[Elettrotecnica] Condizioni iniziali di un circuito dinamico con forzamento lineare
Si consideri questo esercizio, il cui testo completo è in figura:
Il forzamento \(\displaystyle e(t) \) è una retta su tutto l'asse reale, che quindi non subisce "brusche" variazioni nel tempo, nel circuito non sono presenti interruttori e il testo dell'esercizio non dà altre informazioni. In questo circuito, allora, qual è l'elemento che innesca il transitorio? L'unica cosa a cui avevo pensato è il cambio di segno del forzamento in \(\displaystyle t_{0} = \frac{1}{5\alpha} \) (che non so nemmeno se può essere considerata causa di un transitorio), ma a questo punto resta il problema di come trovare le condizioni iniziali.
Vi ringrazio per ogni suggerimento.
Il forzamento \(\displaystyle e(t) \) è una retta su tutto l'asse reale, che quindi non subisce "brusche" variazioni nel tempo, nel circuito non sono presenti interruttori e il testo dell'esercizio non dà altre informazioni. In questo circuito, allora, qual è l'elemento che innesca il transitorio? L'unica cosa a cui avevo pensato è il cambio di segno del forzamento in \(\displaystyle t_{0} = \frac{1}{5\alpha} \) (che non so nemmeno se può essere considerata causa di un transitorio), ma a questo punto resta il problema di come trovare le condizioni iniziali.
Vi ringrazio per ogni suggerimento.
Risposte
Direi che mancando indicazioni in merito al regime per t<0, si possa ipotizzare e(t)=0, ovvero una "accensione" del GIT per t=0.
Sempre chiarissimo. Grazie.
Di nulla.
Attendiamo una tua soluzione.
Attendiamo una tua soluzione.
Considerando allora come condizione iniziale \(\displaystyle i_{L}(0) = 0 \), e chiamando \(\displaystyle i(t) \) la corrente che attraversa il generatore e \(\displaystyle i_{R}(t) \) quella che attraversa la resistenza del ramo trasversale, imposto il seguente PdC:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-e(t) + Ri(t) + Ri_R(t) = 0
\\-Ri_R(t) + Ri_L(t) + L\frac{di_L}{dt} = 0
\\i(t) = i_R(t) + i_L(t)
\end{matrix}\right.\)
Con varie sostituzioni, ottengo, in definitiva:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{di_L}{dt} + \frac{3R}{2L}i_L(t) = \frac{e(t)}{2L}
\\i_L(0) = 0
\end{matrix}\right.\)
Risolvendo l'omogenea associata risulta \(\displaystyle \lambda = \frac{-3}{10\alpha} \), quindi la soluzione è la seguente: \(\displaystyle i_{Lo}(t) = Ae^\lambda t\)
Per quanto riguarda la soluzione particolare, la ricerco nell'insieme delle rette del tipo: \(\displaystyle i_{Lp}(t) = B + Ct \).
Per trovare B e C sostituisco nell'equazione differenziale questa soluzione, applico il principio d'identità dei polinomi e ottengo come valori di B e C:
\(\displaystyle C = -5\alpha \)
\(\displaystyle B = 1 + \frac{50\alpha^2}{3} \)
Infine, per trovare la costante \(\displaystyle A \), considero la soluzione \(\displaystyle i_L(t) = i_{Lp}(t) + i_{Lo}(t) \) alla quale applico le condizioni iniziali, trovando che \(\displaystyle A = -B \).
Allora \(\displaystyle i_{L}(t) = B(1 - e^\lambda t) + Ct\).
Per quanto riguarda l'energia nell'intervallo richiesto, scrivo:
\(\displaystyle \Delta U = \frac{L}{2} (i^2_L(5\alpha) - i^2_L(0)) \).
