, nel caso non e' chiaro aggiungo altri dettagli.
"Quinzio":ok capita la tua interpretazione anche se rigorosamente le condizioni non mi sembrano di fatto necessarie
Secondo me e' da intendere che se hai un condensatore in parallelo ad ogni resistenza controllata in tensione, allora puoi scegliere la funzione della resistenza in modo arbitrario, come ti piace di piu', e il circuito avra' sempre una sua Resistor Function.
L'autore si ragiona nel senso che una resistenza controllata in tensione puo' avere qualsiasi funzione (sempre che sia una resistenza controllata in tensione) e quindi un condensatore in parallelo risolve la condizione di impasse che discute prima nell'articolo.
"Quinzio":
C'e' poi da dire che le condizioni che poni tu per il circuito non sono corrette. La cosiddetta conduttanza 1/R non si somma nel caso di due conduttanze in serie, ma segue la stessa regola 1/Gtot = 1/G1 + 1/G2.
Finalmente sono riuscito a caricare una immagine: 1/R e' la conduttanza dell'unica resistenza lineare R e la situazione della retta di carico e' quella riportata in figura. Come si vede la soluzione e' sempre unica al variare comunque della tensione del generatore Vg(t)
VCR : voltage controlled resistor.
Vedi che per fare in modo che la funzione $v_D -> i_D + i_R$ sia biunivoca, devi avere una R con un certo valore di resistenza (minore di) e la tensione "a vuoto" deve essere maggiore di.
Una soluzione piu' generica puo' essere quella di mettere in parallelo alla VCR una resistenza di valore opportuno.
Pero, se invece in parallelo alla VCR ci metti una capacita', allora va bene qualsiasi capacita'.
L'autore Leon Chua ha scelto la soluzione VCR parallelo capacita' perche' piu' generica (non hai vincoli sul valore di capacita').
Hai ragione anche tu non e' strettamente necessario avere questa condizione e si puo' avere la Resistor Function anche con una certa R in parallelo alla VCR.
Forse e' giusto parlare di condizioni sufficienti.
Credo che comunque per te sia importante capire il perche' siano richieste queste condizioni.
Vedi che per fare in modo che la funzione $v_D -> i_D + i_R$ sia biunivoca, devi avere una R con un certo valore di resistenza (minore di) e la tensione "a vuoto" deve essere maggiore di.
Una soluzione piu' generica puo' essere quella di mettere in parallelo alla VCR una resistenza di valore opportuno.
Pero, se invece in parallelo alla VCR ci metti una capacita', allora va bene qualsiasi capacita'.
L'autore Leon Chua ha scelto la soluzione VCR parallelo capacita' perche' piu' generica (non hai vincoli sul valore di capacita').
Hai ragione anche tu non e' strettamente necessario avere questa condizione e si puo' avere la Resistor Function anche con una certa R in parallelo alla VCR.
Forse e' giusto parlare di condizioni sufficienti.
Credo che comunque per te sia importante capire il perche' siano richieste queste condizioni.
"Quinzio":
Una soluzione piu' generica puo' essere quella di mettere in parallelo alla VCR una resistenza di valore opportuno. Pero, se invece in parallelo alla VCR ci metti una capacita', allora va bene qualsiasi capacita'.
L'autore Leon Chua ha scelto la soluzione VCR parallelo capacita' perche' piu' generica (non hai vincoli sul valore di capacita').
Si, la resistenza lineare da porre in parallelo alla VCR dovrebbe essere appunto con conduttanza \(\displaystyle G=1/R \) maggiore della massima "pendenza" della curva caratteristica \(\displaystyle v_D \to i_D \) della VCR (in sostanza assumiamo una VCR con caratterisitica lipschitziana nel suo dominio di definizione)
"Quinzio":
Forse e' giusto parlare di condizioni sufficienti.
Si, infatti il mio dubbio era proprio sul fatto che l'autore abbia assunto tali condizioni quali condizioni necessarie
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