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-e(t) + Ri(t) + Ri_R(t) = 0
\\-Ri_R(t) + Ri_L(t) + L\frac{di_L}{dt} = 0
\\i(t) = i_R(t) + i_L(t)
\end{matrix}\right.\)
Con varie sostituzioni, ottengo, in definitiva:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{di_L}{dt} + \frac{3R}{2L}i_L(t) = \frac{e(t)}{2L}
\\i_L(0) = 0
\end{matrix}\right.\)
Risolvendo l'omogenea associata risulta \(\displaystyle \lambda = \frac{-3}{10\alpha} \), quindi la soluzione è la seguente: \(\displaystyle i_{Lo}(t) = Ae^\lambda t\)
Per quanto riguarda la soluzione particolare, la ricerco nell'insieme delle rette del tipo: \(\displaystyle i_{Lp}(t) = B + Ct \).
Per trovare B e C sostituisco nell'equazione differenziale questa soluzione, applico il principio d'identità dei polinomi e ottengo come valori di B e C:
\(\displaystyle C = -5\alpha \)
\(\displaystyle B = 1 + \frac{50\alpha^2}{3} \)
Infine, per trovare la costante \(\displaystyle A \), considero la soluzione \(\displaystyle i_L(t) = i_{Lp}(t) + i_{Lo}(t) \) alla quale applico le condizioni iniziali, trovando che \(\displaystyle A = -B \).
Allora \(\displaystyle i_{L}(t) = B(1 - e^\lambda t) + Ct\).
Per quanto riguarda l'energia nell'intervallo richiesto, scrivo:
\(\displaystyle \Delta U = \frac{L}{2} (i^2_L(5\alpha) - i^2_L(0)) \).
Ti ringrazio, sei uno dei pochi che postano la soluzione, utile in seguito a chi leggerà il Forum.
Giusto un paio di considerazioni: quel sistema te lo potevi risparmiare, andando ad usare il circuito equivalente secondo Thevenin "visto" dall'induttore, \( E_{Th}(t)=e(t)/2\) e \( R_{Th}=3R/2\) e inoltre, notando una incongruenza dimensionale in quella costante $[C]= "s"$ invece che $[C]= \ \text{A} \ \text{s}^-1$ come dovrebbe essere, ho provato a ricalcolarla insieme a B e ho trovato $C=-1/(5\alpha) \ \text{A}\ \text{s}^-1$ e $B=5/3\ \text{A}$,
potresti ricontrollare i calcoli? Grazie.
Giusto un paio di considerazioni: quel sistema te lo potevi risparmiare, andando ad usare il circuito equivalente secondo Thevenin "visto" dall'induttore, \( E_{Th}(t)=e(t)/2\) e \( R_{Th}=3R/2\) e inoltre, notando una incongruenza dimensionale in quella costante $[C]= "s"$ invece che $[C]= \ \text{A} \ \text{s}^-1$ come dovrebbe essere, ho provato a ricalcolarla insieme a B e ho trovato $C=-1/(5\alpha) \ \text{A}\ \text{s}^-1$ e $B=5/3\ \text{A}$,
potresti ricontrollare i calcoli? Grazie.
"RenzoDF":
Giusto un paio di considerazioni: quel sistema te lo potevi risparmiare, andando ad usare il circuito equivalente secondo Thevenin "visto" dall'induttore, \( E_{Th}(t)=e(t)/2\) e \( R_{Th}=3R/2\)
Ti ringrazio per la dritta.
"RenzoDF":
e inoltre, notando una incongruenza dimensionale in quella costante $[C]= "s"$ invece che $[C]= \ \text{A} \ \text{s}^-1$ come dovrebbe essere, ho provato a ricalcolarla insieme a B e ho trovato $C=-1/(5\alpha) \ \text{A}\ \text{s}^-1$ e $B=5/3\ \text{A}$,
Si, errore mio: nei calcoli anziché scrivere il forzamento come \(\displaystyle e(t) = 6(1-\frac{1}{5 \alpha}t) \) l'ho scritto come \(\displaystyle e(t) = 6(1-5 \alpha t) \); guarda caso dove non ci sono errori nei miei calcoli è proprio nella parte di risoluzione dell'omogenea, che non utilizza questo dato. Ad ogni modo mi trovo i tuoi stessi valori.
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